Докажите что параллелограмм является выпуклым четырехугольником рассмотрим параллелограмм
Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения
Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
На рисунке 16 изображен параллелограмм 
Рассмотрим свойства параллелограмма.
1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.
Действительно, углы 
и 
параллелограмма 
(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.
2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Доказательство:
Диагональ 
разбивает параллелограмм 
на два треугольника 
и 
(рис. 17). 
-их общая сторона, 
и 
(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых 
и 
и 
и секущей 
Тогда 
(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, 
и 
(как соответственные элементы равных треугольников). Так как 
то 
4. Периметр параллелограмма 
5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство:
Пусть 
— точка пересечения диагоналей 
и 
параллелограмма 
(рис. 18). 
(как противолежащие стороны параллелограмма), 
(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 
и 
и секущих 
и 
соответственно). Следовательно, 
(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда 
(как соответственные стороны равных треугольников).
Пример:
Дано: 
параллелограмм, 
— биссектриса угла 
(рис. 19). Найдите: 
Решение:
1) 
2) 
(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 
и 
и секущей 
3) 
(по условию), тогда 
Тогда 
— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), 
4) 
Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.
На рисунке 20 
— высота параллелограмма, 
Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 
и 
— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам 
и 
Рассмотрим признаки параллелограмма.
Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.
Доказательство:
1) Пусть в четырехугольнике 
и 
(рис. 22). Проведем диагональ 
Рассмотрим 
и 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
— общая сторона, 
(по условию). Следовательно, 
(по двум сторонам и углу между ними). Тогда 
(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых 
и 
секущей 
Поэтому 
(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике 
противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому 
-параллелограмм.
2) Пусть в четырехугольнике 
и 
(рис. 22). Проведем диагональ 
Тогда 
(по трем сторонам). Поэтому 
и следовательно, 
(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 
Следовательно, 
— параллелограмм.
3) Пусть в четырехугольнике 
диагонали 
и 
пересекаются в точке 
и 
(рис. 23). 
(как вертикальные). Поэтому 
(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда 
Аналогично доказываем, что 
Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что 
— параллелограмм.
4) Пусть в параллелограмме 
(рис. 16). Так как 
то 
т. е. 
откуда 
Но 
и 
— внутренние накрест лежащие углы для прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 
Следовательно, 
— параллелограмм.
Пример:
В четырехугольнике 
Докажите, что 
— параллелограмм.
Доказательство:
Пусть 
— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим 
и 
— их общая сторона, 
(по условию). Тогда, 
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 
Но тогда в четырехугольнике 
противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.
О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).
В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.
Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.
Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.