ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ гСомСтричСских Ρ‚Π΅Π»

ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ гСомСтричСских Ρ‚Π΅Π»

РаньшС для опрСдСлСния объСмов гСомСтричСских Ρ‚Π΅Π» Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ использовались ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹. БСгодня Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ прСдставлСны Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… нашСй ΠΊΠΎΡ€ΠΏΠΎΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Π’ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π²Π΅Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ² «Российского ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Β» ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΈ АлСксСй Π”ΠΎΡ€ΠΎΠ½ΠΈΠ½ рассказал ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°Ρ… опрСдСлСния объСма Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… гСомСтричСских Ρ‚Π΅Π» с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° ΠšΠ°Π²Π°Π»ΡŒΠ΅Ρ€ΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… аксиом.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ объСма

ОбъСм ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ V Π½Π° мноТСствС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ аксиомам:

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ ΠšΠ°Π²Π°Π»ΡŒΠ΅Ρ€ΠΈ (ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° ГалилСя). Если ΠΏΡ€ΠΈ пСрСсСчСнии Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Π΅Π» плоскостями, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ плоскости, Π² сСчСниях этих Ρ‚Π΅Π» любой ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… относятся ΠΊΠ°ΠΊ m : n, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π» относятся ΠΊΠ°ΠΊ m : n.

Π’ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΌ Π±Π°Π½ΠΊΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π•Π“Π­ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ для ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ этого способа опрСдСлСния объСма.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. Π”Π²Π° Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, выходящиС ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2 ΠΈ 6. ОбъСм ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 48. НайдитС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, выходящСС ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. НайдитС объСм ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС (всС Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ прямыС).

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. НайдитС объСм ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС (всС Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ прямыС).

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² школС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.

ОбъСм ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π’ прСдставлСнном случаС извСстны ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ΠΈ высота ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ объСм, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ ΠšΠ°Π²Π°Π»ΡŒΠ΅Ρ€ΠΈ. Рядом с ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠΎΠΉ (Π€2) помСстим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ (Π€1), Π² основании ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ основания ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. Высота Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° такая ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ (Ξ±) ΠΈ рассмотрим сСчСниС. Π’ сСчСнии Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ S ΠΈ, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ с ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ S. Π”Π°Π»Π΅Π΅ вычисляСм ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ОбъСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Π›Π΅ΠΌΠΌΠ°: Π΄Π²Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠΌΠΈ основаниями ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ высотами Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈ. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ это, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ ΠšΠ°Π²Π°Π»ΡŒΠ΅Ρ€ΠΈ.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ высоты ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡ… ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ плоскостями Ξ± ΠΈ Ξ². ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ΅ΠΊΡƒΡ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π² сСчСниях. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ этих Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² связаны нСпосрСдствСнно с ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оснований.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ объСм любой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈ произвСдСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ основания Π½Π° высоту. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π°ΠΏΠ΅Π»Π»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ довольно часто. Однако ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ объСма ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ появляСтся коэффициСнт 1/3? Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ это, возьмСм ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡƒ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ Π½Π° 3 Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ОбъСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ прямой ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ извСстны радиус основания ΠΈ высота. Рядом помСстим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄, Π² основании ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Рассмотрим:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ОбъСм конуса

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ. НапримСр, с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π² основании. Π”Π²Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ высотами Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π² Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π² сСчСнии ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎ подобиях приводят ΠΊ числу Ο€.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ОбъСм ΡˆΠ°Ρ€Π°

ОбъСм ΡˆΠ°Ρ€Π° β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных Ρ‚Π΅ΠΌ. Если ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ, Ρ‚ΠΎ ΡˆΠ°Ρ€ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ занятиС.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ объСм Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ гСомСтричСского Ρ‚Π΅Π»Π°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ с Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π½ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ прСдставлСнныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ аксиомы.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ГСомСтрия. 11 класс

ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

ГСомСтрия, 11 класс

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒ вопросов, рассматриваСмых Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅:

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°.

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ тСла– Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ пространства, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ, ΠΈ опрСдСляСмая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ этого Ρ‚Π΅Π»Π°.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ°:

— Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡ‹;

— Ссли Ρ‚Π΅Π»ΠΎ составлСно ΠΈΠ· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚Π΅Π», Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ² этих Ρ‚Π΅Π».

Атанасян Π›. Π‘. ΠΈ Π΄Ρ€. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, гСомСтрия. ГСомСтрия. 10–11 классы [тСкст]: ΡƒΡ‡Π΅Π±. для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚. ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΉ: Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π». ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½ΠΈ – М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2014. – 255 с. Π‘. 130–133.

ВСорСтичСский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ изучСния

Π‘ понятиСм ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ ΠΎΡ‚ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΌΡ‹ познакомились Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ школС.

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠΌ принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ пространства, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ, ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ этого Ρ‚Π΅Π»Π°.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ принято ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… измСрСния ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ° (Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… измСрСния Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° пространства, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ), Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² кубичСских ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…, сантимСтрах, ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π—Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ измСрСния ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ± с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ 1 см, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, кубичСский сантимСтр (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: см 3 ). По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ измСрСния ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ кубичСский ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ (1 ΠΌΠΌ 3 ), кубичСский ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ (1 ΠΌ 3 ) ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅.

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ выраТаСтся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числах. Π­Ρ‚ΠΎ число ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, сколько Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния содСрТится Π² Ρ‚Π΅Π»Π΅. НапримСр, сколько кубичСских ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π² Π°ΠΊΠ²Π°Ρ€ΠΈΡƒΠΌΠ΅, сколько кубичСских ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²Π² бассСйнС ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ обозначаСтся Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ латинской Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ V.

Рассмотрим свойства ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ².

Бвойство β„– 1. Π Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡ‹. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π΄Π²Π° Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ количСство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния ΠΈ частСй, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡ‹. НапримСр, 2 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠ»ΠΎΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ΅.

Бвойство β„– 2. Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ составлСно ΠΈΠ· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚Π΅Π», Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ² этих Ρ‚Π΅Π».

БлСдствиС ΠΈΠ· основных свойств ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ².

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΊΡƒΠ±Π° с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ 1/n Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1/n 3

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Рассмотрим ΠΊΡƒΠ±, ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ принят Π·Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ измСрСния ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ², Ρ‚ΠΎΠ΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ числукубичСских сантимСтров. Π•Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ измСрСния ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ². Π Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΡ‘ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ этого ΠΊΡƒΠ±Π° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ количСство частСй – nΡ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ провСсти плоскости, пСрпСндикулярныС ΠΊ этому Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

По Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ свойству ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ², сумма ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ² всСх ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡƒ всСго ΠΊΡƒΠ±Π° (1 см 3 ). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Π½Π° n частСй, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ малСнький ΠΊΡƒΠ± Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ большого ΠΊΡƒΠ±Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΡΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° P Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ a,b,c, Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ V, ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ V = a βˆ™ b βˆ™ c.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Рассмотрим Π΄Π²Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… случая.

По Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС, лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ нСравСнства прСдставляСт собой ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Vn ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Pn с измСрСниями an, bn, cn, Π° правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ – это ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Vn’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Pn’ с измСрСниями an’, bn’, cn’. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ P содСрТит Π² сСбС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ Pn, Π° сам содСрТится Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π΅ Pn’, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ V ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° P Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Ρ‘Π½ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Vn, = anbncn ΠΈ Vn’= an’bn’cn’. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ n. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° 1/10 n Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ, ΠΈ поэтому ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ an’bn’cn’ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ числа, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ anbncn. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число V сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ отличаСтся ΠΎΡ‚ числа, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ anbncn, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.V = abc, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π±ΠΎΡ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ модуля.

β„–1.Π”Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон основания ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 15 см ΠΈ 20 см. Высота ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ основания. НайдитС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ этого ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°.

Найдём Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ основания, для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°:

V = 15 βˆ™ 20 βˆ™ 25 = 7500 см 3

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ°β„–2.

AD = 960 : 8 : 20 = 6 см

Найдём АБ, воспользовавшись Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ГСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ плоскиС ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Ρ‹Π΅

Π¦Π΅Π»ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°:

ΠŸΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹:

личностныС:

ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅:

ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅:

Π£Π£Π” ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Π΅:

Π£Π£Π” личностныС:

Π’ΠΈΠΏ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹: словСсныС, ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠ΅, наглядныС, практичСскиС.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹: Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, групповая, парная, ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ.

1. ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.

Π£Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΡΠΎΠ»Π½Ρ‹ΡˆΠΊΠΎ взошло.
Новый дСнь Π½Π°ΠΌ принСсло.
Π‘ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Ρ€Ρ‹ΠΌΠΈ
Новый дСнь встрСчаСм ΠΌΡ‹.
Π’ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠΈ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ, я Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽ
Π˜Ρ… навстрСчу солнцу.
Π’ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠΈ Π½ΠΎΠ³ΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎ
Бтоят Π½Π° Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ ΠΈ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‚
МСня Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎΠΉ.
Π’ΠΎΡ‚ моя Π΄ΡƒΡˆΠ°, я Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽ
Π•Ρ‘ навстрСчу людям.
Наступи, Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ дСнь!
Здравствуй, Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ дСнь!

2. Актуализация Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ.

Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π΅ настроСниС. Π£Π»Ρ‹Π±Π½ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΌΠ½Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, ΡΠ°Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ!

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΈ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π²Π°ΠΌΠΈ высказываниС, ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ это высказываниС?

(Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ)

— И Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, рСбята, ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π² Ρ†Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‚, ΠΊΡ‚ΠΎ настраиваСт сСбя Π½Π° ΡΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ своих дСйствий. И Π²ΠΎΡ‚ я надСюсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ достигнСм своСй Ρ†Π΅Π»ΠΈ.

— НачнСм наш ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Ρ†Π΅Π»ΠΈ сСгодняшнСго ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.

3. ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

— ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° экран. Π§Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅? (ГСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹)

НазовитС эти Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

— КакоС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ своим одноклассникам? (Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹)

— Π£ вас Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Π°Ρ… Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с этими Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ это Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ….

— По ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ эти Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹?

— Π‘ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ? Π§Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρƒ Π½ΠΈΡ…? КакиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅?

— Какая ΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΠ° нашСго ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°? (Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ добавляСт слова Π½Π° доскС: ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Ρ‹Π΅, Π½Π° доскС появляСтся Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ гСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.)

— Π§Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅?

4. Β«ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅Β» Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ знания Π² практичСской ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅.

(Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡƒΠ± ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.)

— МоТно Π»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅?

— Π§Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ отличаСтся ΠΊΡƒΠ± ΠΎΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°?

— Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚. (Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ – ΠΊΡƒΠ± ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.)

— ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊ плоской повСрхности ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Ρ‹. Π§Ρ‚ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ? Он вСсь (Ρ†Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌ) Π»Ρ‘Π³ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹? Π’ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΡƒΡŽ?

! Как Π½Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‘ΠΌ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоской повСрхности? (Плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΎΠΉ.)

— МоТно Π»ΠΈ ΠΊΡƒΠ± ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (вСсь) ΠΏΡ€ΠΈΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Π΅? ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ.

— МоТно Π»ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ± плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΎΠΉ? ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ пространство ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ?

! Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΊΡƒΠ±Π΅? (Π—Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ пространство, являСтся ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΎΠΉ.)

Π’Π«Π’ΠžΠ”Π«: Π§Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ плоскиС ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹? (Π£Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹Π²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° доскС Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹.)

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹: ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, ΠΊΡƒΠ±, Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€, конус, ΡˆΠ°Ρ€, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄.

4. ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ.

1. НазовитС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° рисункС.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

— ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ основания этих Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€?

— КакиС Π΅Ρ‰Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° повСрхности ΠΊΡƒΠ±Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹?

2. Π€ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π° повСрхности ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ свои названия.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

— ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ свои названия.

— Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ гранями. А Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ – Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π°. Π£Π³Π»Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² – Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ элСмСнты ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.

— РСбята, Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ? ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ.

Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с тСтрадями: Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°

БоотнСсСниС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π».

— А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π° Ρ‚Ρƒ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ.

5. Π€ΠΈΠ·ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΠΊΠ°.

1. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ сСбС большой ΡˆΠ°Ρ€, ΠΏΠΎΠ³Π»Π°Π΄ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ со всСх сторон. Он большой, Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΠΉ.

(Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ Β«ΠΎΠ±Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚Β» Ρ€ΡƒΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ гладят Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΡˆΠ°Ρ€.)

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ сСбС конус, Π΄ΠΎΡ‚Ρ€ΠΎΠ½ΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ Π΄ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹. ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ растёт Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Π²ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½ ΡƒΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ вас. Π”ΠΎΠΏΡ€Ρ‹Π³Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΠΏΠΎΡ…Π»ΠΎΠΏΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌΡƒ основанию, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΏΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ, Π° Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€ΡƒΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности.

Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ стал малСнькой ΠΏΠΎΠ΄Π°Ρ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡΡŽΡ€ΠΏΡ€ΠΈΠ·, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ находится Π² этой ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π― наТимаю ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ и… ΡΡŽΡ€ΠΏΡ€ΠΈΠ· выскакиваСт ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ!

6. Групповая Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°:

(КаТдая Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€: ΠΊΡƒΠ±, ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄.ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π΄Π΅Ρ‚ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚, Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.)
Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° 1. (Для изучСния ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°)

Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° 2. (Для изучСния ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹)

Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° 3. (Для изучСния ΠΊΡƒΠ±Π°)

Π”Π°Π»Π΅Π΅ каТдая Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° выступаСт, прСдставляя свою ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ.

7. РСшСниС кроссворда

8. Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°. РСфлСксия Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

РСшСниС кроссворда Π² ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ

— Π§Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ для сСбя сСгодня ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΠΈ?

+ ВсС гСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ плоскиС.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠžΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Ρ‚Π΅Π»Π°

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Если Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° выраТаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ сколько Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΅Ρ‘ частСй ΡƒΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² этом Ρ‚Π΅Π»Π΅, ΠΏΡ€ΠΈ этом Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ² указываСтся послС Π½Π΅Π³ΠΎ.

Если Π΄Π²Π° Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… содСрТит ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΆΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† измСрСния ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΅Ρ‘ частСй, сколько ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ²:

Если Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ составлСно ΠΈΠ· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚Π΅Π», Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ области ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, станСт ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ всСго Ρ‚Π΅Π»Π° складываСтся ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠΎΠ² ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π΅Π».

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ ΠšΠ°Π²Π°Π»ΡŒΠ΅Ρ€ΠΈ:

Рассмотрим Π΄Π²Π° Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ плоскостями ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСмаи ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ любая ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, которая располоТСна ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСмаи ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСмаи являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌ, пСрСсСкаСт ΠΎΠ±Π° Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ‚Π°ΠΊ,Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ°Ρ€Π°Π· большС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ сСчСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ число ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма— ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ для любой сСкущСй плоскости. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, согласно ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡƒ ΠšΠ°Π²Π°Π»ΡŒΠ΅Ρ€ΠΈ, ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ°Ρ€Π°Π· большС ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли S2 = ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСмаS1, Ρ‚ΠΎ V2 = ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма V1.

ПодСлись с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ Π² ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сСтях:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ гСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ гСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π° плоскости β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ прямая линия. А ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ β€” это Π»ΡƒΡ‡, ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈ ломаная линия.

ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. Π•Π΅ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²: Ρƒ Π½Π΅Π΅ Π½Π΅Ρ‚ высоты, Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, радиуса. Π£ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΅ располоТСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ принято ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ латинского Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π°.

Из мноТСства Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ получится линия, Π° ΠΈΠ· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… соСдинСнных ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ β€” гСомСтричСскиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

КаТдая матСматичСская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΈ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ β€” это ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· характСристик Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ гСомСтричСской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, которая Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Π΅Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅. S (square) β€” Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ всСх сторон ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ обозначаСтся Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ латинской P.

Если ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… измСрСния Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ пСрСвСсти всС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ измСрСния.

ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ измСрСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ:

ГСомСтричСскиС Ρ‚Π΅Π»Π° β€” Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ пространства, которая ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ своСй Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹.

Если всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΎΠ½Π° являСтся плоской.

ОбъСмная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° β€” гСомСтричСская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ находятся Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹Ρ… гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€:

Рассмотрим ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΈΡ… опрСдСлСния ΠΈ свойства.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ всС стороны ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ.

Π£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ β€” это ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ соСдиняСт ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. Он Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎ всСх Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ…, число Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… большС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ….

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° β€” сумма Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹, умноТСнная Π½Π° Π΄Π²Π°.

P = 2 Γ— (a + b), Π³Π΄Π΅ a β€” ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π°, b β€” высота.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ β€” это Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ всС стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° β€” это Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны, умноТСнная Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅.

P = 4 Γ— a, Π³Π΄Π΅ a β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ВрапСция

ВрапСция β€” это Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²Π΅ стороны ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π° Π΄Π²Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

ОсновноС свойство: Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ссли сумма Π΅Π΅ оснований Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… сторон.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ:

S = (a + b) : 2 Γ— h, Π³Π΄Π΅ a, b β€” Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… основания, h β€” высота Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ высоту Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠ² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ соСдинил ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΈ Π±Ρ‹Π» располоТСн пСрпСндикулярно ΠΊ этим основаниям.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° для Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ отличаСтся ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ стороны.

P = a + b + 2 Γ— c, Π³Π΄Π΅ a, b β€” ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны, c β€” Π΄Π²Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… сторон.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΈ Ρ€ΠΎΠΌΠ±

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹

Π ΠΎΠΌΠ± β€” это ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€:

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Π° β€” это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ стороны Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅.

P = 4 Γ— a, Π³Π΄Π΅ a β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° β€” сумма Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹, умноТСнная Π½Π° Π΄Π²Π°.

P = 2 Γ— (a + b), Π³Π΄Π΅ a β€” ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π°, b β€” высота.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” это такая Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, которая образуСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ β€” сторонами.

Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ нСсколькими способами ΠΏΠΎ исходным Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΡ… рассмотрим.

S = 0,5 Γ— a Γ— h, Π³Π΄Π΅ a β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания, h β€” высота, провСдСнная ΠΊ основанию.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ОснованиС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ располоТСно ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π΅ высоту ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ основания:

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΡ€ΠΈ прямом ΡƒΠ³Π»Π΅ основаниСм ΠΈ высотой Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹:

S = 0,5 Γ— a Γ— b Γ— sinΞ±, Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b β€” Π΄Π²Π΅ стороны, sinΞ± β€” синус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

S = (a Γ— b Γ— с) : 4 Γ— R, Π³Π΄Π΅ a, b ΠΈ с β€” стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° R β€” радиус описанной окруТности.

S = p Γ— r, Π³Π΄Π΅ Ρ€ β€” ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, r β€” радиус вписанной окруТности.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° β€” это сумма Π΄Π»ΠΈΠ½ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π΅Π³ΠΎ сторон.

P = a + b + c, Π³Π΄Π΅ a, b, c β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° измСрСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° для равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° β€” это Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ стороны, умноТСнная Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ.

P = 3 Γ— a, Π³Π΄Π΅ a β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠšΡ€ΡƒΠ³ β€” это мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌ радиусу расстоянии.

ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” это Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

Радиус окруТности β€” это расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности Π΄ΠΎ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ.

Π”ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° β€” это ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ соСдиняСт Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности ΠΈ проходящий Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€. Π”ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π΅Π³ΠΎ радиусам.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°:

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° окруТности β€” это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ радиуса Π½Π° Π΄Π²Π° Пи ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π½Π° Пи.

L = d Γ— Ο€ = 2 Γ— r Γ— Ο€, Π³Π΄Π΅ d β€” Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, r β€” радиус, Ο€ β€” это константа, которая Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ окруТности ΠΊ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ, ΠΎΠ½Π° всСгда Ρ€Π°Π²Π½Π° 3,14.

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ объСма

БСсплатный ΠΌΠ°Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ½: ΠΊΠ°ΠΊ самому ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π½ΠΈΡ… (β—•α΄—β—•)

Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ½

БСсплатный ΠΌΠ°Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ½: ΠΊΠ°ΠΊ самому ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π½ΠΈΡ… (β—•α΄—β—•)

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *