Дополнительные построения и чем они обусловлены

Дополнительные построения в планиметрии

Задачи с окружностями

С помощью дополнительного построения окружности часто решаются задания № 24 и № 26 ОГЭ, а также № 16 ЕГЭ.

Точка H является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=6, AC=24.

Строим окружность вокруг треугольника ВНС. Центр этой окружности является и серединой ВС. ВС — диаметр. АС по отношению к данной окружности — секущая. АВ — отрезок касательной. АН — внешняя часть секущей. Все это подводит к теореме о квадрате касательной.

АВ 2 — произведение секущей на ее внешнюю часть. Следовательно, нужно умножить AH на AC. 6×24 = 144 (это АВ в квадрате). АВ=12. Больше заданий для подготовки к ОГЭ вы найдёте в учебнике «Геометрия. 9 класс».

Задачи с несколькими вариантами дополнительного построения

В условиях задания № 16 ЕГЭ пункт «б» может подсказать, какое решение задачи будет более удачным.

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO=KO.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 9/100 площади трапеции ABCD.

Первый вариант построения. Продлеваем ВС и АЕ, вследствие чего появляются равные треугольники АЕD и ZЕC. Так как АЕ=EZ, то ВЕ — это медиана треугольника АВZ. КС и АZ параллельны. Медиана хороша тем, что она делит пополам не только сторону треугольника, но и любой отрезок, который этой стороне параллелен. Поэтому CO=KO.

Площадь треугольника ABZ такая же, как площадь трапеции ABCD за счет равенства треугольников АЕD и ZЕC. Треугольник КВС подобен треугольнику ABZ. Как известно, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Отрезок BC, деленый на отрезок BZ, равен 3:10. На отрезок СZ приходится 7 частей. Ответ в пункте «б»: 3:7.

Второй вариант построения. Продолжим стороны AB и CD. Используя теорему, обратную теореме Фалеса, доказываем, что KB относится к BY так же, как YE к ED, и что отрезок KD параллелен BE. В треугольнике KCD видна середина CD. Отрезок OE параллелен KD и проходит через середину — следовательно, является средней линией и проходит через середину KC. Пункт «а» задания выполнен. Разобраться с пунктом «б» при данном дополнительном построении сложнее. К ответу 3:7 приводит то, что KB с BY соотносятся так же, как ED с YE.

Задачи с разрозненными данными

Пример (из всероссийской олимпиады школьников по математике, 8 класс, 2017 год, II этап)

Точки M и N — середины сторон BC и AD четырехугольника ABCD. Известно, что ∠В = 150°, ∠С = 90° и AB = CD. Найдите угол между прямыми MN и BC.

Начинаем компоновку данных с точки М и проводим через нее две прямые, параллельные АВ и CD. Далее от точки М откладываем отрезки, равные АВ и, соответственно, CD. Так получается заготовка для равнобедренного треугольника. Нужно понять, будет ли точка N лежать на отрезке, соединяющем две новые точки. Строятся новые отрезки, равные и параллельные ВМ и МС — получается четырехугольник-параллелограмм. AD является диагональю этого параллелограмма, а N — серединой диагонали. Также N лежит и на другой диагонали. Равнобедренный треугольник готов. Угол с вершиной M в нем равен 60°. Треугольник равносторонний, MN является медианой и биссектрисой. MN, пресекаясь с BC, образует угол, равный 60°.

Чтобы ученики прочно запоминали формулы и теоремы, лучше как можно чаще давать им решать подобные задачи. К слову, задачи с трапециями оптимально подходят для отработки навыка дополнительного построения: две параллельные стороны открывают широкие возможности для создания разных геометрических фигур. Об этом – в учебнике «Геометрия. 7-9 классы».

Источник

Статья «Дополнительные построения при решении геометрических задач»

ГБОУ РХ «Хакасская национальная гимназия – интернат имени Н. Ф. Катанова», г. Абакан.

Дополнительные построения при решении геометрических задач.

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»

При решении геометрических задач традиционные методы иногда приводят к громозким решениям, поэтому важной составной частью геометрических методов решения являются дополнительные построения.

Дополнительные построения используются для:

— появления новых фигур и возможность использовать формулы, свойства и теоремы, связанные с ними;

— появление подобных или равновеликих фигур;

— появление пропорциональных отрезков.

Наиболее распространненые дополнительные построения:

Если в треугольнике задана медиана, то достраиваем до параллелограмма с центром в основании этой медианы.

Определить площадь треугольника, если две стороны и медиана, выходящая из общей вершины этих сторон, имеют длины 3, 7 и 4 (соответственно).

Найти: .

Найдем площадь АВ D по формуле Герона: S =; где , S АВ D = = 6 , так как , то = = 6 . .

Ответ : 6

Если в треугольнике задан отрезок прямой, проведенный через его вершину, заключенный внутри треугольника, то через ее основание внутрь треугольника проводится луч, параллельный стороне, до его пересечения с другой стороной.

Решение: Построим С 1 С 2 ║ АС ВВ 2 = В 2 В 1 т.к. ОВ 1 = 1, то ОВ 2 = 2,

ОВ 1 С ОВ 2 С 1 = CC 1 = 3х = 5 х = ; ∆ ОВ 1 С : В 1 С = = ; АВ 1 = 4 В 1 С = 4 =

∆ АВВ 1 : АВ = = =

Ответ:

Если в треугольнике заданы медиана и высота или биссектриса или вторая медиана, проведенные из разных вершин, то через основание медианы внутрь треугольника проводится луч, параллельный данной высоте, биссектрисе или медиане, до его пересечения со стороной треугольника.

Найти: N

Если в треугольнике заданы два отезока прямых проведенные из разных вершин, то через начало одной из них (вершину треугольника) проводится прямая, параллельная стороне треугольника, до пересечения с продолжением другой прямой.

Найти:

Ответ :

Если в треугольнике заданы отрезок с концами на двух сторонах треугольника и высота (медиана, биссектриса), пересекающий эту высоту (медиану, биссектрису), и не параллельный третьей стороне, то данный отрезок продолжается в обе стороны до пересечения с продолжением третьей стороны и с прямой, параллельной этой стороне и проходящей через вершину, из которой выходит высота (медиана, биссектриса).

Найти:

∆ BLK 1 ∆ CLL 1 = = = 3 ;

AL 1 = 3 С L 1 AL 1 = 6 CL 1 АС = 5 CL 1 B 1 C = AC = CL 1 ; B 1 L 1 = CL 1 + CL 1 = CL 1 = AL 1 ∆ BGR 1 ∆ В 1 GL 1 = = = .

Ответ: =

Есди дана трапеция, то ее диагональ или боковая сторона переносится на вектор, определяемый одним из оснований

Найти:

Ответ : S ABCD =

Задачи для самостоятельного решения.

Найти площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15 и 21.

Точки А 1 и В 1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях ВА 1 А 1 С = 1 р и АВ 1 В 1 С = 1 ԛ. В каком отношении точка пересечения АА 1 и ВВ 1 делит каждую из них.

Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит ее на части длиной 9 см. и 16см. Из вершины большего острого угла треугольника проведена прямая, проходящая через середину высоты. Найлите длину отрезка этой прямой, заключенной внутри данного треугольника.

Докажите, что сумма медиан в любом треугольнике меньше его периметра.

М. А. Иванов Математика без репетитора. Москва, «Вентана – Граф», 2002

Источник

Дополнительные построения и чем они обусловлены

Дополнительные построения занимают важное место среди различных методов решения геометрических задач. Например, теорема о площади треугольника, теорема Пифагора, теорема о пересечении высот треугольника и многие другие. При подготовке к экзамену по математике большинство задач по планиметрии не решается с помощью строгих алгоритмов, почти каждая геометрическая задача требует своего подхода.

Искусство решать задачи основывается на хорошем знании теории, на знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении приёмами и методами решения.

Эти методы обладают некоторыми особенностями:

большое разнообразие, трудность формального описания, взаимозаменяемость, отсутствие чётких границ области применения.

При решении геометрических задач используются три основных метода:

Объект исследования: планиметрические задачи

Предмет исследования: метод дополнительных построений

·выяснить, в чем состоит суть метода дополнительных построений;

В процессе работы я использовала следующие методы исследования:

-поиск рационального способа решения задачи методом дополнительного построения.

Теоретическая значимость: исследовательская работа позволяет расширить знания о методе дополнительных построений при решении геометрических задач.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования ее результатов учениками, учителями математики.

Решение геометрической задачи начинается с работы над чертежом. Часто на чертеже, особенно в геометрических задачах, которые предлагаются на различных олимпиадах, трудно заметить связи между данными и искомыми величинами. В подобных ситуациях решить задачу помогают дополнительные линии, которые проводятся для того, чтобы свести задачу к ранее решенной или более простой задаче. Они позволяют включить в задачу новые фигуры с их свойствами, тем самым увеличить число теорем, которые можно использовать при решении задачи.

Рассмотрим дополнительные построения, использование которых целесообразно при решении планиметрических задач, связанных с треугольниками и четырёхугольниками [4].

1.2.1.Построение прямой параллельной одной из имеющихся (или параллельных прямых)

Если в треугольнике известны два отрезка, проведённые из разных вершин, в том числе биссектриса, высота, или медиана, то через основание одного из них проводится прямая, параллельная данному отрезку, до её пересечения со стороной треугольника (рис. 2, рис.3). Так на рис. 2 прямая КB2 отсекает от треугольника AA1A2 подобный ему треугольник AКB2, а прямая A1A2 – треугольник CA1A2, подобный треугольнику CBB2.

1.2.2.Разбиение фигуры на части для получения треугольника и параллелограмма

Если в треугольнике (рис. 4), параллелограмме (рис. 5) или трапеции (рис. 6, рис. 7) дана биссектриса одного из внутренних углов, то можно построить ромб, две стороны которого лежат на сторонах данного треугольника или четырехугольника, а биссектриса является диагональю. Такое построение позволяет использовать свойства этих фигур.

Проведённые перпендикуляры позволяют получить прямоугольные треугольники и использовать теорему Пифагора, теоремы о подобии треугольников.

Часто в задачах используются такие дополнительные построения как проведение радиусов окружности в точки касания, высот в трапеции.

Так, если в условии задачи известна медиана треугольника, то удвоив её, мы получим параллелограмм (рис.8), что позволит использовать его свойства [8].

В зависимости от содержания задачи такое дополнительное построение можно выполнять и для двух, и для трёх медиан; использовать не весь параллелограмм, а только его части Например, треугольника АА2С (рис. 8).

1.3.2.Дополнительное построение треугольника

Если даны две окружности разных радиусов (не имеющие общих точек, пересекающиеся в двух точках или касающиеся внешним образом) с секущей, проходящей через одну из точек пересечения окружностей (или общей касательной), то через центр меньшей окружности проводится прямая, параллельная данной секущей (или касательной). Находится точка пересечения с радиусом большей окружности, проведённым в точку касания, или с его продолжением (рис. 13, рис. 15, рис. 14, рис. 16).

Если дан прямоугольный треугольник, то он достраивается до равнобедренного треугольника. Один из катетов данного треугольника становится, медианой, биссектрисой и высотой, а другой – половиной основания.

которого содержит эту биссектрису, вторая совпадает со стороной данной фигуры, а третья или параллельна другой стороне этой фигуры, или получается при ее продолжении (рис. 17– рис. 20). Построенный треугольник является равнобедренным.

1.3.3. Построение дополнительной окружности

Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы.

Если дан четырехугольник, у которого суммы противоположных углов равны, то вокруг него описывается окружность. Признаком существования для четырехугольника описанной окружности обладают квадрат, прямоугольник и равнобедренная трапеция.

Если дан четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны, то в него вписывается окружность.

Если даны две окружности с общей внешней касательной, касающиеся друг друга внешним образом, то в рассмотрение вводится треугольник, вершинами которого служат три точки касания данных фигур (рис.21).

Треугольник АА1А2 является прямоугольным с прямым углом А (А – точка касания окружностей). Докажем, что угол A1AA2 = 90°.

Глава 2 Практическое применение метода дополнительных построений.

2.1. Решение задач методом дополнительных построений

Задача 1. Построение прямой параллельной одной из имеющихся (или параллельных прямых)

Две стороны треугольника равны 10см и 15см, угол между ними равен 600. Найти длину биссектрисы, проведённой из данного угла.

Δ АВС, АВ= 10см, АС = 15см,

Старт в науке

Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».

Источник

Решение задач, содержащих дополнительные построения

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, СОДЕРЖАЩИХ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

учитель математики МБОУ СОШ № 3

Решение геометрических задач относится к области проектно-исследовательской деятельности, поскольку требует перебора возможностей, выдвижение и проверку гипотез, оптимизацию пути от условия к результаты и использования неожиданных сочетаний различных математических закономерностей.

Такими задачами наполнены КИМы ГИА (контрольно-измерительные материалы государственной итоговой аттестации) выпускников основной школы. Выделение общего алгоритма в таких задачах невозможно. Однако, могут быть определены общие подходы, основанные на опыте решения указанных задач.

Метод дополнительных построений при решении геометрических задач является сложным, так как вид дополнительного построения никогда не задан явно. Но, имея представления о возможностях дополнительных построений, решение геометрической задачи сводится к набору известных методов. Иногда условие задачи подсказывает выбор дополнительного построения. классы.
В учебнике геометрии Л.С. Атанасяна для 7-9 классов имеется теоретический материал, в котором рассматриваются различные дополнительные построения: доказательство теолрем о соотношении между сторонами и углами треугольника, о свойстве касательной, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, теоремы о свойстве вписанного угла и др. Однако, обособленного метода дополнительных построений не выделдкяется, задачный материал по этой теме скуден.

Рассмотрим решения задач, требующих дополнительных построений.

№ 1. В равнобедренную трапецию, периметр которой 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Далее требуется построение отдельного чертежа, на котором будет указана точка пересечения диагоналей и перпендикуляр, проведенный из этой точки к меньшему основанию.

№ 2.В трапеции АВС с основаниями А и ВС на боковых сторонах взяты точки М и К так, что АМ:ВМ=К:СК=2:3. Найти МК, если ВС=15, А=25.

Здесь важную роль в решении играет точка Р пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции. Тогда можно применять законы подобия треугольников:

№ 3.Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найти отноршение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ.

1). Здесь решение сразу начинается с построения недостающего отрезка. Проведем МТ || АР. Тогда МТ – средняя линия треугольника АРС, т.е. СТ=ТР. Тогда КР – средняя линия треугольника ВМТ.

2). Пусть площадь треугольника ВКР равна а (а>0), тогда площадь треугольника КРС равна 2а, площадь треугольника КВС равна 3а, площадь треугольника КМС равна 3а. Далее находим площадь искомых фигур:

№ 4. Площадь треугольника АВС равна 80. Биссектриса А D пересекает медиану ВК в точке Е, причем В D :С D =1:3. Найти площадь четырехугольника Е D СК.

№ 5.В треугольнике АВС на его медиане отмечена точка К так, что ВК:КМ=4:1. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника АВК к площади четырехугольника КРСМ.

1). Построим МТ || АР, тогда МТ- средняя линия треугольника АРС.

2). В треугольнике ВТМ: ВР=4у, РТ=у.

№ 6. Найти площадь трапеции, диагонали которой 6 и 8, а средняя линия 5.

1). Если КР=5, ВС=х, то А D =10-х.

3). В треугольнике АСМ: АС=6, СМ=8, Тогда треугольник АСМ прямоугольный,

№ 7. Найти площадь трапеции, диагонали которой 15 и 13, а средняя линия 7.

Задача решается аналогично предыдущей; поиск площади трапеции сводится к поиску площади равновеликого треугольника АСМ со сторонами 13, 15 и 14. По формуле Герона:

№ 8. Известно, что около четырехугольника АВС D можно описать окружность и что продолжения А D и ВС пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и КС D подобны.

№ 9.Окружности с центрами А и В пересекаются в точках К и М таким образом, что отрезок АВ не имеет общих точек с прямой КМ. Докажите, что прямые КМ и АВ перпендикулярны.

Считаем излишним изображение самих окружностей; достаточно указать центры и общие точки.

№ 10. Окружности с центрами Р и К не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры в отношении a : b . Докажите, что отношение диаметров этих окружностей равно a : b .

В этой задаче необходимо построение внутренней касательной, т.е. такой, что окружности лежат по разные стороны от нее.

№ 11. Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВС D пересекаются в точке К. Найти площадь параллелограмма, если ВС=19, а расстояние от точки К до АВ равно 10.

№ 12. В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана А D перпендикулярны и каждая равна 28. Найти стороны треугольника АВС.

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВКС.

1). А D = BE =28; треугольник АВ D – равнобедренный (ВР – биссектриса и высота), тогда АР=Р D =14, ВС=2В D =2АВ.

2). По свойству биссектрисы треугольника: т.е. СЕ=2АЕ, АС=3АЕ.

3).Треугольники АРЕ и РВК подобны; тогда Следовательно, 3РЕ=ВР, т.е. РЕ=7, ВР=21.

№ 13. Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и В D – общие касательные окружностей. Найти расстояние между прямыми АВ и С D .

1). Треугольник О1О2Н: углы 1 и 2 равны (с сонаправленными сторонами), косинусы их равны

2). Треугольник РО1В: косинус угла 2 равен 0,25, тогда

3). Треугольник МО2 D : косинус угла 1 равен 0,25, тогда МО2=5.

Завершив обзор решений задач, решения которых содержат дополнительные построения, необходимо отметить следующее:

Решения приведенных задач обусловлены наличием допаолнительных построений.

Дополнительные построения могут следовать непосредственно из условия задачи и обуславливать возможность рассмотрения свойств отрезков и углов в связи с их включением в качестве элементов в различные геометрические фигуры (см. задачи №№ 1, 2).

Потребность в дополнительных построениях может быть обусловлена поиском фигур-аналогов или фигур, имеющих те же свойства, что и исходная (см. задачи №№ 6, 7, 11).

Встречаются также ситуации, когда дополнительные построения могут дать возможность использовать такую математическую теорию, которая неприменима в исходных условиях (см. задачи №№ 3-5,8, 9, 10, 12, 13). Так, например, в задаче № 13 только использование элементов тригонометрии, возникающее при построении прямоугольного треугольника, дает возможность найти неизвестный элемент.

В действующих учебниках геометрии для основной школы, в пособиях для подготовки к ГИА, в материалах для школ и классов с углубленным изучением математики и для подготовки к олимпиадам не выделяется и не рассматривается как обособленный класс задач, требующих дополнительных построений. В связи с этим проведенный обзор решений и обобщенные выводы будут полезны выпускникам при подготовке к итоговой аттестации.

Источник