Докажите что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами

Докажите что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами

а) Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, отличными от 0.
б) Какими тремя цифрами может оканчиваться целое число, квадрат которого оканчивается тремя одинаковыми цифрами, отличными от 0?

Решение

а) Пусть n 2 ≡ 4444 (mod 10000). Тогда n чётно. Подставив n = 2m, получим m² ≡ 1111 (mod 2500). Значит, m² ≡ 11 (mod 100), то есть m² оканчивается на две единицы, что невозможно.

Ответ

б) Тремя четвёрками.

Источники и прецеденты использования

Источник

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами?

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.

Доказать сие невозможно, ибо степень любого числа может быть любым числом.

Математическим языком это выглядит так :

На какую цифру оканчивается число 2 в 103 степени?

На какую цифру оканчивается число 2 в 103 степени.

Какой цифрой оканчивается сумма 54( в 35 степени) + 28( в 21 степени)?

Какой цифрой оканчивается сумма 54( в 35 степени) + 28( в 21 степени)?

Какой цифрой оканчивается значение выражения 3 в 2014 степени?

Какой цифрой оканчивается значение выражения 3 в 2014 степени.

На какую цифру оканчивается число 4 в 50 степени?

На какую цифру оканчивается число 4 в 50 степени.

Запишите число 111 четырьмя двойками?

Запишите число 111 четырьмя двойками.

Какой цифрой оканчивается число 2 в 50 степени?

Какой цифрой оканчивается число 2 в 50 степени?

Какой цифрой оканчивается произведение 73 в степени 7 * 18 в степени 5?

Какой цифрой оканчивается произведение 73 в степени 7 * 18 в степени 5?

Какой цифрой оканчивается сумма 9 в 2015 степени + 9 в 2016 степени срочно надо?

Какой цифрой оканчивается сумма 9 в 2015 степени + 9 в 2016 степени срочно надо?

Какой цифрой оканчивается сумма 9 в степени 2016 + 9 в степени 2017?

Какой цифрой оканчивается сумма 9 в степени 2016 + 9 в степени 2017?

Не выполняя вычислений определить какой цифрой оканчивается значение степени 20357 второй степени?

Не выполняя вычислений определить какой цифрой оканчивается значение степени 20357 второй степени.

1759 получилось, но не уверена.

Цена за 1 кг творога = 140 руб. Если цена повысилась на 20%, то она стала равна 140 + 0, 2 * 140 = 140 + 28 = 168 (руб). 0, 5 кг творога стали стоить 168 : 2 = 84 (руб). 168 рублей стал стоить творог 2)1682 = 84 рубля.

11×3 = 33 33×30 = 990 31 час.

Источник

Докажите что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами

Задача 24:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю а) 10; б) 2; в) 5.

Решение:

Вычтем из числа его последнюю цифру и получим число, оканчивающееся нулем, т.е. делящееся на 10 (а значит, и на 5, и на 2).

Задача 25:

Докажите, что .

Решение:

Указание: все степени десяти, начиная со 100, делятся на 4.

Задача 26:

Решение:

Число делится на 2 n (на 5 n ) тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на 2 n (на 5 n ).

Задача 27:

Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечетна.

Решение:

Так как последняя цифра 6, то возводимое в квадрат число четно. Раз оно является квадратом, то оно делится и на 4. Следовательно, число, составленное из двух его последних цифр, должно делиться на 4. Все требуемые двузначные числа легко выписать: 16, 36, 56, 76, 96.

Задача 28:

Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечетная. Докажите, что его последняя цифра 6.

Решение:

Две последние цифры квадрата числа n зависят только от двух последних цифр числа n. Пусть . Тогда . Ясно, что цифра десятков числа b² должна быть нечетной. Прямой перебор показывает, что цифра единиц должна тогда быть равной 6.

Задача 29:

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.

Решение:

Рассмотрите остатки по модулю 16.

Задача 30:

Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Решение:

Подберем число так, чтобы сумма его цифр равнялась 125. Делимость числа на 125 определяется тремя его последними цифрами. Следовательно, годится число 111 … 11599125 (в начале записи единица написана 94 раза).

Задача 31:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю а) 3; б) 9.

Решение:

Ясно, что 10 ≡ 1 (mod %)%9. Поэтому 10 k ≡ 1 (mod 9) для любого натурального k. Таким образом, a ₁ 10 n – 1 + a ₂ 10 n – 2 + … + a _{n – 1} 10¹ + a _n ≡ a ₁ + a ₂ + … + a _n (mod %)%9. Рассуждения для числа 3 совершенно аналогичны.

Задача 32:

Решение:

а) нет; б) нет. Рассмотрите остатки по модулю 9.

Задача 33:

У числа 2¹ºº нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

Решение:

Задача 34:

Докажите, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

Решение:

Эти числа имеют одинаковые суммы цифр и, значит, одинаковые остатки по модулю 9.

Задача 35:

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Решение:

Это можно сделать шестью способами: 1155, 4155, 7155, 3150, 6150, 9150.

Задача 36:

Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

Решение:

Два числа: 6975, 2970.

Задача 37:

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

Решение:

Это число 1023457896.

Задача 38:

Докажите, что произведение последней цифры числа 2 n и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.

Решение:

Разберите два случая: последняя цифра равна или не равна 6.

Задача 39:

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Решение:

Нет. Рассмотрите остатки по модулю 3.

Задача 40:

Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.

Решение:

Задача 41:

Решение:

Задача 42:

Решение:

Указание: 10 ≡ – 1 (mod 11).

Задача 43:

Докажите, что число 111 … 11 (2n единиц) – составное.

Решение:

Это число делится на 11.

Задача 44:

Докажите, что число – составное.

Решение:

Это число делится на 11.

Задача 45:

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что не делится на .

Решение:

делится на 11, а – нет.

Задача 46:

A – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Докажите, что A не делится на 11.

Решение:

Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 нельзя разбить на две тройки, разность сумм в которых делится на 11.

Задача 47:

Докажите, что разность числа, имеющего нечетное количество цифр, и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99.

Решение:

Эти два числа имеют одинаковые остатки как при делении на 9, так и при делении на 11.

Задача 48:

Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?

Решение:

Нельзя. Проследите за последней цифрой.

Задача 49:

Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число также делится на 7.

Решение:

.

Задача 50:

Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.

Решение:

, так как 2(a + b + c) ≡ 0 (mod 7). Значит, делится на 7 тогда и только тогда, когда b – c делится на 7. Но так как b, c

Источник

Докажите что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами

Задача 24:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю а) 10; б) 2; в) 5.

Задача 25:

Докажите, что .

Задача 26:

Задача 27:

Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечетна.

Задача 28:

Предпоследняя цифра квадрата натурального числа – нечетная. Докажите, что его последняя цифра 6.

Задача 29:

Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.

Задача 30:

Найдите 100-значное число без нулевых цифр, которое делится на сумму своих цифр.

Задача 31:

Докажите, что любое натуральное число сравнимо с суммой своих цифр по модулю а) 3; б) 9.

Задача 32:

Задача 33:

У числа 2¹ºº нашли сумму цифр, у результата снова нашли сумму цифр и т.д. В конце концов получилось однозначное число. Найдите его.

Задача 34:

Докажите, что если записать в обратном порядке цифры любого натурального числа, то разность исходного и нового числа будет делиться на 9.

Задача 35:

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Задача 36:

Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

Задача 37:

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

Задача 38:

Докажите, что произведение последней цифры числа 2 n и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.

Задача 39:

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Задача 40:

Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом проделали то же самое и так далее, 100 раз. Докажите, что в результате получится нуль.

Задача 41:

Задача 42:

Задача 43:

Докажите, что число 111 … 11 (2n единиц) – составное.

Задача 44:

Докажите, что число – составное.

Задача 45:

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что не делится на .

Задача 46:

A – шестизначное число, в записи которого по одному разу встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Докажите, что A не делится на 11.

Задача 47:

Докажите, что разность числа, имеющего нечетное количество цифр, и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99.

Задача 48:

Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?

Задача 49:

Сумма двух цифр a и b делится на 7. Докажите, что число также делится на 7.

Задача 50:

Сумма цифр трехзначного числа равна 7. Докажите, что это число делится на 7 тогда и только тогда, когда две его последние цифры равны.

Задача 51:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 7. Докажите, что и само число делится на 7.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 7.

в) Сформулируйте и докажите признак делимости на 13.

Задача 52:

а) Дано шестизначное число , причем делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.

б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

Задача 53:

Существует ли такое трехзначное число , что является квадратом натурального числа?

Задача 54:

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на 333 … 33 (в записи 100 троек).

Задача 55:

Может ли сумма нескольких первых натуральных чисел оканчиваться на 1989?

Задача 56:

Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

Задача 57:

Между цифрами двузначного числа, кратного трем, вставили нуль, и к полученному трехзначному числу прибавили удвоенную цифру его сотен. Получилось число, в 9 раз большее первоначального. Найдите исходное число.

Задача 58:

Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.

Задача 59:

Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на три цифры, составляющие первоначальное число.

Задача 60:

К числу справа приписывают тройки. Докажите, что когда-нибудь получится составное число.

Задача 61:

Докажите, что все числа ряда 10001,100010001,1000100010001, … являются составными.

Источник