Доказать что функция является четной
Понятие четной и нечетной функции
Понятие четности и нечетности функции
Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.
Четная функция
Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
График четной функции симметричен относительно оси Ох.
Нечетная функция
Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).
Произведение четной и нечетной функции
Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.
Пусть \(f(x)\) — четная функция, а \(g(x)\) — нечетная. Тогда \(f(x)=f(-x), а g(-x)=-g(x).\)
Исследование функций в примерах
Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.
1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.
Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)
1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.
Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac
Рассмотрим первую функцию:
1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.
Рассмотрим вторую функцию:
Четные и нечетные функции
График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:
\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.
\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:
1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.
2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.
3) Сумма и разность четных функций — четная функция.
4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.
Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:
При каких значениях параметра \(a\) уравнение
имеет единственное решение?
\[2\cdot 0+a\mathrm
симметричен относительно начала координат.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)
\(\dfrac n2, n\in\mathbb
(Задача от подписчиков)
имеет хотя бы один корень.
(Задача от подписчиков)
имеет шесть различных решений.
Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.
1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \[D=a^2-16a+52>0\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\]
2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin
Чётная функция
Чётная функция — это функция y=f(x), для любого значения x из области определения которой выполняется равенство:
В некоторых источниках условие симметрии области определения функции относительно нуля включают в определение чётной функции.
Чтобы доказать, что функция y=f(x) чётная, достаточно показать, что равенство f(-x)=f(x) выполняется при любых значениях x из области определения функции.
Доказать, что y=f(x) не является чётной функцией, можно двумя способами:
1) показать, что равенство f(-x)=f(x) не выполнено;
2) показать, что область определения y=f(x) не симметрична относительно нуля.
Примеры чётных функций:
Свойства чётных функций
1) График чётной функции симметричен относительно оси Oy.
Пусть y= f(x) — чётная функция.
Так как y= f(x) — чётная функция, то f(-a)=f(a)=b.
Значит, точка A1 (-a; b ) также принадлежит графику функции y= f(x).
Точки A (a; b) и A1 (-a; b) симметричны относительно оси Оy, то есть ось ординат является для графика функции y= f(x) осью симметрии.
Примеры графиков чётных функций — y=x², y=cos x, y=|х|.
2) Сумма, разность, произведение и частное чётных функций являются чётными функциями.
Пусть f(x) и g(x) — чётные функции, то есть f(-x)= f(x), g(-x)= g(x).
Определить, является ли функция чётной:
Условие y(-x)=y(x) выполнено. Следовательно, данная функция — чётная.
функция y=f(x) — чётная.
g(x) является чётной функцией.
данная функция не является чётной.
Функция не чётная, так как уё область определения — x∈ (-∞;1) и (1; ∞ ) не симметрична относительно точки x=0.
Четные и нечетные функции
Четные и нечетные функции
В предыдущем параграфе мы обсуждали только те свойства функций, которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Доказать, что у = х 4 — четная функция.
Доказать, что у = х 3
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
Учитывая сказанное, рекомендуем при исследовании функции на четность использовать следующий алгоритм.
Алгоритм исследования функции у = f(х) на четность
1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то переходить ко второму шагу алгоритма.
2. Найти f(-х).
3. Сравнить f (x)= f (-x)
Исследовать на четность функцию:
Исследовать на четность функцию:
Теперь обсудим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции.
Таким образом, для каждой точки А графика нечетной функции у = f(х) существует симметричная ей относительно начала координат точка В того же графика. Это означает, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Верны и обратные утверждения:
1) Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) — четная функция.
В самом деле, симметрия графика функции у = f(х) относительно оси у означает, что для всех х из области определения функции справедливо равенство f(-х) = f(х), т.е. у = f(х) — четная функция.
2) Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) — нечетная функция.
Исследовать на четность функцию 
Решение.
Первый способ. Имеем 
Значит, для любого х из D(f) справедливо равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Второй способ. Графиком функции служит полуокружность с центром в начале координат и радиусом 3 (см. рис.52 из § 9), она симметрична относительно оси у. Это означает, что 
— четная функция.
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Четные и нечетные функции
Вы будете перенаправлены на Автор24
Четные функции
Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).
Нечетные функции
Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).
Готовые работы на аналогичную тему
Функция общего вида
Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.
Пример задачи
Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.
Изобразим её на графике:
Изобразим её на графике:
