какие уравнения называются тригонометрическими

Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Уравнения и

Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что — это множество целых чисел.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой :

Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

И записываем ответ:

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — прибавлением целого числа углов (полуоборотов):

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ). Начинаем с косинуса.

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой :

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :

Углы, отвечающие правой точке:

Углы, отвечающие левой точке:

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов.

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников и имеем:

Мы рассмотрели случай, когда находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Вот рисунок в случае, когда находится во второй четверти. Тангенс угла отрицателен.

Уравнение

.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение равносильно уравнению ;

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

Источник

Как научить решать тригонометрические уравнения и неравенства: методика преподавания

Курс математики корпорации «Российский учебник», авторства Георгия Муравина и Ольги Муравиной, предусматривает постепенный переход к решению тригонометрических уравнений и неравенств в 10 классе, а также продолжение их изучения в 11 классе. Представляем вашему вниманию этапы перехода к теме с выдержками из учебника «Алгебра и начало математического анализа» (углубленный уровень).

1. Синус и косинус любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример задания. Найти приближенно углы, косинусы которых равны 0,8.

Решение. Косинус — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности. Все точки с абсциссами, равными 0,8, принадлежат прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку C(0,8; 0). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P_α° и P_β°, симметричных относительно оси абсцисс.

С помощью транспортира находим, что угол α° приближенно равен 37°. Значит, общий вид углов поворота с конечной точкой P_α°:

α° ≈ 37° + 360°n, где n — любое целое число.

В силу симметрии относительно оси абсцисс точка P_β° — конечная точка поворота на угол –37°. Значит, для нее общий вид углов поворота:

β° ≈ –37° + 360°n, где n — любое целое число.

Ответ: 37° + 360°n, –37° + 360°n, где n— любое целое число.

Пример задания. Найти углы, синусы которых равны 0,5.

Решение. Синус — это ордината соответствующей точки единичной окружности. Все точки с ординатами, равными 0,5, принадлежат прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку D(0; 0,5).

Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: P_φ и P_π–φ, симметричных относительно оси ординат. В прямоугольном треугольнике OKP_φ катет KP_φ равен половине гипотенузы OPφ, значит,

Общий вид углов поворота с конечной точкой P_φ:

где n — любое целое число. Общий вид углов поворота с конечной точкой P_π–φ:

где n — любое целое число.

Ответ: где n — любое целое число.

2. Тангенс и котангенс любого угла (пропедевтика к изучению тригонометрических уравнений)

Пример 2. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Пример задания. Найти общий вид углов, тангенс которых равен –1,2.

Решение. Отметим на оси тангенсов точку C с ординатой, равной –1,2, и проведем прямую OC. Прямая OC пересекает единичную окружность в точках P_α° и P_β° — концах одного и того же диаметра. Углы, соответствующие этим точкам, отличаются друг от друга на целое число полуоборотов, т.е. на 180°n (n — целое число). С помощью транспортира находим, что угол P_α° OP₀ равен –50°. Значит, общий вид углов, тангенс которых равен –1,2, следующий: –50° + 180°n (n — целое число)

По синусу и косинусу углов 30°, 45° и 60° легко найти их тангенсы и котангенсы. Например,

Перечисленные углы довольно часто встречаются в разных задачах, поэтому полезно запомнить значения тангенса и котангенса этих углов.

Источник

Основные виды тригонометрических уравнений (задание 13)

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

Пример 1. Решить уравнение \(6\cos^2x-13\sin x-13=0\)

Пример 2. Решить уравнение \(5\sin 2x=\cos 4x-3\)

Пример 3. Решить уравнение \(\mathrm\, x+3\mathrm\,x+4=0\)

Сделаем обратную замену:

Пример 4. Решить уравнение \(11\cos 2x-3=3\sin 3x-11\sin x\)

При помощи формул \(\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x\) и \(\cos2x=1-2\sin^2x\) можно свести уравнение к уравнению только с \(\sin x\) :

Таким образом, корень \(t_3\) не подходит. Сделаем обратную замену:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения второй степени: \[I. \quad <\Large>, \quad a\ne 0,c\ne 0\]

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Таким образом, данное уравнение при помощи деления на \(\cos^2x\) и замены \(t=\mathrm\,x\) сводится к квадратному уравнению:

Уравнения вида \[I’. \quad <\Large>, \quad a\ne0,c\ne 0\] с легкостью сводятся к уравнению вида \(I\) с помощью использования основного тригонометрического тождества: \[d=d\cdot 1=d\cdot (\sin^2x+\cos^2x)\]

Заметим, что благодаря формуле \(\sin2x=2\sin x\cos x\) однородное уравнение можно записать в виде

\(a\sin^2 x+b\sin 2x+c\cos^2x=0\)

Пример 5. Решить уравнение \(2\sin^2x+3\sin x\cos x=3\cos^2x+1\)

Подставим вместо \(1=\sin^2x+\cos^2x\) и получим:

\(\blacktriangleright\) Однородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0\]

Аналогично и \(\sin x=0\) не является решением такого уравнения.

Пример 6. Решить уравнение \(\sin x+\cos x=0\)

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sin x\) :

\(1+\mathrm\, x=0 \Rightarrow \mathrm\, x=-1 \Rightarrow x=-\dfrac<\pi>4+\pi n, n\in\mathbb\)

\(\blacktriangleright\) Неоднородные тригонометрические уравнения первой степени: \[II.\quad <\Large>, a\ne0, b\ne 0, c\ne 0\]

Существует несколько способов решения подобных уравнений. Рассмотрим те из них, которые можно использовать для любого такого уравнения:

1 СПОСОБ: при помощи формул двойного угла для синуса и косинуса и основного тригонометрического тождества: \(<\large<\sin x=2\sin<\dfrac x2>\cos<\dfrac x2>, \qquad \cos x=\cos^2 <\dfrac x2>-\sin^2 <\dfrac x2>,\qquad c=c\cdot \Big(\sin^2 <\dfrac x2>+\cos^2 <\dfrac x2>\Big)>>\) данное уравнение сведется к уравнению \(I\) :

Пример 7. Решить уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

2 СПОСОБ: при помощи формул выражения функций через тангенс половинного угла: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<\alpha>=\dfrac<2\mathrm\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2> &&& \cos<\alpha>=\dfrac<1-\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2><1+\mathrm^2\, \dfrac<\alpha>2>\\&&&\\ \hline \end\] уравнение сведется к квадратному уравнению относительно \(\mathrm\, \dfrac x2\)

Пример 8. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Таким образом, мы получили то же уравнение, что и, решая первым способом.

3 СПОСОБ: при помощи формулы вспомогательного угла.
\[<\large\,\sin (x+\phi),>> \quad \text <где >\cos \phi=\dfrac a<\sqrt>\]

Для использования данной формулы нам понадобятся формулы сложения углов: \[\begin <|lc|cr|>\hline &&&\\ \sin<(\alpha\pm \beta)>=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha &&& \cos<(\alpha\pm \beta)>=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &&&\\ \hline \end\]

Пример 9. Решить то же уравнение \(\sin 2x-\sqrt3 \cos 2x=-1\)

Т.к. мы решаем уравнение, то можно не преобразовывать левую часть, а просто разделить обе части уравнения на \(\sqrt<1^2+(-\sqrt3)^2>=2\) :

\(\dfrac12\sin 2x-\dfrac<\sqrt3>2\cos 2x=-\dfrac12\)

\(\sin 2x\cos \dfrac<\pi>3-\sin \dfrac<\pi>3\cos 2x=-\dfrac12 \Rightarrow \sin\left(2x-\dfrac<\pi>3\right)=-\dfrac12\)

Решениями данного уравнения являются:

Заметим, что при решении уравнения третьим способом мы добились “более красивого” ответа (хотя ответы, естественно, одинаковы), чем при решении первым или вторым способом (которые, по сути, приводят уравнение к одному и тому же виду).
Таким образом, не стоит пренебрегать третьим способом решения данного уравнения.

\(\blacktriangleright\) Если тригонометрическое уравнение можно свести к виду \[<\Large>, \text <где >a\ne 0, b\ne 0,\] то с помощью формулы \[<\large<(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm2\sin x\cos x>> \ \ (*)\] данное уравнение можно свести к квадратному.

\(\blacktriangleright\) Формулы сокращенного умножения в тригонометрическом варианте:

\(I\) Квадрат суммы или разности \((A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2\) :

\((\sin x\pm \cos x)^2=\sin^2 x\pm 2\sin x\cos x+\cos^2x=(\sin^2 x+\cos^2 x)\pm 2\sin x\cos x=1\pm \sin 2x\)

\(II\) Разность квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :

\((\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x\)

\(III\) Сумма или разность кубов \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\) :

\(\sin^3x\pm \cos^3x=(\sin x\pm \cos x)(\sin^2x\mp \sin x\cos x+\cos^2x)=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \sin x\cos x)=\)

\(=(\sin x\pm \cos x)(1\mp \frac12\sin 2x)\)

\(IV\) Куб суммы или разности \((A\pm B)^3=A^3\pm B^3\pm 3AB(A\pm B)\) :

\((\sin x\pm \cos x)^3=(\sin x\pm \cos x)(\sin x\pm \cos x)^2=(\sin x\pm \cos x)(1\pm \sin 2x)\) (по первой формуле)

Источник

Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 1

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.

Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.

Уравнения cosx = a и sinx = a

Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии . Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или cosx = −7 решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:

Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:

И записываем ответ:

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

Это — дело исключительно вашего вкуса.

Заодно сделаем первое полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.

7.

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

8.

9.

10.

11.

12.

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

13.

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :

Углы, отвечающие правой точке:

Углы, отвечающие левой точке:

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то

Мы получили первую серию решений x₁. А если k нечётно, k = 2n + 1, то

Это вторая серия x₂.

Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1) k обычно ставится правая точка, в данном случае .

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

14.

15.

16.

17.

18.

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:

Но поэтому

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.

Уравнение tg x = a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

19.

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

20.

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

21.

22.

23.

24.

25.

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:

• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;

• при уравнение равносильно уравнению

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.

Источник