Доказать что трапеция равнобедренная

Равнобедренная трапеция

Что такое равнобедренная трапеция и каковы ее свойства?

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Еще равнобедренную трапецию называют равнобокой (или равнобочной) трапецией.

ABCD — равнобедренная трапеция.

AD и BC — основания трапеции,

AB и CD — её боковые стороны,

Перечислим основные свойства равнобедренной трапеции.

Свойства равнобедренной трапеции:

1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2) Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180º.

3) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4) Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Кроме основных, у равнобедренной трапеции есть и другие свойства. Например, можно доказать один раз и в дальнейшем использовать при решении задач следующее утверждение:

Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

AD=a, BC=b

Признаки равнобедренной трапеции:

1) Если углы при основании трапеции равны, то она — равнобедренная.

2) Если сумма противолежащих углов трапеции равна 180º, то она — равнобедренная.

3) Если диагонали трапеции равны, то она — равнобедренная.

4) Если около трапеции можно описать окружность, то она — равнобедренная.

Источник

Трапеция

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Доказательство

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем параллельность.

\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам ( \(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

2)

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Источник

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

2. Формула площади через стороны и угол:

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Равнобедренная трапеция: формула, признаки, свойства, характеристика

Содержание:

В геометрии существуют десятки многоугольников с собственными названиями, характеристиками, свойствами. Одним из интереснейших четырёхугольников считается трапеция, имеющая одинаковые боковые стороны. Рассмотрим, что собой представляет равнобедренная трапеция, её особенности, свойства, признаки. Научимся проводить её расчёты: площадь, среднюю линию, радиусы описанной окружности.

Определение

Под описание подпадает и параллелограмм с одинаковыми диагоналями. В отличие от него у рассматриваемого 4-угольника боковые стороны не являются параллельными.

Иногда прямоугольник с квадратом причисляют к частным случаям равнобедренных трапеций, хотя под определение попадают частично.

Встречаются четырёхугольники, называемые трёхсторонними или триравнобедренными – верхняя сторона равная по длине боковым. Их получают посредством сечения четырёх последовательных вершин многоугольника минимум с пятью сторонами.

Основаниями четырёхугольника называют параллельные стороны, непараллельные – боковыми. Перпендикуляр, проводимый между параллельными сторонами, зовётся высотой геометрической фигуры; отрезок, что соединяет центры боковых сторон, именуют средней линией. Последняя разделяет геометрическую фигуру на две подобные.

Свойства равнобедренной трапеции

К свойствам диагоналей равнобедренной трапеции относятся:

Диагонали относятся как:

.

Получается: равнобокая трапеция – это равнодиагональный четырёхугольник.

Известно, что углы при основаниях любой равнобедренной трапеции обладают интересными свойствами:

Исходя из описанных свойств, существует множество способов расчёта рассматриваемого четырёхугольника.

Формулы равнобедренной трапеции

Площадь равняется одной второй произведения высоты геометрической фигуры на полусумму длин оснований.

Если высота неизвестна, но есть боковые стороны – c, прибегают к формуле Брахмагупты:

, здесь:

s – половина периметра 4-угольника:

Выражение напоминает упрощённую, благодаря равности боковых сторон, формулу Герона.

Радиус описанной окружности лежит на оси симметрии, вычисляется по формуле:

Диагонали вычисляются по указанной ниже формуле.

где:

Перпендикуляр OF, проведённый из точки, где пересекаются диагонали, к нижнему основанию, вычисляется по формуле:
.

Задача

Дана трапеция: AB = CD, AG = GB = DH = HC. Доказать, что GH || AD.

Исходя из условий задачи, перед нами равнобедренная трапеция, где GH – средняя линия. Докажем это. По теореме Фалеса отрезок GH делит AB с CD пополам, о чём сказано в условии, значит GH || BC || AD.

Источник

Трапеция. Определение, виды, свойства

Определения

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие − нет.

На Рис.1 четырехугольники ABCD и EFGH являются трапециями.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны − боковыми сторонами (Рис.2).

В трапеции ABCD (Рис.1) углы A и B называют углами при основании AB, а углы C и D называют углами при основании CD.

Определение 2. Высотой трапеции называется перпендикуляр, отпущенный из любой точки прямой, проходящей через один из оснований трапеции, на прямую, проходящую через другое основание.

На Рис.3 отрезки DM, ON, QP являются вершинами трапеции ABCD. Поскольку величина каждой из этих отрезков является расстоянием между параллельными прямыми, проходящими через основания трапеции, то они равны друг другу.

Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон.

На рисунке Рис.4 \( \small MN \) является средней линией трапеции \( \small ABCD, \) причем \( \small AM=MD,\;\; BN=NC. \)

Виды трапеций

Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной (Рис.5).

Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикуляна основаниям трапеции (Рис.6).

Трапеция называется разносторонней, если длина всех сторон разные (т.е. если трапеция не прямоульная и не равнобедренная)(Рис.7).

Свойства трапеции

Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD (Рис.8). Докажем, что \( \small MN || AB, \) \( \small MN=\frac12 (AB+CD). \)

Проведем прямую DN и обозначим точку ее пересечения с прямой AB точкой P. Так как MN является средней линией трапеции ABCD, то

Углы 3 и 4 являются накрест лежащими, при рассмотрении параллельных прямых BP и CD пересеченные секущей CB, тогда (теорема 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей).

Исходя из равенств (1),(2) и (3) получим, что треугольники CND и NPC равны, по второму признаку равенства треугольников. Тогда BP = DC, DN = NP. Из равенств AM = MD и DN = NP следует, что MN является средней линией треугольника ADP. Тогда \( \small MN \ || \ AP \) ( или \( \small MN \ || \ AB \)) и \( \small MN =\frac 12 AP \). Но \( \small AP=AB +BP=AB+CD \). Тогда \( \small MN =\frac 12 (AB+CD).\)

Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.9).

Углы A и D являутся односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда \( \small \angle A+ \angle D=180°.\)

Свойство 3. Отрезок, слединяющий середины диагоналей трапеции лежит на средней линии трапеции и равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.10).

Поскольку точки P и Q являются средними точками диагоналей AC и BD, соответственно, то:

MP − является средней линией треугольника ADC, так как , . Тогда

QN − является средней линией треугольника BCD, так как , Тогда

Из и следует, что P находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки M можно провести только одну прямую, параллельно CD (Аксиома 1 статьи Аксиома параллельных прямых).

Аналогично, из и следует, что Q находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки N можно провести только одну прямую, параллельно CD.

Далее, учитывая (4) и (5), получим:

Далее, учитывая свойство 1, получим:

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Свойсво 1′. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).

Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда \( \small \angle A=\angle B. \) Докажем, далее, что \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) \( \small \angle A +\angle ADC=180° \) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle B +\angle DCB=180°. \) Учитывая, что \( \small \angle A=\angle B \), получим \( \small \angle ADC=\angle DCB. \)

Свойсво 2′. В равнобокой трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.

Свойсво 3′. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:

Источник