Сумма сигма как считать

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Для тех, кто подзабыл матешу

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Источник

Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.

СОДЕРЖАНИЕ

Обозначение

Обозначение заглавной буквы

Это читается как «сумма a _i от i = m до n ».

Вот пример суммирования квадратов:

Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, и предполагается, что сумма берется по всем значениям, удовлетворяющим условию. Например:

Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,

Особые случаи

Можно суммировать менее 2 чисел:

Формальное определение

Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом:

Обозначения теории меры

Исчисление конечных разностей

Пример применения вышеуказанного уравнения следующий:

Аппроксимация определенными интегралами

и для любой убывающей функции f :

Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемой функцией индекса, суммирование можно интерпретировать как сумму Римана, входящую в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что

Идентичности

Общая идентичность

Степени и логарифм арифметических прогрессий

Индекс суммирования в показателях

Биномиальные коэффициенты и факториалы

Существует очень много тождеств суммирования, включающих биномиальные коэффициенты (целая глава Конкретной математики посвящена только основным методам). Вот некоторые из самых основных.

Используя биномиальную теорему

Вовлечение чисел перестановки

Другие

Гармонические числа

Темпы роста

Ниже приведены полезные приближения (с использованием тета-записи ):

Источник

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

3. Суммирование

Определение. Пусть дана последовательность чисел и натуральные числа и , причем .

(сумма по от до ) — сумма всех членов последовательности, номера которых не меньше и не больше .

Замечание. Сумма, состоящая из одного слагаемого, считается равной этому слагаемому.

Пример. .

Пример.

Свойства знака

1. .

2. .

3. .

4. .

Пример. Вычислим .

Просуммируем левую и правую части по от до

Слева получаем

Имеем

Задачи.

1. Найти

2.

3.

4.

5.

6. Найти сумму первых членов последовательности, если ее -ый член

7. Найти (пятерок — ).

8. .

Комментариев: 28

1 Vasja_Vasja:

3/2 + 8/3 + 15/4 + 24/5 = (90 + 160 + 225 + 288)/60 = 763/60
Наверное у вас просто опечатка

2 Елизавета Александровна Калинина:

3 Вася Пупкин:

4 Вася Пупкин:

Это как раз таки понятно, я имел ввиду другое. Не понятно, почему Вы взяли именно куб суммы и как это связано с суммой k^2.

5 Елизавета Александровна Калинина:

Поняла. Это догадка. Логически не объяснить… Искусственный прием. Кто-то, даже не знаю кто, придумал.

6 Вася Пупкин:

Т.е. примеры из данной главы тоже решать основываясь на догадках и интуиции? Меня немного смутил способ, которым я решил первую задачу.

Перебирая всевозможные варианты, я заметил, что сумма последовательности k^3 равна сумме последовательности k, возведенной во вторую степень, т.е. (k(k+1)/2)^2 и доказал это методом мат. индукции.

7 Елизавета Александровна Калинина:

8 Вася Пупкин:

9 Александр:

второй вроде решается с помощью формулы для суммы членов геометрической прогрессии или есть другой способ?

10 Геннадий:

Добрый день!
Все-таки меня учили классически, и ноль для меня всегда целое число, а не натуральное.
Что касается суммы бесконечного числа нулей. Если это сумма вида , т.е. сумма счетного числа нулей, то она равна нулю. Если же мы рассматриваем неопределенность вида , то здесь могут быть разные варианты.

Геннадий Reply:
Май 31st, 2014 at 18:21

Да, советские математики, а затем и российские не считают ноль натуральным числом. Для зарубежных – это не так. Например, французы Бурбаки определяют натуральные числа как мощности конечных множеств. Поэтому у них ноль (мощность пустого множества) тоже натуральное число.
Что касается суммы нулей, мне тоже хочется, чтобы сумма счетного числа нулей была равна нулю. Но посмотрите на эти преобразования:

Получаем неопределенность. И что с этим делать, понятия не имею.

Геннадий Reply:
Май 31st, 2014 at 18:27

Извините, в формуле между 1 и 0 не пропечатался знак умножения, а также многоточие. Может, такой знак сойдет за умножение: .
В пояснениях к набору формул в LaTex не нашел ни знака умножения, ни многоточия.

Ничего страшного. Спасибо, исправила.

Дело в том, что неопределенности можно раскрывать. И в Вашем примере она раскрывается как нуль, поскольку бесконечность – сумма счетного числа единиц.

Геннадий Reply:
Июнь 1st, 2014 at 10:22

Здравствуйте! Спасибо за корректировку моих текстов. Жаль, нет возможности это сделать самому, поскольку в громоздких формулах ошибки практически неизбежны. И не всегда администратор может их исправить, да и незачем нагружать его этим.
Относительно рассматриваемой суммы, конечно, бесконечность бесконечности рознь, и некоторые неопределенности можно раскрывать. Но ноль, все-таки, «он и в Африке ноль». И в данном случае меня «гложет сомнение». Смотрите, что получается:

В итоге мы раскрыли неразрешимую неопределенность. Где-то ошибка, или здесь первое равенство недопустимо, или сумма счетного числа нулей не равна нулю.

Если будет ошибка, пишите, я исправлю.
По поводу неопределенности. Она может быть раскрыта, если известно, какая неопределенность. У Вас с первым равенством все в порядке, второе равенство не всегда является равенством, только для рассматриваемого случая это так.

Геннадий Reply:
Июнь 2nd, 2014 at 0:16

Извините, но Вы меня совсем запутали. Разве равенство 0/0 = 0 может быть верно для какого-то особого случая? На мой взгляд, такое равенство либо всегда верно, либо всегда ложно. И справедливо, конечно, последнее.

Смотрите, — неопределенность. Я имею в виду, скажем, такие соотношения: , , . Все это неопределенности вида . Однако в первом случае предел равен , во втором — , а в третьем — .

11 Геннадий:

Здравствуйте, Елизавета Александровна! Конечно, 0/0 – это неопределенность, и Ваши примеры с пределами доходчиво иллюстрируют роль бесконечно малых различных порядков. Мне хотелось проанализировать неопределенность 0/0 с помощью бесконечно малых и бесконечно больших констант, и здесь помогла статья на Вашем сайте http://hijos.ru/diskussionnyj-klub/analiz-myortv-da-zdravstvuet-analiz/.
Неопределенность 0/0 как деление двух бесконечно малых констант можно свести к сумме счетного числа нулей лишь в том случае, когда в числителе бесконечно малая такого же или большего порядка, чем в знаменателе. Если числитель и знаменатель – бесконечно малые первого порядка, то после преобразования

, заменив далее бесконечность на сумму счетного числа конечных величин и раскрыв скобки, мы в итоге получим бесконечную сумму нулей, а точнее счетное число бесконечно малых первого порядка. Такая сумма равна не нулю, а произвольному конечному числу. Это как разбить конечный отрезок любой длины на бесконечно большое число бесконечно малых частей, т.е. частей нулевой длины, а затем эти части (нули) обратно сложить.
Сумма счетного числа нулей равна нулю, если среди слагаемых нет счетного числа бесконечно малых первого порядка. К такой сумме можно преобразовать неопределенность 0/0, если числитель – бесконечно малая второго и большего порядка, а знаменатель – бесконечно малая первого порядка.
PS. Похоже (или я не прав?), в любой сумме слагаемых может быть конечное число или счетное, но никак не континуум. Знак “+” сам по себе играет роль разделителя суммируемых и, следовательно, подсчитываемых величин, число которых поэтому не более, чем счетно.

Добрый вечер! Если мы разобьем отрезок на части нулевой длины, то таких частей будет не счетное число. Вот тут, например, доказано, что множество вещественных чисел несчетно (теорема 2):http://sernam.ru/lect_math2.php?id=14

Геннадий Reply:
Июнь 6th, 2014 at 9:52

Здравствуйте, Елизавета Александровна! В прошлом моем комментарии ссылка с ошибкой, повторились кавычки. Если можно, уберите лишнюю кавычку в тексте атрибута href.
Конечно, множество вещественных чисел несчетно, а множество рациональных чисел счетно, но мы не об этом. Если разбивается конечный отрезок вещественной оси на бесконечно большое число бесконечно малых частей, это не значит, что отрезок расщепляется на отдельные точки (наверное, это и невозможно в силу непрерывности).
Процитирую отрывок из того же автора: «бесконечно малая никак и ничем по размеру не отличима от нуля, её размер никак не ощутим и не наблюдаем. Поэтому она точно равна нулю в смысле обычного равенства чисел. Но, тем не менее, бесконечно малая не совпадает с нулём тождественно и в этом смысле равна нулю лишь приближённо».
Мы работаем с бесконечной малой окрестностью конечного числа, в каждой такой окрестности число точек несчетно, но количество самих окрестностей уже счетно. Выделяя окрестности, мы уходим от непрерывности вещественных чисел, уходим от континуума.

12 Меня терзают смутные сомнения:

Нельзя-ли здесь воспользоваться функциональными уравнениями вида

выражению под знаком суммирования?
Рассмотрим приведенный выше пример

Соответствующее функциональное уравнение

Предположим, что решением будет полином 3-й степени.

Меня терзают смутные сомнения Reply:
Апрель 23rd, 2015 at 5:55

Елизавета Александровна, позвольте сформулировать вопрос по-другому:
Не существует-ли какого-либо стандартного подхода, приема, может-быть трюка, позволяющего решать функциональные уравнения именно этого вида

для большинства ?
Это значительно упростило-бы решение задач на суммирование последовательностей, включая приведенные на этой странице.

Источник

Какова формула Сигмы?

Кроме того, можем ли мы использовать любую букву для индекса суммирования Почему?

Да, потому что буква, представляющая индекс суммирования, не влияет на сумму или фактический результат суммирования. … Буква индекса используется только как знак или указатель для начального значения.

Из этого, что такое правило сигмы?

Эмпирическое правило, утверждающее, что для многих достаточно симметричных унимодальных распределений почти все население находится в пределах трех стандартных отклонений от среднего. Для нормального распределения около 99.7% населения находится в пределах трех стандартных отклонений от среднего. См. Также правило двух сигм.

Также нужно знать, что такое символ сигмы? Символ Σ (сигма) обычно используется для обозначения суммы нескольких терминов. Этот символ обычно сопровождается индексом, который варьируется, чтобы охватить все термины, которые необходимо учитывать в сумме. Например, сумму первых целых чисел можно представить следующим образом: 1 2 3 ⋯.

Можем ли мы использовать любую букву для индекса?

Для индекса можно использовать любую букву, но i, j, k, m и n, вероятно, используются чаще, чем любые другие буквы. Если вы складываете только первые несколько членов ряда, а не все (возможно, бесконечно много) из них, это называется «взятием (или нахождением) частичной суммы».

Как решить задачу суммирования?

Например, перед использованием приведенных выше формул убедитесь, что суммирование начинается с i = 1.

Может ли индекс суммирования быть отрицательным?

Это может быть отрицательно, но обычно этого избегают. Если вы хотите суммировать, то вы можете записать это как: Но, очевидно, лучше пойти на: Важно, чтобы набор индексов был хорошо упорядочен и этот порядок был естественным, чтобы не было двусмысленности.

Какая польза от сигмы в тригонометрии?

Обозначение суммирования часто известно как обозначение сигмы, потому что оно использует греческую заглавную букву сигма, Σ, представлять сумму. Обозначение суммирования включает явную формулу и определяет первый и последний члены в ряду. Явная формула для каждого члена ряда дана справа от сигмы.

Как работает суммирование?

Знак суммы S, указывает нам суммировать элементы последовательности. Типичный элемент суммируемой последовательности появляется справа от знака суммирования. Переменная суммирования представлена ​​индексом, который ставится под знаком суммирования. Индекс часто представлен i.

Что вы называете символом F?

Что такое сигма-сленг?

Что такое символ разницы?

Что такое буквенный указатель?

В основном это то, что использует индекс, в нем число, связанное с каждой буквой. Каждая буква имеет определенный номер вместе со всеми другими нечисловыми символами. Например (может ошибаться) A = 92.

Какая формула последовательности и серии?

Формулы последовательности и ряда

Что такое обозначение пи?

Какова формула суммирования 1 2 3 n?

Для тех из вас, кто не знаком с этой серией, которая стала известна как суммирование Рамануджана в честь известного индийского математика по имени Шриниваса Рамануджан, она утверждает, что если вы сложите все натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4 и так далее, вплоть до бесконечности, вы обнаружите, что оно равно -1/12.

Что это за символ Σ?

Что такое K в сигма-нотации?

к = 1. 3k. Знак Σ (сигма) указывает на то, что берется сумма. Переменная k называется индексом суммы. Числа вверху и внизу Σ называются верхним и нижним пределами суммирования.

Какой предел суммирования?

Пределы суммирования часто понимаются как я = от 1 до n. Тогда обозначения внизу и над знаком суммы опускаются. Следовательно, это выражение означает суммирование значений x, начиная с x₁ и заканчивая x_n.

Что такое K в обозначении суммирования?

k: k в левой части равенства называется индексная переменная или индекс суммирования, а иногда просто index. Он будет принимать все целые числа от a до b (включительно).

Что означает σ в статистике?

Обычно, когда говорят о статистической значимости, единицей измерения является стандартное отклонение, выражается строчной греческой буквой сигма (σ). … Термин относится к степени изменчивости в данном наборе данных: все точки данных сгруппированы вместе или сильно разнесены.

Что такое сигма в квадрате?

Что такое строчная сигма в физике?

Что означает обратная тройка в математике?

Математики произносят сигма как «сумма», что означает «подводить итоги». Он отличается от английского эквивалента суммирования идей, но является результатом любого уравнения. Когда вы используете его в уравнении, сигма суммирует все, что появляется после символа.

Какие два типа суммирования?

Существует два типа суммирования: пространственное суммирование и временное суммирование которые возникают между нейронами.

Сумма умножается?

Источник