Докажите что медианы пересекаются в одной точке

Длина медианы: \( \displaystyle <^<2>>=\frac <1>

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

Определение медианы треугольника

Это очень просто! Возьми треугольник.

Отметь на какой-нибудь его стороне середину \( \displaystyle M\).

И соедини с противоположной вершиной!

Получившийся отрезок \( \displaystyle BM\) и есть медиана.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему. При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).

Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Задача №1:

В \( \displaystyle \Delta ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\).

Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).

Сразу вспоминаем, это если \( \displaystyle CN=\frac<2>\), то \( \displaystyle \angle ACB=90<>^\circ \)!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1\), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы \( \displaystyle AM\), \( \displaystyle BN\) и \( \displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.

Задача №2:

Решение:

\( \displaystyle \angle B=90<>^\circ \) – треугольник прямоугольный!

(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).

Найдём \( \displaystyle AC\) по теореме Пифагора:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Теорема о медиане и площади треугольника

Медиана делит площадь треугольника пополам

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac<1><2>a

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).

Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!

Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).

Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу

1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):

«\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle AM\) «\( \displaystyle h\)» – это \( \displaystyle BH\)

\( \displaystyle \Rightarrow <_<\triangle ABM>>=\frac <1> 2) B \( \displaystyle \triangle BMC\): «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle CM\) «\( \displaystyle h\)» – это опять \( \displaystyle BH\) \( \displaystyle \Rightarrow <_<\triangle BMC>>=\frac <1> Читать далее… Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз: Теорема о трех медианах треугольника Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины. Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил? 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. 2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины. Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее. Доказательство теоремы о трех медианах треугольника Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\). Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось? Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит? А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\). Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть: Что из этого следует? Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны? Конечно же, только у параллелограмма! Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам. Снова смотрим на рисунок. Читать далее… Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз: Формула длины медианы треугольника Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем. Итак, \( \displaystyle <^<2>>=\frac <1> Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно. Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения. Как с этим справиться? Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать. ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными. В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии. ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы. В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение. Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем. Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач. Источник Свойство медиан треугольника Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с начала 8 класса. (Свойство медиан треугольника) Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Дано : ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы 1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO 2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками. 3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC. Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку). По свойству диагоналей параллелограмма из чего следует, что 5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного. Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O. Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию. Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины: 7 Comments Промогите пожалуйста: В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла до гипотенузы провели медиану длинной 50см и перпендикуляр 48см. Вычислить периметр. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, гипотенуза 100 см. Пусть катеты равны x см и y см. По теореме Пифагора x²+y²=100². Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне S=0,5∙100∙48 см², либо половине произведения катетов S=0,5∙x∙y. Отсюда xy=4800. Решаем систему уравнений: x²+y²=100²; xy=4800. Решения (60;80) (80;60). То есть катеты 60 см и 80 см. Периметр P=60+80+100=240 см. (Не обязательно доводить решение системы до конца. Достаточно найти x+y. Для этого к 1-му уравнению прибавим удвоенное 2-е, получим x²+2xy+y²=19600; x+y=140). Прошу помощи в решении задачи: на стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба. Во-первых, большое спасибо за решение, даже не ожидала ответа, но, по счастью, ошиблась! Но я к этому времени уже решила так:провела ВМ, которая в равностороннем треугольнике является также высотой. Рассмотрим четырехугольник ОВМС: угол ВОС =углу ВМС=90 градусов (диагонали ромба взаимно перпендикулярны),отсюда, ВМ параллельна ОС, тогда угол МОС=20 градусам. Рассм. треугольник ОМС: угол МСО= 180-20-70=90 градусов, и одновременно= 60+x, т.о., угол х=30 градусам, и искомый острый угол ромба=60 градусам. Мы получили разные ответы, в чем может быть дело (окружности мы еще не проходили). Наталия углы BOC и BMC не накрест лежащие и не внутренние односторонние, поэтому BM не параллельна OC. Но вариант решения без окружности возможен, добавила второй способ. Источник Пересечение медиан треугольника Существует теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1, где 2 соответствует отрезку от вершины, из которой проведена медиана, до точки пересечения медиан, а 1 соответствует отрезку от точки пересечения медиан до середины стороны, к которой проведена медиана. Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим треугольник ABC с медианами AE, BF, CD. То есть точки D, E, F делят пополам стороны AB, BC, CA соответственно. Нам не известно, пересекаются ли все медианы в одной точке (это еще требуется доказать). Однако любые две медианы пересекутся в одной точке, так как не могут быть параллельны. Пусть медианы AE и BF пересекаются в точке O. Медиана BF делит медиану AE на два отрезка AO и EO. Проведем через точку E прямую, параллельную BF. Эта прямая пересечет сторону AC в некой точке L. Также проведем через середину отрезка AB (точку D) еще одну параллельную к BF прямую. Она пересечет AC в точке K. Согласно теореме Фалеса, если на одной стороне угла от его вершины отложить последовательно равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то эти параллельные прямые отсекут на второй стороне угла также равные между собой отрезки. Посмотрим на угол BCA данного треугольника. Отрезки BE и EC равны между собой, прямые BF и EL параллельны друг другу. Тогда согласно теореме Фалеса CL = LF. Если же посмотреть на угол BAC, так как AD = BD и DK || BF, то AK = KF. Так как отрезки AF и CF равны между собой (т. к. их образует медиана) и каждый из них делится на два равных отрезка, то все четыре отрезка стороны AC равны между собой: AK = KF = FL = LC. Рассмотрим угол EAC. Через концы трех равных отрезков стороны AC проведены параллельные прямые. Следовательно, они отсекают на стороне AE равные между собой отрезки. Отрезок AO содержит в себе два таких отрезка, а EO только один. Таким образом, мы доказали, что как минимум одна медиана треугольника точкой пересечения с другой медианой делится на два отрезка, длины которых соотносятся как 2 : 1. Теперь рассмотрим пересечение медианы AE с медианой CD. Пусть они пересекаются в точке P. Аналогично предыдущему, доказывается, что параллельные прямые FM, CD, EN делят сторону AB на равные отрезки. В свою очередь они же делят AE на три равных отрезка. Причем от вершины A до пересечения медиан два таких отрезка, а после — один. Один и тот же отрезок нельзя разделить на три равных части так, чтобы при одном варианте деления они были одного размера, а при другом — другого. Поэтому точки O и P должны совпадать. Это значит, что все три медианы треугольники пересекаются в одной точке. Чтобы доказать, что две остальные медианы делятся точкой пересечения в соотношении 2 : 1, можно аналогично предыдущему провести параллельные прямые к сторонам AB и BC. Источник Докажите §6 №74 ГДЗ Геометрия 7-9 класс Погорелов А.В. 1) В треугольнике АВС проведены медианы АА1 и ВВ1, которые пересекаются в точке М. В треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ. Докажите, что четырехугольник А1B1PQ — параллелограмм. 2) Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 3) Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Значит, четырехугольник A1B1PQ — параллелограмм, так как две его стороны параллельны и равны, чем доказано первое утверждение. 1) Докажем, что медианы АА1 и BB1 в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. PQ — средняя линия ΔАМB, следовательно АР = PM = х; BQ = QM = у. Выше мы доказали, что A1B1PQ — параллелограмм, значит, его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть A1M = РМ = х и B1M=MQ=Y. Получаем BММВ1 = 2у:у = 2:1, AM: MA1 =2х:х = 2:1; Чем доказано второе утверждение задачи. Проведем третью медиану СС1, которая пересекает медиану АА1 в некоторой точке и, согласно доказанному во второй части задачи, эта точка должна делить медиану AA1 в отношении 2:1, считая от точки А. Так как положение такой точки на отрезке определяется однозначно, то она совпадает с точкой М. Значит, СС1 проходит через точку М. То есть все три медианы пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать. Источник Обобщающий урок «Теоремы Менелая и Чевы» Разделы: Математика Оборудование: мультимедийный проектор. Приложение 1. 1. Организационный момент. Точка С1 делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. точка В1 лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ1. В каком отношении делит прямая В1 С1 сторону ВС? (на слайде 2). Решение: По условиюИспользуя теорему Менелая, находим: . В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (на слайде 3). В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение . (на слайде 4). Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне РR – точка L, причем NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и NR делит QR в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите PN : PR. (на слайде 5). Решение: По условию NQ = LR, . Пусть NA = LR = a, QF =km, LF = kn. Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая 3. Отработка практических навыков. Докажите теорему: Медианы треугольника пересекаются в одной точке; точка пересечения делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. (рисунок 1 слайд 6). Доказательство: Пусть АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС. Чтобы доказать, что эти отрезки пересекаются в одной точке, достаточно показать, что Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АМ1, ВМ2 и СМ3 пересекаются в одной точке. Имеем: Итак, доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Пусть О – точка пересечения медиан. Прямая М3С пересекает две стороны треугольника АВМ2 и продолжение третьей стороны этого треугольника. По теореме Менелая или . Рассматривая теорему Менелая для треугольников АМ1С и АМ2С, мы получаем, что . Теорема доказана. Докажите теорему: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 2 слайд 6). Доказательство: Достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) AL1, BL2, CL3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника: . Перемножая почленно полученные равенства, получаем: . Итак, для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана. Докажите теорему: Высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. (рисунок 3 слайд 6). Доказательство: Пусть АН1, АН2, АН3 – высоты треугольника АВС со сторонами a, b, c. Из прямоугольных треугольников АВН2 и ВСН2 по теореме Пифагора выразим, соответственно, квадрат общего катета ВН2, обозначив АН2 = х, СН2 = b – х. Итак, АН2 = , СН2 = . Аналогично рассуждая для прямоугольных треугольников АСН2 и ВСН3, ВАН1 и САН1, получим АН3 = , ВН3 = и ВН1 = , СН1 = . Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Тогда по теореме Чевы (обратной) отрезки АН1, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. Подставив в левую часть равенства выражения длин отрезков АН3, ВН3, ВН1, СН1, СН2 и АН2 через а, b, с, убеждаемся, что равенство Чевы для высот треугольника выполняется. Теорема доказана. Задачи 5 – 7 самостоятельное решение 3 учащихся. (чертежи на экране). 2. остальные: Докажите теорему: Если в треугольник вписана окружность, то отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон пересекаются в одной точке. (на рисунке 4 слайд 6). Доказательство: Пусть А1, В1 и С1 – точки касания вписанной окружности треугольника АВС. Для того, чтобы доказать, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, достаточно показать, что выполняется равенство Чевы: . Используя свойство касательных, проведенных из одной точки, введем обозначения: ВС1 = ВА1 = х, СА1 = СВ1 = у, АВ1 = АС1 = z. . Равенство Чевы выполняется, значит, указанные отрезки (биссектрисы треугольника) пересекаются в одной точке. Эту точку называют точкой Жергона. Теорема доказана. 3. Разбор задач 5, 6, 7. Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. (на слайде 7 рисунок 1) Решение: Пусть АD = DC = a, KD = m, тогда АК = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то = . По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: . Итак, = . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР : РА1. (на слайде 7 рисунок 2) Решение: Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В1, так как треугольник АВС – разносторонний. Пусть С1В = х, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см рисунок) 8 – х + 5 – х = 4, х = . В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая . Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. (на слайде 7). Решение: Пусть в треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть О – точка пересечения биссектрис. Необходимо найти АО : ОD. Так как АD – биссектриса треугольника АВС, то , то есть BD = 5k, DС = 6k. так как BF – биссектриса треугольника АВС, то , то есть AF = 5m, FC = 7m. Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ADC. По теореме Менелая . 4. Самостоятельное решение задач 9, 10, 11. – 3 учащихся. Задача 12 (для всех оставшихся учащихся класса): Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD = 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. (рисунок 4 на слайде 7). Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, , тогда SABC = . 5. Разбор задач 9, 10, 11. Решение задач – практикум: А. На сторонах ВС, СА, АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ взяты точки А1, В1, С1, так что прямые АА1, ВВ1, СС1 – конкурентные. Докажите, что По теореме Чевы имеем: (1 ). . Что и требовалось доказать. По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей MN имеем: . По условию следовательно , Для треугольника MNC и секущей АВ по теореме Менелая имеем: по условию 8. Самостоятельное решение задач: 1 вариант: 1. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1, В1 так, что АВ = ВС1, ВС = СА1, СА = АВ1. Найдите отношение в котором прямая АВ1 делит сторону А1С1 треугольника А1В1С1. (3 балла). 2. На медиане СС1 треугольника АВС взята точка М. Прямые АМ и ВМ пересекают стороны треугольника соответственно в точках А1 и В1. Докажите, что прямые АВ и А1В1 параллельны. (3 балла). 3. Пусть на продолжении сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1. Докажите, что точки А1, В1, С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство . (4 балла). 4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла). 5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов). 6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1 так, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство . (5 баллов). 7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А1, В1, С1, D1. Докажите, что точки А1, В1, С1, D1 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов). 1. Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС. (3 балла). 2. Отрезок МN, соединяющий середины сторон АD и ВС четырехугольника АВСD делится диагоналями на три равные части. Докажите, что АВСD – трапеция, одно из оснований АВ или СD, которое в двое больше другого. (3 балла). 3. Пусть на стороне АВ и продолжении сторон ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1. Докажите, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство . (4 балла). 4. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. (4 балла). 5. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля). (Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон). (5 баллов). 6. Пусть на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1, В1 так, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство . (5 баллов). 7. Пусть на ребрах АВ, ВС, СD и АD тетраэдра АВСD взяты соответственно точки А1, В1, С1, D1. Докажите, что точки А1, В1, С1, D1 лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство (5 баллов). 9. Домашнее задание: учебник § 3, № 855, № 861, № 859. Источник ← Докажите что медиана треугольника проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы Докажите что медианы равнобедренного треугольника проведенные к боковым сторонам равны → Вам также понравится лучшие тарифы велком в беларуси 19.09.202322.09.2023 admin 0 Адоб премьер для чего 08.09.202308.09.2023 admin 0 лучший учебник по физике с нуля 20.09.202324.09.2023 admin 0 Добавить комментарий Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.