Точки разрыва как находить

Как найти точки разрыва функции — пошаговая инструкция

Нахождение точек разрыва функции является одним из обязательных моментов исследования на непрерывность. Для кого-то это может прозвучать непонятно, а для остальных будет слишком банально.

Но и тем, и другим не стоит делать поспешные выводы: материал этой темы действительно предельно прост, но вместе с тем для успешного решения практических задач потребуется осмыслить и запомнить несколько технических приемов и нюансов.

Как минимум необходимо понимать, что за «зверь» кроется под понятием предела функции. И конечно же, нужно уметь их решать. Не менее полезным станет понимание геометрического смысла, дополненное графиком — большинство задач подобного характера требуют построения чертежа после решения.

Определение точки разрыва

Как уже упоминалось, их поиск напрямую связан с темой непрерывности. Если говорить простым языком, то это не что иное, как координаты графика функции, в которых точки не соединяются между собой. Образуются «рваные области», которые и называют местом разрыва. Вообще, чтобы понять смысл, достаточно всего лишь взглянуть на рисунок:

Он более чем очевидно иллюстрирует определение понятия. Если функция прерывается в X0, то непрерывность в этом месте нарушена одним из двух возможных способов:

Задачи похожего типа, где необходимо находить точки разрыва, могут выступать не только, как один из этапов полного исследования на непрерывность, но и в качестве самостоятельных заданий. Чтобы определить их вид, потребуется отыскать предел для найденных значений. Поэтому, если вы еще не умеете их решать, самое время ненадолго отвлечься, чтобы изучить базовые основы.

К счастью, на практике это не так сложно — самый трудный этап заключается в приведении примера к одному из табличных. Остальные моменты легко запомнить. Не стоит забывать и о большом количестве сервисов, которые в несколько кликов выдадут значение предела любой сложности онлайн.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если функция не определена, но односторонние пределы имеют конечное значение, то ее относят к случаю первого рода. Который, в свою очередь, может иметь характеристику устранимого или конечного:

Точки конечного разрыва первого рода — скачок функции. Пределы могут быть вычислены, но в то же время не равны друг другу, и поэтому доопределение уравнения невозможно. Разница первого и второго называется скачком.

Как найти точки разрыва функции

Если в условиях задачи не были даны координаты проверяемого отрезка, то процесс решения делится на несколько этапов. Для начала нужно найти область определенных значений, с которой в дальнейшем пойдет работа. После это вычисляются односторонние пределы функции. Полученные результаты необходимо будет сравнить, чтобы однозначно определить род и характеристику разрыва.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как исследовать непрерывность функции.

Источник

Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры

Определения и классификация точек разрыва функции

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения примеров, в которых требуется исследовать функцию на непрерывность и установить вид точек разрыва, если есть.
в точках ⇓;
⇓; ⇓.

Пример 1

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.

Пример 2

Пример 3

Все примеры ⇑ Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Источник

Непрерывность функций и точки разрыва с примерами решения

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

— предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Общие сведения

Когда математики говорят, что нужно произвести исследование функции на непрерывность, т. е. необходимо найти точки разрыва первого и второго рода. Если же таковых нет, то данное утверждение следует доказать математическим методом.

Непрерывной называется функция, которая не имеет точек разрыва, и меняется без существенных скачков в некоторых точках или промежутках, т. е. обладает определенным знакопостоянством. Это свойство определяется при помощи метода, представляющего совокупность математических преобразований. Последние основываются на теоремах. Они позволяют доказать существование или отсутствие точек и интервалов разрыва графика функции.

Базовые знания

Базовые знания — совокупность навыков, необходимых для решения какой-либо задачи. Для нахождения точек разрыва необходимы такие знания:

Когда список сформирован, тогда необходимо приступать к изучению материала. После полного понимания первого пункта необходимо переходить к последующему. Все пять элементов связаны между собой. Специалисты рекомендуют не заучивать наизусть понятия и термины, а понимать их.

Область определения

Областью определения некоторой функции w = f (p) называется интервал или числовой промежуток всех значений аргумента «р», при которых существует эта функция. Величину следует обозначать литерой «D». Конечная запись для вышеописанного тождества имеет такой вид: D (w) или D (f (р)).

Следует отметить, что D (w) зависит от ее вида. В алгебре бывают только простые и составные. К первым нужно отнести следующие подтипы:

К рациональным равенствам целого типа относятся любые выражения без корней, степеней, дробей, логарифмов, а также тождества, не содержащие каких-либо тригонометрических функций. В этом случае D соответствует всему интервалу действительных, которые обозначаются литерой «Z».

Для дробных D (w) зависит от знаменателя. В этом случае нужно решить уравнение, приравняв знаменатель к нулю. Например, чтобы найти D у функции вида w = [(p — 2)(p + 7)] / (p 2 — 1), нужно приравнять знаменатель дроби к 0.

Когда выражение является иррациональным, тогда нужно обратить внимание на степень корня и подкоренное выражение. Если степень четная, то выражение не должно быть отрицательным числом. Функция действительна для всех Z, кроме тех, которые превращают выражение под корнем в пустое множество. Например, для w = (p — 2) / [(p 2 — 1)]^(½) нужно решить неравенство (p 2 — 1) > 0. Интервалы, которым соответствует решение, можно записать в таком виде: (-бесконечность;-1) U (1;бесконечность). Бесконечность можно еще обозначать «inf».

Выражение под натуральным логарифмом должно быть всегда больше 0. В этом случае решается также неравенство, состоящее из тождества, находящегося под его знаком. Интервал для косинуса и синуса — все Z. Однако для tg (x) рекомендуется исключить значения аргумента (Pi / 2) + Pi * k, а для и ctg (x) — Pi * k (к принадлежит множеству Z).

Решение уравнений

Уравнения бывают нескольких видов: линейными, квадратными, кубическими и биквадратными. Первые являются самыми простыми, и решаются при помощи такой методики:

К квадратным относятся равенства вида ap 2 + bp + c = 0. Математики их классифицируют на неполные и полные. К первым относятся только равенства, которые не содержат второй или третий член. Квадрат при первом коэффициенте должен быть всегда. Существует 4 метода решения:

Рассчитать D по формуле: D = b 2 — 4ac.

Виды разрывов

Чтобы исследовать функцию на непрерывность, нужно уметь определять характер разрыва. Он классифицируется следующим образом: первого и второго рода. Первые бывают двух типов: устранимые и неустранимые.

Разрыв I рода существует в том случае, когда оба предела (левосторонний и правосторонний) являются конечными, т. е. не равны inf. Когда оба предела равны, то это точка устранимого разрыва. В противном случае (при неравенстве односторонних пределов) — разрыв является неустранимым, и называется «скачком».

Решения задач

После получения базовых знаний необходимо разобрать примеры решения. Точки разрыва функции следует искать по следующему алгоритму:

Однако для начала нужно найти область определения, которая играет важную роль в решении. Если она является множеством всех действительных чисел, то искать разрыв не имеет смысла. Он не существует. Если указанная функция содержит неизвестную, которая может превратить ее значение в неопределенность, то нужно вычислить правосторонний и левосторонний пределы (пункт 1). После этого их нужно сравнить, и сделать выводы о принадлежности точки к какому-нибудь виду.

Простые варианты

Нужно исследовать функцию w = (r 2 — 1) / (r — 2) на непрерывность или доказать, что она разрывная. Область определения D (w) = (-inf;2) U (2;+inf). Существует некоторый разрыв в точке r = 2. Для классификации его характера необходимо найти пределы:

Из полученных вычислений можно сделать вывод, что r = 2 является разрывом II рода. Это были простые задачи. Однако существуют более сложные, в которых нужно выполнять математические преобразования.

Сложное задание

Дано некоторое выражение: (2s 2 — 98) / (4s 2 — 8s — 16). Необходимо представить его в виде функции, и доказать существование типа разрыва в пространстве. Для доказательства нужно сначала решить уравнение в знаменателе:

Это свидетельствует о том, что разрыв есть. Далее нужно определить его характер по такому алгоритму:

Выполнять вычисления для двух точек необязательно, поскольку пределы будут равны и в этом случае. Следовательно, это устранимый разрыв I рода.

Таким образом, для нахождения разрывов необходимо знать некоторые особенности и методику, позволяющую правильно классифицировать их характер.

Источник