Доказать что функция периодическая с наименьшим положительным периодом

cos=1

=2 π n, n € Z

T=, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4 π )+5cos(0,75x+2 π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т= π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin| π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Задания для группы 1.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

Источник

§ 13. Свойства тригонометрических функций

Объяснение и обоснование

ления этих функций.

Например, — это ордината соответствующей точки единичной

окружности. Поэтому значение будет положительным, если точка

имеет положительную ординату, a это будет тогда, когда точка находит-

верти, то ее ордината отрицательна, и поэтому тоже отрицателен.

Аналогично, учитывая, что — это абсцисса соответствующей точки ,

получаем, что >0 в I и IV четвертях (абсцисса точки положительна)

и Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для

любого x из области определения функции числа (x + T) и (x – T) также

Из приведенного определения получаем, что f (x – T) = f ((x – T) + T) =

= f (x), то есть, если T — период функции f (x), то и – T тоже период этой

Учитывая, что на единичной окружности числам (углам) где

соответствует одна и та же точка (рис. 71), получаем:

Тогда является периодом функций и .

При k = 1 получаем, что — это период функций и .

Докажем, что эти функции не могут иметь меньший положительный пе-

риод. Чтобы доказать, что — наименьший положительный период

бого значения x выполняется равенство cos (x + T) = cos x. Взяв x = 0,

получаем cos T = 1. Но это означает, что на единичной окружности при

повороте на угол T точка снова попадает в точку , то есть ,

где k ∈ Z. Таким образом, любой период косинуса должен быть кратным

, а значит,

— наименьший положительный период косинуса.

Чтобы обосновать, что — наименьший положительный период

функции sin x, достаточно в равенстве sin (x + T) = sin x, которое выпол-

няется для любых значений x, взять . Получаем Но это

означает, что при повороте на угол точка попадает в точку A (0;1)

(рис. 71), то есть таким образом . Следовательно,

любой период синуса должен быть кратным , а значитит,

— наименьший положительный период косинуса.

Если учесть, что на единичной окружности точки и являются

диаметрально противоположными, то этим точкам соответствует одна и та же

точка на линии тангенсов (рис. 72) или на линии котангенсов (рис. 73). Тогда

также

То есть периодом функций tg x и ctg x является (k ≠ 0, k ∈ Z).

Наименьшим положительным периодом для функций tg x и ctg x явля-

ется

Чтобы доказать это, достаточно в равенстве tg (x + T) = tg x взять x = 0.

Тогда получим tg T = 0. Таким образом, T =, где k ∈ Z. Итак, любой

период тангенса должен быть кратным а значит, — наименьший по-

ложительный период тангенса. Аналогично в соответствующем равенстве

для ctg x достаточно взять .

ции y = f (x), напомним, что по определению график функции y = f (x)

ординаты (x; y) = (x; f (x)). Первая координата для точек графика вы-

бирается произвольно из области определения функции. Выберем как

первую координату значение x + T (или в обобщенном виде — значение

x + kT при целом значении k) и учтем, что для периодической функции

f(x + T) = f(x – T) = f (x) (в общем случае f (x + kT) = f (x)). Тогда графи-

ку функции y = f (x) будет принадлежать также точка M1 координатной

плоскости с координатами:

(x + T; y) = (x + T; f (x + T)) = (x + T; f (x)).

ным переносом вдоль оси Ox на T единиц (рис. 74). В общем случае точку

реносом вдоль оси Ox на kT единиц. Таким образом, через промежуток T

вид графика периодической функции будет повторяться. Поэтому для

построения графика периодической функции с периодом T достаточно

построить график на любом промежутке длиной T(например, на проме-

жутке [0;T]), а потом полученную линию параллельно перенести вправо

и влево вдоль оси Ox на расстояние kT, где k — любое натуральное число.

Примеры решения задач

Задача 1 Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью триго-

нометрических функций, найдите:

Задача 1 Докажите утверждение: если функция y = f (x) периодическая

с периодом T, то функция y = Af (kx + b) также периодическая

с периодом (A, k, b — некоторые числа и k ≠ 0).

Используем утверждение, доказанное в задаче 2 для нахождения перио-

1) если функция sin x имеет период , то функция sin 4x имеет период

2) если функция tg x имеет период ,то функция имеет период

Вопросы для контроля

б *) Обоснуйте знаки тригонометрических функций в каждой из коорди-

2. а) Какие из тригонометрических функций являются четными, а какие

нечетными? Приведите примеры использования четности и нечетности

для вычисления значений тригонометрических функций.

б *) Обоснуйте четность или нечетность соответствующих тригонометри-

3. а) Какая функция называется периодической? Приведите примеры.

б *) Обоснуйте периодичность тригонометрических функций. Укажи-

те наименьший положительный период для синуса, косинуса, тангенса

и котангенса и обоснуйте, что в каждом случае этот период действитель-

но является наименьшим положительным периодом.

Упражнения

1. Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью тригонометриче-

ской функции, найдите:

1) 2) sin (–750°); 3) 4) ctg 945°;

5) 6) cos (–3630°); 7) 8) tg 600°.

2*. Среди данных функций найдите периодические и укажите наименьший

положительный период для каждой из них:

1) f(x)= x^2; 2) f(x)= sin 2x; 3) f(x)= | x |; 4) f(x)= tg 3x; 5)f(x) = 3.

3. Найдите период каждой из данных функций:

1) y= cos 2x; 2)y = tg 5x; 3) 4) y = ctg 3x; 5)

4. На каждом из рисунков 75–78 приведена часть графика некоторой перио-

дической функции с периодом T. Продолжите график на отрезке [–2T; 3T].

Источник

• ← Доказать что функция ограничена
• Доказать что функция периодическая с периодом т у sin2x →