какие точки называются диаметрально противоположными

Геометрические фигуры. Шар, сфера.

Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.

Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.

Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Меридианы шара (сферы).

Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.

Основные геометрические формулы шара (сферы).

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:

Определения, связанные с понятием шара.

Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:

Замкнутый шар с центром в x₀ и радиусом r можно выразить так:

Свойства шара.

S_цил и V_цил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.

Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.

Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:

Значит, сумма объёмов (V’) пирамид выразим формулой:

Сумма (S’) очень близка к площади поверхности шара (S).

Сумма объёмов всех пирамид (V’) приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:

которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.

где D — диаметр шара.

Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.

Источник

Геометрические фигуры. Шар, сфера.

Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.

Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.

Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Меридианы шара (сферы).

Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.

Основные геометрические формулы шара (сферы).

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:

Определения, связанные с понятием шара.

Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:

Замкнутый шар с центром в x₀ и радиусом r можно выразить так:

Свойства шара.

S_цил и V_цил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.

Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.

Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:

Значит, сумма объёмов (V’) пирамид выразим формулой:

Сумма (S’) очень близка к площади поверхности шара (S).

Сумма объёмов всех пирамид (V’) приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:

которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.

где D — диаметр шара.

Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.

Источник

Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства шара и сферы, а также формулы, с помощью которых можно найти площадь поверхности и объем данных геометрических фигур.

Определение шара и сферы

Шар – это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на расстоянии не больше заданного от точки, называемой центром шара (на рисунке ниже – это точка O). Другими словами, это совокупность точек, ограниченных сферой.

Шар образуется путем вращения круга вокруг своего диаметра (оси) на 180° или полукруга – на 360°.

Сфера – это поверхность шара. Образуется путем вращения окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности – на 360°.

Различают два вида шаров:

Радиус шара (сферы) – расстояние между центром и точками, лежащими на его поверхности. На рисунке выше обозначен буквой R.

Диаметр шара (сферы) – отрезок, проходящий через центр шара и соединяющие две противоположные точки на его поверхности. Совпадает с осью шара, обычно обозначается буквой d.

Полюсы шара (сферы) – точки A и B, расположенные на концах его диаметра.

Свойства шара и сферы

Свойство 1

Любое сечение шара плоскостью является кругом.

Свойство 2

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

Свойство 3

Все точки сферы равноудалены от ее центра.

Свойство 4

Сфера имеет самый большой объем среди всех фигур в пространстве, имеющих одинаковую площадь поверхности.

Свойство 5

Через две любые диаметрально противоположные точки (максимально отдаленные друг от друга точки на окружности) можно провести неограниченное количество кругов для шара или окружностей для сфер радиусом, равным радиусу шара/сферы.

Примечание: если точки не диаметрально противоположны, то провести можно только один круг (окружность).

Части шара

Сегмент шара – это часть шара, отсекаемая плоскостью. Иногда называется шаровым сегментом. На рисунке ниже окрашен в зеленый цвет.

Срез шара – часть шара между двумя параллельными плоскостями, пересекающими его. Также может называться шаровым слоем. На рисунке ниже закрашен желтым.

Сектор шара – состоит из шарового сегмента и конуса, вершина которого находится центре шара, а основание совпадает с основанием сегмента. На рисунке ниже сектор залит оранжевым.

Формулы для шара/сферы

В формулах ниже используется как радиус (R), так и диаметр фигур (d). Число π в расчетах обычно округляется до двух знаков после запятой и приблизительно равняется 3,14.

Источник

Геометрические фигуры. Шар, сфера.

Понятие шара в метрическом пространстве естественным образом обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Радиус AO и диаметр AB находят тем же способом, что и для окружности.

Сфера является поверхностью (границей) шара с центром и радиусом, как у сферы.

Шар — это тело правильно геометрической формы, ограниченное поверхностью шара. Шар возможно получить, методом вращения полукруга/круга около диаметра.

Любое плоское сечение шара является кругом. Чем ближе секущая плоскость к центру шара, тем радиус круга становится больше. Самый большой круг оказывается при прохождении плоскости через центр O. Этот круг разделяет шар на две равные части и он называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Меридианы шара (сферы).

Сквозь 2 точки шара, которые лежат на концах общего диаметра, возможно провести бесконечное число больших кругов — меридианов. Через 2 точки, которые не на концах общего диаметра шара возможно провести всего лишь 1 большой круг.

Основные геометрические формулы шара (сферы).

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r, диаметра d можно определить по формулам:

Определения, связанные с понятием шара.

Предположим, дано метрическое пространство (X, ρ). Значит:

Замкнутый шар с центром в x₀ и радиусом r можно выразить так:

Свойства шара.

S_цил и V_цил – полная поверхность и объём описанного цилиндра вокруг шара.

Формулу объёма шара можно объяснить следующими рассуждениями. В шаре возможно разместить огромное количество пирамид с очень маленькими основаниями, разместив пирамиды таким образом, чтобы их вершины располагались в центре шара, а основания лежали бы на поверхности шара и эти пирамиды соприкасались бы боковыми гранями.

Высота любой построенной пирамиды приблизительно равна радиусу (R) шара. Если не обращать внимание различиями этих длин, то объём (v) всех пирамид отдельно можно представить такой формулой:

Значит, сумма объёмов (V’) пирамид выразим формулой:

Сумма (S’) очень близка к площади поверхности шара (S).

Сумма объёмов всех пирамид (V’) приблизительно равна объёму (V) шара. Если не обращать внимание на незначительные различия в этих величинах, тогда получится такая формула:

которая показывает, что объём шара соответствует 1/3 произведения площади поверхности шара на длину радиуса. Зачастую озвучивают так: объём шара равен 1/3 произведения поверхности шара на его радиус.

где D — диаметр шара.

Примечание. В формуле V = 1/3 SR поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённых рассуждений можно было принять его приближённым, хотя в старших классах средней школы доказываем, что равенство V = 1/3 SR точное, а не приближённое.

Источник

Какие точки называются диаметрально противоположными

Шаром называется геометрическое место точек (множество точек) пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на расстояние, не большее данного положительного расстояния, называемого радиусом шара.

Сфера есть поверхность (граница) шара с тем же центром и радиусом, что и у сферы.

Математически верное определение

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Истроическая справка

Определения из учебников

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Данная точка — центр сферы. Отрезок ( — произвольная точка сферы) называется радиусом сферы ().

Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр , называется диаметром сферы.

Множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки не больше положительного расстояния , называется шаром.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через его центр, называется диаметром сферы.

Тело ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Итак, шар с центром и радиусом — это фигура, образованная всеми точками пространства, для которых .

Те точки шара с центром и радиусом , для которых , образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.

О тех же точках шара, для которых , говорят, что они лежат внутри шара.

Радиусом сферы (и шара) называют не только расстояние , но и любой отрезок, соединяющий центр с точкой сферы.

Диаметром сферы (и шара) называют как величину, равную удвоенному радиусу, так и любой отрезок, по которому шар пересекает прямая, проходящая через его центр.

Точки сферы, являющиеся концами диаметра сферы, называются диаметрально противоположными.

2. Сферу и шар можно определить, пользуясь понятием множества, или геометрического места точек.

Сферой назывется множество (геометрическое место) точек пространства, удаленных от данной точки на данное расстояние. Шаром называется множество (геометрическое место) точек пространства, удаленных от данной точки не более чем на данное расстояние.

Таким образом, сфера с центром в точке и радиусом есть множество таких точек в пространстве, для которых .

Таким образом, шар с ыентром в точке и радиусом есть множество точек в пространстве, для которых .

Шар есть объединение множества точек, для которых , и множества точек, для которых .

Множество точек, для которых , это сфера; она называется поверхностью шара; говорят также, что она ограничивает шар. Точки шара, для которых , называются его внутренними точками. Про эти точки говорят также, что они лежат внутри шара. Радиусом сферы и шара называют не только расстояние, но также любой отрезок, их центр с точкой на сфере.

Диаметром шара и сферы называют как величину, равную удвоенному их радиусу, так и любой отрезок, по которому пересекает шар прямая, проходящая через его центр.
Точки сферы, являющиеся концами диаметра, называются диаметрально противоположными.

Сфера с тем же центром и того же радиуса, что и данный шар, называется поверхностью шара.

Радиусом сферы называется также отрезок, соединяющий центр сферы и какую-нибудь ее точку.

Шаром называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на расстояние, не превосходящее данное, называемое радиусом.

Сфера с тем же центром и того же радиуса, что и данный шар, называется поверхностью шара.

Радиусом шара называется также отрезок, соединяющий центр шара и какую-нибудь точку его поверхности.

Со сферой, шаром (как и с окружностью) связаны понятия диаметр и хорда.

Отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой поверхности, называется диаметром шара. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.

Источник

• ← какие точки называют точками кульминации светил
• какие точки называются замечательными точками треугольника →