Аксиомы геометрии что это такое
Аксиомы геометрии
Построение геометрии как науки состоит из выбора основных геометрических понятий, формулирование основных свойств для этих геометрических понятий с помощью утверждений, которые считаются истинными без доказательства и построение других понятий. Такое построение называют аксиоматическим.
Можно рассматривать геометрию на плоскости и в пространстве. Геометрия на плоскости называется планиметрией, в пространстве – стереометрией.
Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая, а в стереометрии – точка, прямая и плоскость.
Основные аксиомы геометрии
Аксиомы геометрии можно разбить на пять групп.
1. Аксиомы принадлежности
1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.
1.2 Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
1.3 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие ей.
2. Аксиомы расположения
2.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
2.3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.
2.4 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3. Аксиомы измерения
3.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 
. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4. Аксиомы откладывания.
4.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и притом только один.
4.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол, с заданной градусной мерой, меньшей и притом только один.
4.3 Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему, в заданном расположении относительно данной полупрямой.
5. Аксиома параллельности.
5.1 Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Аксиомы геометрии
При изучении свойств и признаков разных геометрических фигур мы
доказывали ряд теорем. Но при доказательстве этих теорем мы, как
правило, опирались на доказанные более ранние теоремы. На чем
же тогда основаны доказательства этих самых первых теорем геометрии?
Утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве
исходных положений, на основе которых доказываются другие теоремы
и строится вся геометрия. Исходные положения принято называть аксиомами.
Например, аксиомой является утверждение о том, что
через любые две точки проходит прямая, и притом одна.
Аксиома в геометрии — это утверждение, о свойстве
какой-либо геометрической фигуры, которое не
вызывает сомнений в истинности.
Существует множество аксиом, которые используются в доказательстве тех или иных
свойств геометрических фигур. Например сравнение геометрических фигур и двух
отрезков мы проводили с помощью метода наложения. Возможность этого наложения
вытекает из следующей аксиомы о том, что на любом луче от его начала можно
отложить отрезок, равный данному, и притом один. Сравнение двух углов углов
основано на аналогичной аксиоме о том, что от любого луча в заданную сторону
можно отложить угол, равный данному не развёрнутому углу, и притом только
один. Все эти аксиомы геометрии являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.
В глубокой древности зародился такой подход к построению геометрии, когда сперва
формируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе доказываются другие
утверждения. Этот подход к построению геометрии был изложен в знаменитом сочинении
«Начала» древнегреческого ученого Евклида и сейчас используется в курсах геометрии.
Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией.
Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы
Понятие аксиомы
Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.
Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:
Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.
У этой аксиомы два следствия:
Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:
Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке можно увидеть, как это выглядит:
Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.
Понятие теоремы
Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.
Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.
Состав теоремы: условие и заключение или следствие.
Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.
Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.
Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.
Способы доказательства геометрических теорем
Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.
Приемы для доказательства в геометрии:
Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.
Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:
В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.
Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.
Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:
В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Теоремы без доказательств
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:
Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:
где a, b и c — стороны плоского треугольника,
α — угол, противолежащий стороне а.
Следствия из теоремы косинусов:
Понятия свойств и признаков
У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.
Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.
Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.
Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.
Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.
Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.
Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.
А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.
Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.
Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:
Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.
Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.
Что такое аксиома и теорема
Решение всех задач в геометрии построено на логических рассуждениях. С их помощью мы решаем задачи или выводим новые доказательства.
Некоторые из утверждений в геометрии мы используем не задумываясь. Вспомним высказывание, которое мы слышим при самом первом знакомстве с геометрией:
«Через две точки можно провести прямую, и притом только одну».
Но можно ли считать подобное рассуждение доказательством?
Другими словами, утверждение «Через две точки можно провести прямую, и притом только одну» не является доказанным только потому, что мы нарисовали рисунок и по рисунку «на глаз» стало все понятно.
В геометрии действует принцип: «Не верь глазам своим, пока не докажешь утверждение с помощью рассуждений».
Но что нам в таком случае делать? Ведь при решении задач мы используем какие-то очевидные утверждения, не задумываясь об их истинности.
Что такое аксиома
Слово аксиома произошло от древнегреческого слова «axioma» — утверждение, положение.
С точки зрения учащихся, аксиома — лёгкий способ получить отличную оценку. Достаточно просто выучить формулировку. Ведь никаких доказательств для аксиомы учить не требуется.
Всего в геометрии насчитывается около 15 аксиом. В школьном курсе используются далеко не все. Некоторые из них используются в школьном курсе как само собой разумеющееся для нас. Приведем некоторые примеры довольно известных аксиом из школьного курса геометрии:
Что такое теорема
Совсем по-другому обстоят дела с теоремами. Слово теорема происходит от древнегреческого слова «theorema» — смотреть, рассматривать какое-либо утверждение.
Теоремы менее «любимы» учащимися, чем аксиомы. Если учитель попросит рассказать теорему, будет недостаточно, как для аксиомы, сообщить только её формулировку. Потребуется также дать доказательство теоремы.
Примеры формулировок теорем:
Каждое слово или предлог в формулировке играет существенную роль в передаче смысла выражения. Даже просто поменяв порядок слов можно сильно изменить смысл утверждения.
Помните, что все формулировки в геометрии были выверены несколькими тысячами лет развития математики лучшими умами планеты и не терпят никаких словесных изменений.
Что такое лемма
Среди теорем выделяют такие теоремы, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.
Лемма происходит от древнегреческого слова «lemma» – предположение.
Что такое следствие в геометрии
Приведем примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:
Если подытожить все вышесказанное, то сравнивая геометрию с высотным домом, можно представить, что:
Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя с самых основ (аксиом) к теоремам.
Невозможно понять геометрию 9 и 10 класса, не выучив аксиомы и теоремы 7 и 8 класса.
Аксиомы стереометрии
Аксиома стереометрии — это основополагающее
утверждение в стереометрии, не требующее доказательств.
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий
свойства и признаки фигур в пространстве.
В стереометрии существует три основные аксиомы,
из которых следует остальные не менее важные утверждения.
Свойства точек, прямых а также плоскостей выражены в аксиомах.
Первая аксиома стереометрии
Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой проходит плоскость причем только одна.
Плоскость — неограниченная,
ровная поверхность.
Плоскость обозначают тремя буквами
греческого алфавита: α (альфа), β (бета), γ (гамма).
На рисунке 1 изображена плоскость альфа.
Вторая аксиома стереометрии
Если две точки прямой лежат в плоскости,
то и все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
Смотрим на рисунок 2 — точка A и точка B прямой a лежат в плоскости β, значит
все точки данной прямой лежат в плоскости β.
Третья аксиома стереометрии
Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, по которой они пересекаются.
Плоскость γ пересекается с плоскостью α (рисунок 3).