Аксиома это простыми словами в жизни что такое

В точных науках огромное значение имеют аксиомы. Знать их требуется абсолютно точно и безоговорочно. Очень часто этот термин можно встретить в физике, а уж при изучении геометрии от него никуда не деться. И каждый школьник когда-нибудь столкнется с тем, что ему придется учить аксиомы, а с помощью них разбираться в доказательствах теорем. Так что означает слово «аксиома»? И почему оно так важно?

Определение

Для начала неплохо будет обратиться к справочной литературе и выяснить значение слова «аксиома» в толковом словаре.

Один из самых известных словарей – толковый словарь Ожегова. Он гласит, что аксиома – это исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений. Это определение полностью отражает суть термина и именно в таком виде широко используется в наши дни.

Однако если обратиться к толковому словарю В.И. Даля, то можно встретить несколько отличающееся определение. С чем это связано?

А связано это с тем, что сам термин происходит из греческого языка и используется уже на протяжении очень многих лет.

Первое упоминание

Первое упоминание данного термина встречается еще у Аристотеля, а это, только представьте, 384 г. до нашей эры.

Также понятие «аксиома» очень тесно связано с именем другого древнегреческого философа, Евклида. Как известно, большая часть тех науки, которые мы знаем сейчас, выделились со временем из философии. Не существовало математики в чистом виде, физики. Была лишь одна философия. Изначально значение слова «аксиома» было несколько другим, хоть и очень близким к тому, которое используется сейчас. Термин означал истину, очевидную саму по себе. И такое значение было в ходу в течение очень многих лет. Поэтому в толковом словаре В.И. Даля можно встретить определение, максимально близкое к тому, которое использовалось еще в древней Греции, но не актуально уже в наши дни.

Термин обрел знакомое всем в настоящее время значение благодаря работам Н.И. Лобачевского, которые в самом начале не были признаны. Но, как часто это случается, их ценность увидели и оценили со временем, а его работы стали огромным вкладом в развитие математики и привели ее к тому виду, который мы знаем сейчас.

Аксиома Евклида

Поскольку термин «аксиома» был известен еще в древней Греции, то, очевидно, что и математические работы, в которых он появляется, были созданы тогда же.

Чаще всего понятие аксиомы связывают с именем древнегреческого философа и математика Евклида и его пятым постулатом, которые еще называют аксиомой параллельности Евклида. Именно эта аксиома стала позднее предметом работы Н.И. Лобачевского, которая повлияла на дальнейшее развитие математики. Труды Евклида в свое время считались огромным прорывом и достижением.

В современных учебниках геометрии, можно встретить формулировку, которая равносильна пятому постулату. Звучит она так: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной». Эта аксиома, скорее всего, знакома каждому школьнику из базового курса геометрии. Ее так же иногда называют аксиомой Плейфера. Джон Плейфер – известный шотландский математик.

Хорошее знание аксиом обычно очень помогает при освоении школьного курса геометрии, поскольку без них невозможна работа по доказательству различных теорем. И в решении задач они так же помогают. Некоторые аксиомы из базовой геометрии кажутся довольно очевидными, хотя во времена, когда они были только впервые сформулированы, это был рывок в развитии математики. Или, скорее, философии. Другие кажутся несколько сложнее, необходимо лишь время, чтобы в них разобраться.

Аксиомы стереометрии

Для примера стоит рассмотреть одну из известных аксиом стереометрии. Она тоже изучается в базовом школьном курсе и скорее всего, знакома очень многим. Эта аксиома гласит, что если у двух плоскостей есть общая точка, то они имеют и общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. Некоторым бывает сложно сразу представить то, о чем говорится в аксиомах. Если обратить все в более сжатую и понятную форму, то в этой аксиоме говорится о пересечении двух плоскостей. Причем пересекаются они по прямой. Это проиллюстрировано на приведенном ниже рисунке. В учебниках так же всегда приводятся подробные иллюстрации и объяснения.

Где еще можно встретить этот термин?

Порой термин «аксиома» используется и не только в рамках математики. Иногда можно услышать выражение «аксиомы жизни». Конечно, с математикой здесь нет ничего общего. Просто иногда аксиомой называют какие-либо жизненные правила, закономерности, которые, по мнению, некоторых людей истинны всегда. Но все это очень и очень субъективно. Можно сказать, что это некая метафора, ассоциация, термин используется как средство выразительности.

Аксиомы – это не только сложные формулировки, интересные только ученым. Как уже стало понятно, со многими из них можно познакомится в базовом школьном курсе, а это говорит о том, что они могут применяться в повседневной жизни, развивают мышление, помогают видеть решения. Например, кто сможет ответить на вопрос о том, почему стул на трех ножках может оказаться более устойчивым, чем стул с четырьмя. И почему, если стол стоит неровно, под одну их ножек добавляют что-то для опоры? Ответ, как ни странно, следует искать в аксиомах.

Аксиомы не опровергают, но всегда есть возможность проверить их. Также аксиома не требует, чтобы ее суть была объяснена, это просто констатация.

Источник

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол, противолежащий стороне а.

Следствия из теоремы косинусов:

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Источник

Значение слова «аксиома»

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.

В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории.

Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.

Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание.

Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система), начиная с определённого уровня сложности, либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, ни истинность, ни ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы).

АКСИО’МА, ы, ж. [греч. axiōma]. Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.).

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

аксио́ма

1. матем. книжн. заведомо истинное утверждение, принимаемое без доказательств

Источник

Что такое аксиома простыми словами: определение и значение слова

Аксиома: определение кратко

В нашем родном языке существует огромное число сложных, непонятных, узкоспециализированных слов.

В данной статье вы сможете понять и узнать значение такого интересного слова, как аксиома. Это слово дает свои плоды из Греции, греческого языка, имеет перевод на русский язык: “утверждение”, “положение”.

Аксиома – это то, что было доказано кем-то очень давно и не нуждается в этом снова.

Это истина, которая очевидна всем, ей нужно поверить не требуя доказательств. Бывает аксиома в геометрии и философии.

Значение слова аксиома

Люди считают, что понятие вышеуказанного слова ввел в общее использование Аристотель – древнегреческий философ, ученик Платона с 343 года до н. э. С древнейших веков определение “аксиома” считается вечной, неприкосновенной и априорной.

Т. е. его истина устанавливается независимо от опыта, также не противоречит уже существующим фактам, потому что никто до данного не додумывался, не доказывал.

Аксиома возникает благодаря многовековой познавательной деятельности. Аристотель считал: данное утверждение принимается от природы или космоса. Но в современном мире это понятие сократилось до следующего определения: аксиома – это понятие, которое принимается на веру.

Тысячи лет назад и в современном мире постулат принимается за первоначальное, основывающее положение, исходя из которого строятся другие доказательства, свойства и теоремы. Отталкиваясь от постулата (аксиомы) есть возможно рассуждать на совершенно различные тему, развивать мысли по существующим логическим законам.

“Принимать на веру” можно не все понятия: если дело связано с техническими науками или вещью, то данное должно исходить из проведения многочисленных опытов, анализов, фактов, гипотез. Верить, не проверяя, возможно нематериальные вещи: религия.

Примеры аксиом

Аксиома в философии

Для точного и правильного построения философии следует уметь “философствовать”. Для достижения данного стоит найти важную и необходимую аксиому, являющуюся понятной, разумеющейся и неоспоримой. Надо найти такой постулат, на который возможно опереться, ка на твердую землю и из него выводить другие философские понятия.

Аристотель, в отличие от других мыслителей и философов, смог предоставить свои суждения и изложения о философии в отчетливой форме, он самым первым на основе аксиом построил единую систему философии. Данный метод применим в философии современного мира. Очевиден и разумеющийся до сих пор.

Первая аксиома Аристотеля – закон непротиворечия. Он гласит о сущности и смысле жизни, когда человек проводит тонкую грань между реальностью и мышлением, а также ищет ответы на разные философские вопросы. Закон гласит о том, что две противоположные, противоборствующие стороны не могут находиться на одной черте, существовать вместе одновременно.

Поэтому два разных суждения не могут быть одновременно правильными. Ученый Аристотель не был согласен с другими философами: Гераклитом и Протагором.

Геометрическая аксиома

Геометрия является особым видом познавательной деятельности, изучающая трехмерные фигуры, типы, свойства различных предметов, плоскостей.

Многие важнейшие геометрические понятия формулируются, исходя из подтверждающих положений и утверждений. Остальные – на основе положений, являющиеся правильными без учета доказательств – аксиоматические понятия.

Геометрия рассматривается в двух планах: фигуры и величины на плоскости (планиметрия), пространственные фигуры (стереометрия).

Самыми главными и элементарными планиметрическими понятиями считаются точка и прямая, в стереометрическом разделе геометрии – точка, прямая, плоскость.

Примеры важнейших аксиом геометрии

Все геометрические постулаты разделяют на множество категорий, приведем некоторые из них:

Аксиомы принадлежности

Источник

lsvsx

Всё совершенно иначе!

Истина где-то посередине. Так давайте подгребать к ней не теряя достоинства.

Не имеет значения, что вы имеете IQ гения и докторскую степень в квантовой физике, вы не можете ничего изменить или добиться хоть какого-нибудь прогресса в реальном мире без действий. Существует огромная разница между тем, чтобы знать, как что-то делается, и действительно делать это. И знание, и интеллект без действия бессмысленны. И это действительно насколько просто, как это звучит.

Чрезвычайно успешные люди, зарабатывающие миллионы долларов, часто жалуются на депрессию. Почему так происходит? Как порой признаются они сами «Я выгорел и я одинок. Я слишком мало времени в своей жизни уделял самому себе».

«Что сделает меня счастливым?» и «Что сделает меня успешным?» – это два очень важных вопроса, которые вы можете задать себе. Но это два разных вопроса.

Неважно как вы зарабатываете себе на жизнь или на кого вы, по вашему мнению, работаете, на самом деле, вы работаете только на одного человека – на себя. Главный вопрос заключается вот в чём: Что вы продаёте, и кому? Даже если вы имеете полный рабочий день и твёрдый оклад – вы всё равно ведёте свой собственный бизнес. Вы продаёте одну единицу своего существования (один час своей жизни) по определённой цене (соответствующая часть вашей зарплаты) потребителю (вашему работодателю).

Так что – как вы можете одновременно сохранить своё время и увеличить свою прибыль? Ответ на этот вопрос различается для каждого человека. Но это тот ответ, который стоит поискать.

В нашем 21 веке, когда информация распространяется со скоростью света и возможности для инноваций кажутся бесконечными, мы сталкиваемся с обширным спектром возможностей, когда дело доходит до проектирования нашей жизни и карьеры. Но к несчастью, слишком большой выбор часто ведёт к нерешительности, смятению и бездействию.

Несколько деловых и маркетинговых исследований показали, что чем больше ассортимент представленных продуктов, тем меньше продуктов склонен покупать потребитель. В конце концов, выбрать лучший продукт из трёх вариантов намного проще, чем из трёх сотен. И если решение о покупке слишком сложно принять, большинство людей склонны просто отказаться от неё.

Так что, если вы продаёте линию продуктов, сохраняйте её простоту. А если вы пытаетесь принять решение относительно чего-либо в своей жизни, не тратьте всё своё время на оценку каждой тонкости каждого возможного выбора. Выберите что-нибудь, что, по вашему мнению, будет работать и дайте ему шанс. Если это не работает, выберите что-нибудь ещё и продолжайте двигаться вперёд.

Этот пункт некоторым образом коррелирует с пунктом 2 о счастье и успехе, но у него есть своя собственная важная суть.

Попытки быть идеальным – это трата времени и сил. Совершенство – это иллюзия.

Все люди многомерны. Могущественные бизнесмены, блестящие музыканты, авторы бестселлеров, и даже наши собственные родители – все они имеют свои собственные измерения успеха и поражения в своей жизни.

Наши измерения успеха обычно включают в себя те вещи, которыми мы занимаемся больше всего времени. Мы успешны в этих измерениях в силу своей продолжительной приверженности им. Это та часть жизнь, которую мы хотим, чтобы видели другие люди – успешную часть, которая содержит в себе работу нашей жизни.

Но за каждой отполированной жизненной историей, которую мы публично продвигаем, стоит многомерное человеческое существо с длинным списком неоглашённых неудач. Иногда это плохой муж или жена. Иногда он смеётся над другими людьми. А иногда этот человек просто не отрывает глаз от дороги под ногами и заднего бампера впередиидущей машины.

Ошибки учат нас важным урокам. Каждый раз, когда вы совершаете ошибку, вы становитесь на один шаг ближе к своей цели. Единственная настоящая ошибка, которую вы можете совершить – это принять решение не делать ничего, потому что вы слишком боитесь ошибиться.

Так что не теряйте времени – не сомневайтесь в самих себе. В жизни очень редко вопрос стоит в том, чтобы получить шанс, обычно он заключается в том, чтобы использовать шанс. Вы никогда не будете на 100 процентов уверены, что у вас получится, но вы можете быть уверены на 100 процентов, что у вас не получится, если вы не попробуете.

Все мы слышали, как многие умные люди говорят «Чтобы добиться настоящего успеха в своём деле, вы должны его любить». Это не совсем так.

Бухгалтер крупной компании, работа которого «скучна ему до смерти», может быть чрезвычайно успешен – потому что хоть она ему и не нравится, но он по-настоящему хорош в ней.

Здесь важно понять одну простую вещь – если человек посвящает много своего времени и внимания совершенствованию своего навыка или профессии, он может быть чрезвычайно хорош в деле, которое он даже и не любит.

Весьма часто те проблемы, которые у нас есть с другими людьми – супругами, родителями, детьми, и так далее – не имеют с ними по большей части ничего общего. Потому что многие проблемы, которые мы по нашему мнению с ними имеем, мы сами подсознательно создаём в своём уме. Может быть, они сделали в прошлом что-то такое, что задело один из наших внутренних страхов или нашу неуверенность. Или может быть, они не сделали чего-то, что мы ожидали от них. В любом случае, проблемы подобные этим не касаются других людей – они касаются нас.

И это хорошо. Это всего лишь означает, что эти маленькие затруднения будет легче решить. Ведь именно мы, в конце концов, принимаем решения в своей жизни. И именно мы решаем, хотим ли мы сохранить нашу голову забитой событиями из далёкого прошлого, или открыть наш разум позитивной реальности, которая разворачивается прямо перед нами.

Всё, что нам нужно – это желание взглянуть на вещи чуть иначе, отпустить то, «что было» и то, «что должно было бы быть», и вместо этого сфокусировать нашу энергию на том, «что есть» и «что может быть сделано».

Решения, принятые под влиянием сильных эмоций, чаще всего представляют собой ошибочные реакции, а не осознанные суждения. Эти реакции редко основаны даже на минимальной сознательной оценке и в основном базируются на мгновенных «ощущениях», а не осознанном рассуждении.

Лучший совет в этой ситуации прост: Не позволяйте вашим эмоциям заслонять ваш разум. Приостановитесь и обдумайте вещи до того, как вы примите какое-нибудь решение, которое способно изменить всю вашу жизнь.

Это чрезвычайно, чрезвычайно распространённая вещь, которая часто удерживает умных людей – они не используют внезапно возникающую возможность просто потому, что думают, что они к ней не готовы. Другими словами, они считают, что им нужно больше знаний, умений, опыта, и так далее, до того, как они смогут квалифицированно использовать возникшую возможность. Но именно такой тип мышления останавливает личный рост.

Правда заключается в том, что никто никогда не чувствует себя на сто процентов готовым, когда перед ним возникает возможность. Потому что большинство действительно крупных возможностей в жизни заставляют нас расти эмоционально и интеллектуально. Они заставляют нас превосходить самих себя и выходить из нашей зоны комфорта, а это означает, что мы никогда не будем поначалу чувствовать себя комфортно. А когда мы не чувствуем себя комфортно, мы не чувствуем себя готовыми.

Просто запомните, что важные возможности для личного роста и развития будут проходить мимо вас в течение всей вашей жизни. Если вы хотите совершить какие-либо позитивные изменения в своей жизни, вам следует ухватить эти возможности, даже не смотря на то, что вы никогда не будете чувствовать себя на сто процентов готовыми, когда встретитесь с ними.

Источник