Аликвотные дроби что это такое
Аликвотные дроби что это такое
Аликвотные дроби.
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Введение
Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.
Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части.
Цель: изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике.
Задачи:
Предмет исследования: разложение дробей на сумму аликвотных
Объект исследования: аликвотные дроби
Гипотеза: умение раскладывать дроби на две аликвотные, позволяет легко решать олимпиадные задачи по математике
Практическая значимость: задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач
Основная часть
Алгоритмы разложения дробей
Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.
Египтяне стремились использовать разложения с небольшим количеством слагаемых и по возможности с наименьшими знаменателями. Какими именно способами они при этом пользовались, мы не знаем. В настоящее время доказано, что всякое положительное рациональное число можно выразить суммой различных египетских дробей, а также предложено для этих целей несколько практических алгоритмов (иногда эти алгоритмы дают различные разложения).
Старт в науке
Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».
Аликвотные дроби что это такое
В анкетировании принимали участие 33 человека:
— сверстники (возраст до 15 лет) – 15 чел.,
— респонденты от 15 до 30 лет – 8 чел.,
— участники старше 30 лет – 10 чел.
На 1-й вопрос 28,13% анкетируемых ответили, что знают аликвотные дроби.
На 2-й вопрос только 21,87% ответило утвердительно, назвав также страну.
18,75% опрошенных дали названия этих дробей правильно.
На 4-й вопрос 12,49% ответили, что знают, о чем идет речь.
По 5-му вопросу 90,62% ответили, что даже не слышали про такие струны.
И 93,75% участников опроса не смогли решить задачу, им потребовалось большее или меньшее количество разрезов, но не 17.
Проанализировав ответы анкетируемых, я сопоставил их с тем, что узнал сам и понял, что надо выступить перед ребятами со своей исследовательской работой и рассказать об этих удивительных дробях и открывающихся перед нами возможностях.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Из истории …
Необходимость в дробных числах появилась очень давно, еще в древние времена… Они понадобились при делении добычи между участниками охоты. В других случаях для измерения разных величин при помощи одной единицы измерения. Как, например, в Древнем Египте, чтобы поделить основную меру объема – «хекат».
Первые дроби, о которых нам известно из истории, это дроби вида – 1/2, 1/3, 1/4 и так далее – так называемые единичные дроби.
Вот несколько названий таких дробей:
Итак, аликвотными дробями называются дроби вида 1/n, где числитель 1, а n – натуральное число.
Дроби в Древней Греции
Но в те времена с Платоном соглашались не все древнегреческие математики. Архимед, например, в трактате «Об измерении круга» использует дроби. Герон Александрийский тоже их использовал.
Даже Пифагор, работая над теорией музыкальной шкалы, показал зависимость музыкальных интервалов с дробями, хотя с огромным трепетом относился к натуральным числам. Но если говорить точно, то определением или, скорее, понятием дроби ни Пифагор, ни его ученики не пользовались.
Для дробей вида 1/n использовалась запись: знаменатель дроби сопровождался штрихом справа, числитель не писали. Например, число 32 записывалось как λβ, а дробь 1/32 – λβ’.
Дроби на Руси
Первый русский математик, известный нам по имени – монах Новгородского монастыря Кирик, занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т. е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т. д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами».
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
1/2 – половина, полтина
На Руси еще применялась земельная мера 1/4 и меньшая – получетверть, ее называли осьмина. Для точного измерения площади земли применялись именно такие дроби, но осьминой непозволительно измерять время или что-то другое. И только позже осьмина стала означать простую дробь 1/8, через которую обозначали абсолютно любую величину.
В 1703г. выходит в свет первый русский печатный учебник по математике «Арифметика», автора Магницкого Леонтия Филлиповича, в котором в разделе “О числах ломаных или с долями” подробно излагается учение о дробях.
Магницкий в своем учении дает почти современное определение дробям. Он даже более широко, чем нынешние учебники, останавливается на вычислении долей.
На вопрос, что такое ломаное число, Магницкий дает ответ: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице 1/2 рубля, или 1/4 рубля, или 1/6 рубля, или 2/5 части и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число».
Магницкий использует название числитель, знаменатель и показывает неправильные дроби, но, кроме всего прочего, выделяет целую часть из неправильной дроби.
Дроби в Древнем Китае
В Китае уже ко II в. до н. э. были описаны почти все известные арифметические операции с обыкновенными дробями. К примеру, в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Выделяя наибольший общий делитель в числителе и знаменателе, аналогично тому, что делал Евклид, в Китае сокращали дроби.
Изначально китайцы работали с простейшими дробями, которые получили названия от иероглифа бань:
шао бань («малая половина») –1/3;
тай бань («большая половина») –2/3.
Из древне математики Китая пользовались смешанными числами. Самый ранний трактат о математике «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского гномона»/«Математический трактат о гномоне»), приводит вычисления возведения в степень различных чисел. Встречается даже 247933/1460.
Задача № 12
Найдите значение суммы
заменив каждое слагаемое разностью аликвотных дробей:
Решение:
Задача №13
Используя прием представления дробей в виде разности вычислите:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Задача №14
Не выполняя сложения дробей, объясните, почему верно равенство:
Решение:
Чтобы доказать это равенство я воспользовался кубиками из «Дома дробей».
На картинке видно, что длина дроби 1/2 меньше 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Я узнал очень много нового из прочитанного, теперь мои знания ещё и подкрепились проведенной экспериментальной работой по решению и разбору конкретных задач. Мне есть чем поделиться с друзьями, я обязательно составлю презентацию и выступлю перед одноклассниками.
Выводы:
Разобрав весь этот материал и интереснейшие задачи, я выявил следующее:
– первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби; причем, эти дроби с числителем 1 долгое время были единственными, которыми как-то умел пользоваться человек;
– задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач;
– решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.;
– аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого;
– разложение дробей на две аликвотные дроби систематизированы в виде формулы, преобразовав которую, легко можно решать олимпиадные задачи по математике;
– путем вычислений и анализа бесконечных периодических дробей я смог показать, что аликвотные дроби можно разбить на группы, обладающими определёнными свойствами.
За время работы над этой темой я исследовал только самые основные понятия и некоторые способы решения задач. Они обладают достоинствами, которые позволяют использовать их для развития сообразительности и улучшения логического мышления.
Проанализировав свои исследования, можно заключить:
Значительно расширены знания о периодических и аликвотных дробях.
Найдены свойства аликвотных дробей.
Практическая значимость работы достигнута.
Решены задачи на применение аликвотных дробей.
Сформулирован вывод. Доказана гипотеза
Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая ценность аликвотных дробей и их свойств. И как следствие проведенных исследований и изучения основных свойств, напрашивается вывод, что группы аликвотных дробей обладают одинаковыми свойствами. Что в свою очередь доказывает нашу гипотезу – от обратного, что и являлось целью данной работы, т.е. проблема исследования решена.
Но заканчивая это исследование, я не планирую останавливаться на достигнутом. Меня очень заинтересовала тема дробей. Поэтому продолжением ее станет новое исследование.
А этот материал, думаю, будет интересным и практически полезным моим любознательным друзьям и одноклассникам.
Я убедился в том, что математика и логика очень затягивают. Я научился анализировать, выдвигать гипотезы, использовать логику, делать выводы.
Мне очень понравилось решать сложные задачи самому.
А вообще, порой и не представляешь, сколько интересного вокруг тебя. Нужно только оглянуться, обратить внимание, а затем провести исследование и ответить на интересующие вопросы.
Итак, начало положено, теперь вперед!
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.
Г.Г.Левитас, Нестандартные задачи по математике. – М.: ИЛЕКСА,2007.
Н.Ю.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов. Алгебра. 7 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – 14-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. –335 с. : ил.
П.Савин, Математика. Энциклопедия для детей. Москва «Аванта +», 1998.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Запись аликвотных дробей в виде десятичных
Приложение 2. Аликвотные дроби в цвете
Аликвотные дроби что это такое
Однажды мы с друзьями пошли в магазин. И там купили кисть из 5 бананов. Но нас было 8 человек. Возникла задача: «Как разделить 5 бананов на 8 человек?». Конечно, мы разделили каждый банан на 8 частей и взяли по 1 кусочку от каждого банана. Но, придя домой, я задумался: «Есть ли способ более короткий?». Так я узнал про аликвотные дроби. Это задача из папируса Ринда.
Краткий обзор используемой литературы. В работах Ван дер Вадена [2],
Интересную идею предложил М. В. Остроградский представления рациональной дроби методом последовательных приближений через сумму аликвотных дробей [8].
При разборе заданий ЕГЭ А. В. Шевкин [9] предложил 4 формулы, по которым можно разложить любую аликвотную дробь на сумму двух аликвотных дробей.
Цель: найти закономерности разложения аликвотной дроби и способ разложения дроби на сумму (разность) аликвотных дробей.
Задачи исследования: изучить историю развития и применения аликвотных дробей, литературные источники и Интернет-ресурсы по теме;сформулировать и доказать теоремы о некоторых свойствах аликвотных дробей; предложить способ разложения дроби на сумму (разность) аликвотных дробей.
Методы исследования: сравнение, обобщение, аналогия, изучение литературных и Интернет – ресурсов, анализ и классификация найденной информации.
Гипотеза: у всех аликвотных дробей есть свойства относительно действий
сложения и вычитания.
Актуальность исследования продиктована широким применением аликвотных дробей древними цивилизациями при решении конкретных практико-ориентированных задач, отсутствием общей стройной теоретической базы по рассматриваемой тематике.
Глава 1. Вспомогательные теоретические сведения по теории чисел
§1. Выводы по истории развития и применения аликвотных дробей
Анализируя опыт человечества по применению аликвотных дробей можно сделать следующие выводы: некоторые аликвотные дроби или дроби вида разлагаются на сумму (разность) двух или более двух аликвотных дробей; известны идеи таких способов: разложение по остатку, либо по представлению m в виде суммы (разности) аликвотных дробей, либо по формулам.
Более того, указанные выше разложения зависят от множителей, на которые раскладывается знаменатель дроби (в литературе приведены различные результаты в зависимости от пар множителей). Поэтому возможен способ разложения, основанный на этой зависимости.
Возникают вопросы: «В каких случаях этот способ применим?», «Если он
применим, то будет ли это разложение единственным?». Для ответа на поставленный вопрос мне потребуются теоретические знания.
§2. Вспомогательные теоретические сведения
Представление числа в виде произведения простых чисел называется разложением натурального числа на простые множители. Пример: 24=2∙2∙2∙3=2 3 ∙3.
Основная теорема арифметики. Для каждого натурального числа n > 1
существует единственное каноническое разложение.
Следствие 2 (о количестве делителей числа, не являющегося квадра-
Все описанные определения, теоремы, следствия были найдены в [1], [3], [6]. Далее доказываю следствия, необходимые для дальнейшего исследования.
Следствие 4. Все делители натурального числа можно расположить в порядке возрастания, так как они все различны.
Можно ввести понятие соделителя b к делителю a числа n – это такой
числа a и b всегда различны, если число n не является квадратом некоторого натурального числа, и они могут совпадать в противном случае.
Глава 2. Преобразования, позволяющие представить аликвотную дробь в виде суммы двух аликвотных дробей
Представление в виде суммы двух неравных аликвотных дробей:
§1. Анализ преобразований П2 – П5.
Рассмотрим примеры разложений некоторых аликвотных дробей по преобразованиям П2 – П5.
преобразование даёт новое разложение, причём одно и то же представление знаменателя в виде двух множителей (6=2∙3) даёт 3 различных разложения.
Пример 4. Преобразования П4, П5 дают одно и то же разложение при одном представлении знаменателя в виде двух множителей (8=2∙4).
вания П3, П5 дают одно и то же разложение при разных представлениях знаменателя в виде двух множителей (24=6∙4= 2∙12).
Рассматриваем различные случаи совпадения преобразований.
Сравниваем П2 с П3. Получаем:
Аликвотные дроби что это такое
Человек подобен дроби: числитель – это он сам,
а знаменатель то, что он сам о себе думает.
Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.
Целью исследования было изучение и экспериментальная проверка свойств аликвотных дробей.
Задачи:
• Изучить литературу по теме, включая исторические сведения.
• Ознакомиться с понятием «аликвотные дроби», изучить историю их возникновения.
• Изучить сами аликвотные и бесконечные периодические дроби.
• Выбрать группу аликвотных дробей для исследования, научиться раскладывать дроби на аликвотные.
• Сформулировать выявленные свойства.
• Научиться решать задачи с применением аликвотных дробей.
Объект исследования: аликвотные дроби с знаменателями меньше 100.
Предмет исследования: применение известных свойств действий над числами к аликвотным дробям.
Гипотеза: групп аликвотных дробей, обладающих одинаковыми свойствами, не существует.
Проблема исследования заключается в выявлении групп аликвотных дробей, обладающих одинаковыми свойствами.
Актуальность исследования: аликвотные дроби находят применение в различных областях науки и ее многочисленных приложениях, в особенности это относится к математике, физике и химии и даже музыке.
Я впервые услышал об аликвотных дробях по телевизору. Сначала меня заинтересовало само название. Мне стало интересно, когда впервые человечество узнало аликвотные дроби, как они использовались при решении практических задач, какими известными свойствами чисел обладают эти дроби. Меня заинтересовали задачи на применение аликвотных дробей, поэтому я занялся исследованием свойств аликвотных дробей, находя исторические и научные сведения по этому вопросу.
Методы исследования:
1. Изучение информационных источников: историческая и научная литература, энциклопедические словари, интернет-источники.
2. Анкетирование одноклассников, друзей и их родителей.
3. Обобщение экспериментального и теоретического материала, рефлексивное осмысливание результатов сформулированных свойств.
4. Решение задач с использованием аликвотных дробей и их свойств.
Хочу предположить, что тема моего исследования хоть и не столь актуальна, но точно будет интересна каждому человеку, начиная с самого раннего возраста.
Разве не пытался кто-то из вас разделить одно целое на несколько частей: ну хотя бы торт на дне рождения поровну по количеству присутствующих гостей? Даже школьник сталкивался с подобной задачей. А как это сделать грамотно и, тем более, с наименьшим количеством шагов?
Оказывается, это легко решается с использованием аликвотных дробей.
Вот простой пример:
Рассмотрим практическую задачу, известную из древне: «Необходимо разделить 7 хлебов между 8 людьми поровну».
Думаю, что каждый решал бы задачу так: надо разрезать каждый хлеб на 8 равных частей, раздав каждому человеку по одной части от каждого хлеба, т.е. семь восьмушек.
А вот как эта задача решена с помощью аликвотных дробей, описанная на папирусе Райнда – это древнеегипетский математический текст, переписанный около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом.
Поскольку 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8. Следовательно, каждому человеку нужно дать по половине, четверти и восьмушке хлеба. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба – на 4 части и только один хлеб – на 8 частей. И если нашему современнику надо было бы сделать 49 разрезов, то египтянину – всего 17, т.е. египетский способ почти в 3 раза экономичнее.
Вот так, собирая интересную информацию, вопросов не убавлялось, они расширялись и углублялись в интересующую меня тему. Я получал ответы на свои вопросы от родителей, своего учителя, а затем в различных энциклопедиях, Интернете, литературе…
И мне захотелось узнать, как при решении многих жизненных задач, требующих длинных и сложных вычислений, найти простое, рациональное, короткое и изящное решение. Упрощается ли решение задач, если использовать аликвотные дробй Это определило тему моего исследования.
Узнав много интересного об аликвотных дробях, мне захотелось понять: а что знают о них ребята нашего класса, мои друзья и их родители. Поэтому мною было проведено анкетирование среди них. Я предложил им следующие 5 вопросов и задачу:
1. Знаете ли Вы, что такое «Аликвотные дроби»?
2. Знаете ли Вы, когда впервые начали использовать аликвотные дроби и где?
3. Знаете ли Вы, как назывались аликвотные дроби на Русй
Например, 1/3; 1/4; 1/6; 1/8…
4. Знаете ли Вы, что такое ГЛАЗ ГОРА?
5. Знаете ли Вы, что такое аликвотные струны?
6. Решите задачу: Разделите 7 хлебов между 8 людьми поровну.
Сколько разрезов будет сделано?
Знаете ли Вы, что такое аликвотные дробй
Знаете ли Вы, когда впервые начали использовать аликвотные дроби и где?
Знаете ли Вы, как назывались аликвотные дроби на Русй Например, 1/3; 1/4; 1/6; 1/8…
Знаете ли Вы, что такое «Глаз Гора»?
Знаете ли Вы, что такое аликвотные струны?
Ответ на задачу про 7 хлебов.
В анкетировании принимали участие 33 человека:
— сверстники (возраст до 15 лет) – 15 чел.,
— респонденты от 15 до 30 лет – 8 чел.,
— участники старше 30 лет – 10 чел.
На 1-й вопрос 28,13% анкетируемых ответили, что знают аликвотные дроби.
На 2-й вопрос только 21,87% ответило утвердительно, назвав также страну.
18,75% опрошенных дали названия этих дробей правильно.
На 4-й вопрос 12,49% ответили, что знают, о чем идет речь.
По 5-му вопросу 90,62% ответили, что даже не слышали про такие струны.
И 93,75% участников опроса не смогли решить задачу, им потребовалось большее или меньшее количество разрезов, но не 17.
Проанализировав ответы анкетируемых, я сопоставил их с тем, что узнал сам и понял, что надо выступить перед ребятами со своей исследовательской работой и рассказать об этих удивительных дробях и открывающихся перед нами возможностях.
Необходимость в дробных числах появилась очень давно, еще в древние времена… Они понадобились при делении добычи между участниками охоты. В других случаях для измерения разных величин при помощи одной единицы измерения. Как, например, в Древнем Египте, чтобы поделить основную меру объема – «хекат».
Первые дроби, о которых нам известно из истории, это дроби вида – 1/2, 1/3, 1/4 и так далее – так называемые единичные дроби.
Вот несколько названий таких дробей:
Эти дроби называли по-разному, но все вместе они назывались аликвотами. В переводе от латинского aliguot – «несколько».
Итак, аликвотными дробями называются дроби вида 1/n, где числитель 1, а n – натуральное число.
Дроби в Древней Греции
В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Греки очень часто использовали все арифметические действия, производимые с дробями, но не считали их числами. В найденных источниках того времени понятие дроби не встречалось. Ученые в Греции считали, что в математике должны использоваться только целые числа. Они считали, что заниматься дробями могут купцы, ремесленники, астрономы, землемеры, механики и другой «черной люд». «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать», – писал основатель афинской академии Платон.
Но в те времена с Платоном соглашались не все древнегреческие математики. Архимед, например, в трактате «Об измерении круга» использует дроби. Герон Александрийский тоже их использовал.
Даже Пифагор, работая над теорией музыкальной шкалы, показал зависимость музыкальных интервалов с дробями, хотя с огромным трепетом относился к натуральным числам. Но если говорить точно, то определением или, скорее, понятием дроби ни Пифагор, ни его ученики не пользовались.
Для дробей вида 1/n использовалась запись: знаменатель дроби сопровождался штрихом справа, числитель не писали. Например, число 32 записывалось как λβ, а дробь 1/32 – λβ’.
«Число» в понимании греков – это набор единиц. Это было недостатком при написании дробного числа. Поэтому сейчас мы используем дробь как единое рациональное число, а греки – как отношение одного целого числа к другому. Вот почему обыкновенные, неединичные дроби практически не встречались в арифметике у греков. Дроби с числителем, равным 1 – именно им отдавалось предпочтение либо же шестидесятеричным дробям.
Первый русский математик, известный нам по имени – монах Новгородского монастыря Кирик, занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т. е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т. д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами».
В VII веке на Руси в писаниях о математике дроби сначала именовались как доли, а позже – «ломаными числами». Слово «дробь» в русском языке впервые упоминалось в VIII веке, это производное от «дробить» – разбивать на части или ломать. Числитель и знаменатель числа разделяла горизонтальная черта.
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
1/2 – половина, полтина
На Руси еще применялась земельная мера 1/4 и меньшая – получетверть, ее называли осьмина. Для точного измерения площади земли применялись именно такие дроби, но осьминой непозволительно измерять время или что-то другое. И только позже осьмина стала означать простую дробь 1/8, через которую обозначали абсолютно любую величину.
О том, как использовались дроби на Руси в XVII веке можно прочитать в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики»: «В рукописи XVII в. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При произношении дробей заметны особенности: 1/4 называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 заканчивались на «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников: числитель назывался верхним числом, знаменатель – исподним».
В 1703 г. выходит в свет первый русский печатный учебник по математике «Арифметика», автора Магницкого Леонтия Филлиповича, в котором в разделе “О числах ломаных или с долями” подробно излагается учение о дробях.
Магницкий в своем учении дает почти современное определение дробям. Он даже более широко, чем нынешние учебники, останавливается на вычислении долей.
На вопрос, что такое ломаное число, Магницкий дает ответ: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице 1/2 рубля, или 1/4 рубля, или 1/6 рубля, или 2/5 части и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число».
Магницкий использует название числитель, знаменатель и показывает неправильные дроби, но, кроме всего прочего, выделяет целую часть из неправильной дроби.
Дроби в Древнем Китае
В Китае уже ко II в. до н. э. были описаны почти все известные арифметические операции с обыкновенными дробями. К примеру, в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Выделяя наибольший общий делитель в числителе и знаменателе, аналогично тому, что делал Евклид, в Китае сокращали дроби.
Изначально китайцы работали с простейшими дробями, которые получили названия от иероглифа бань:
шао бань («малая половина») –1/3;
тай бань («большая половина») –2/3.
Из древне математики Китая пользовались смешанными числами. Самый ранний трактат о математике «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского гномона»/«Математический трактат о гномоне»), приводит вычисления возведения в степень различных чисел. Встречается даже 247933/1460.
В «Цзю чжан суань шу» («Правила счета в девяти разделах») дробь – это часть целого, и выражается в n-ном числе его долей – фэнь – m (n