Сумма дарбу как считать

21.09.202329.09.2023 admin 0 Comments

Суммы Дарбу. Определение и свойства.

Пусть функция — ограничена на и существует разбиение этого отрезка . Это значит, что — ограничена на любом . Отсюда, по второй теореме Вейерштрасса, .

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной.

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале разбиения T точку будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция : Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов разбиения T мы выбираем точку так, чтобы значение было максимальным: . Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу.

— верхняя сумма Дарбу функции f на [a; b], отвечающая разбиению τ [иначе S*(f, I, τ)], τ =

— нижняя сумма Дарбу функции f на [a; b], отвечающая разбиению τ [иначе S∗(f, I, τ)], τ =

Замечание: суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек

Геометрический смысл интегральных сумм Дарбу — это площади многоугольников, заштрихованных на рисунке.

Свойства:

Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:

Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы утверждения равносильны.

4. При T — фиксированном, справедливы равенства:

Докажем первое равенство. Необходимо показать, что S∗ — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы, т.е. нужно показать следующее:

: (в данном случае сигма обозначает интегральную сумму)

Т.к. , то

Домножим на :

Просуммируем i- ые элементы:

Вывод: получили, что — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы .

Аналогично доказывается второе утверждение.

5. Существуют пределы нижних и верхних сумм Дарбу:

(числа I∗(f) и I∗(f) иногда называют нижним и верхним

интегралами Дарбу функции f)

Вставка из лекции (доказательства свойств)

17. Класс R [a,b] функций, интегрируемых по Риману. Необходимое условие интегрируемости.

дичь какая-то, извините

Линейно-алгебраическое отступление (понятие линейного пространства, оператора, функционала, сопряженного пространства).

Линейным (векторным) пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам u и v поставлен в соответствие вектор u+v, называемый суммой векторов u и v, любому вектору v и любому числу λ из поля действительных чисел R поставлен в соответствие вектор λv, называемый произведением вектора v на число λ; так что выполняются следующие условия:

1. u+v=v+u ∀ u,v ∈ V (коммутативность сложения);

2. u+(v+w)=(u+v)+w ∀ u,v,w ∈ V (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент o ∈ V, называемый нулевым вектором, что v+o=v ∀ v ∈ V;

4. для каждого вектора v существует такой вектор (−v) ∈ V, называемый противоположным вектору v, что v+(−v)=o;5. λ(u+v)=λu+λv ∀ u,v ∈ V, ∀ λ ∈ R;

6. (λ+μ)v=λv+μv ∀ v ∈ V, ∀ λ,μ ∈ R;

7. λ(μv)=(λμ)v ∀ v ∈ V, ∀ λ,μ ∈ R;

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства. Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества V, такие векторы называются равными.

Замечания 8.1

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

5. Разностью векторов u и v называется сумма вектора u с противоположным вектором (−v) и обозначается: u−v=u+(−v).

6. Два ненулевых вектора u и v называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число λ, что v=λu. Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор o считается коллинеарным с любым вектором.

Дата добавления: 2019-09-13 ; просмотров: 403 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства

Определенный интеграл и его геометрические приложения

Интегрируемость функции на сегменте.

Сумма дарбу как считать. Смотреть фото Сумма дарбу как считать. Смотреть картинку Сумма дарбу как считать. Картинка про Сумма дарбу как считать. Фото Сумма дарбу как считать

Рис.1

Пусть функция f(x) задана на сегменте [a,b] (a 0 можно указать такое положительное число

, что для любого разбиения Т сегмента [a,b], максимальная длина D частичных сегментов которого

Доказательство:Пусть функция f(x) неограничена на [a,b], тогда она неограничена на некотором частичном сегменте [x_k-1,x_k] любого данного разбиения Т сегмента [a,b]. Тогда слагаемое f( )Dx_k интегральной суммы , отвечающее этому разбиению Т, за счет выбора т. может быть сделано как угодно большим по абсолютной величине, т.е. интегральные суммы , отвечающие любому разбиению Т, не ограничены, и поэтому не существует конечного предела интегральных сумм. Итак, будем рассматривать лишь ограниченные на [a,b] функции.

Замечание:Отметим, что вообще говоря, не всякая ограниченная на [a,b] функция является интегрируемой на этом сегменте.

Верхние и нижние суммы Дарбу и их свойства.

Свойства верхних и нижних сумм подробно изложены в [2] (стр. 321-323), поэтому приведем лишь формулировки теорем и прокомментируем каждую из них с помощью рисунков.

Свойство 1.Для любого фиксированного разбиения Т и для любого e>0 промежуточные точки на сегментах [x_i-1,x_i] можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам
0£S-

Сегменты [x₀,x₁] и [x₂,x₃] поделились на сегменты [x₀,t₁], [t₁,x₁] и [x₂,t₂], [t₂,x₃], соответственно. Верхняя сумма на сегментах [x₀,t₁] и [x₂,t₂] уменьшилась на величину, равную площадям прямоугольников ABCD и KLMN, а на остальных частичных сегментах осталась без изменения, поэтому верхняя сумма разбиения уменьшилась по сравнению с верхней суммой S.

На рис.5 приведена аналогичная картина для нижних сумм.

Свойство 3.Пусть и любые два разбиения [a,b]. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если , ; , соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то £ ;

Источник

Суммы Дарбу

В качестве вспомогательного средства исследования, наряду с интегральными суммами, введём в рассмотрение так называемые суммы Дарбу. Обозначим через и , соответственно, точные нижнюю и верхнюю границы функции в промежутке и составим суммы:

Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу.

В частном случае, когда непрерывна, они являются просто наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих взятому разбиению, так как в этом случае функция в каждом промежутке достигает своих границ, и точки можно выбрать так, чтобы было или

Пере6ходя к общему случаю, из самого определения нижней и верхней границ, имеем: . Умножив это неравенство на и просуммировав по , получим:

При фиксированном разбиении суммы s и S будут постоянными, в то время как сумма ещё остаётся переменной ввиду производности чисел . Но за счёт выбора можно значения сделать сколь угодно близкими как к , так и к ,а значит – сумму сделать сколь угодно близкой к s или к S. А тогда предыдущие неравенства приводят к следующему общему замечанию: при данном разбиении промежутка, суммы Дарбу s и S служат точными, соответственно, нижней и верхней границами для интегральных сумм.

Суммы Дарбу обладают следующими свойствами:

I.Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма – разве лишь уменьшиться.

Доказательство:

Для доказательства этого свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления ещё одной точки . Пусть .

Если обозначить новую верхнюю сумму, то от прежней S она будет отличаться только тем, что в сумме S промежутку отвечало слагаемое , а в новой сумме этому промежутку отвечает сумма двух слагаемых , где и есть точные верхние границы функции в промежутках и . Так как эти промежутки являются частями промежутка , то

Складывая эти неравенства, получаем:

Отсюда и следует, что

Для нижней суммы доказательство аналогично.

II.Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы, хотя бы отвечающей и другому разбиению промежутка.

Доказательство:

Разобьём промежуток произвольным образом на части и составим для этого разбиения суммы Дарбу и . Рассмотрим теперь некоторые другие разбиения промежутка .Ему будут отвечать суммы и . Требуется доказать, что . С этой целью объединим те и другие точки деления; тогда получим некоторое третье, вспомогательное разбиение, которому будут отвечать суммы и .

Третье разбиение получено из первого добавлением новых точек деления; поэтому, на основании свойства 1) сумм Дарбу, имеем (обе нижние суммы!)

Составив теперь второе и третье разбиения, точно так же заключаем, что . Но , так что из только что полученных неравенств вытекает:

Замечание. Из доказанного, следует, что всё множество нижних сумм ограничено сверху, например, любой верхней суммой . В таком случае, это множество имеет конечную точную верхнюю границу: , и, кроме того, , какова бы ни была верхняя сумма . При этом множество верхних сумм оказывается ограниченным снизу числом Следовательно, оно имеет точную нижнюю границу: , получим, очевидно, .