Доказать что интервал равномощен отрезку

08. Примеры равномощных множеств

Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.

Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].

Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].

Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).

Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).

Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.

Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).

Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки <0>и <1>. Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:

Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].

Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].

Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.

Источник

Доказать что интервал равномощен отрезку

Соотношение равномощности обладает следующими тремя основными свойствами:

1) рефлексивность: ;
2) симметрия: если , то ;
3) транзитивность: если и , то .

Для доказательства, например, первого из них достаточно каждому элементу поставить в соответствие его же самого (тождественное отображение), что уже дает взаимно однозначное отображение множества X на себя. Остальные два свойства предлагается доказать самостоятельно.

Мощность множества характеризует, так сказать, «количество» его элементов. Однако при этом может оказаться, что «часть равна целому», т. е. множество может иметь одинаковую мощность с его собственным подмножеством.

Пример 7. Два любых отрезка [a, b] и [c, d], а также два любых интервала (a, b) и (c, d) равномощны.

Для доказательства достаточно рассмотреть функцию

Во-первых, каждому действительному числу x однозначно соответствует y, причем легко видеть, что и . Далее, пусть

, и x₁ y из [c, d] найдется один (и даже только один) прообраз x из [a, b] (то же для интервалов). Этим доказано, что [ a, b]

Источник

Доказать, что любые два интервала имеют одинаковую мощность

Доказать, что любые два поля из четырех элементов изоморфны
Доказать, что любые два поля из четырех элементов изоморфны

Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и образы, то они перестановочные
доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и образы, то они перестановочные

Решение

В общем, правильно, хотя лучше писать меньше слов и больше формул. Например, выражение «относительная реализация интервала при использовании всех точек до данной точки» является нестандартным.

Обозначим выражение в сообщении №2 через f(x). В идеале вам нужно алгебраически доказать следующие утверждения.

Известно, что непрерывные величины X,Y независимы и имеют одинаковую плотность распределения
3)Известно, что непрерывные величины X,Y независимы и имеют одинаковую плотность распределния f(x).

Доказать, что любые m-1 векторов системы линейно независимы
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться с проблемой со следующим доказательством. Дана.

Доказать, что мощность множества счетна
Здравствуйте. Как доказать, что мощность множества рациональных чисел счетна?

Источник

О мощности множеств действительных чисел. В п. 2.2 утверждалось, что множества точек отрезка [0, 1] и отрезка [a, b] равномощны

Тем самым отрезки разной длины равномощны (по-другому, эквивалентны). На рис. 11 графическая иллюстрация этого факта. Можно показать также равномощность отрезка и интервала, непосредственно указав взаимно однозначное соответствие (рис. 12).

На отрезке [0, 1] каждому числу вида (n-1)/n: 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т.д. ставится в соответствие следующее число этой последовательности. На отрезке [1, 2] соответствие симметрично: последовательность имеет вид (n+1)/n: 2, 3/2, 4/3, 5/4. Всем остальным числам отрезка [0, 2] ставятся в соответствие они сами. Концы интервала не соответствуют при этом ни одной точке отрезка.

Однако можно воспользоваться более общим утверждением (равномощность множеств А и В обозначается А

В, т.е. множества эквивалентны.

Для любого отрезка и любого интервала отсюда следует их эквивалентность (рис. 13).

Рис. 14 иллюстрирует равномощность интервала и множества точек всей прямой.

Источник

О мощности множеств действительных чисел. В п. 2.2 утверждалось, что множества точек отрезка [0, 1] и отрезка [a, b] равномощны

Тем самым отрезки разной длины равномощны (по-другому, эквивалентны). На рисунке 7 графическая иллюстрация этого факта. Можно показать также равномощность отрезка и интервала, непосредственно указав взаимно однозначное соответствие (рисунок 8).

Рисунок 7 Рисунок 8

Однако можно воспользоваться более общим утверждением (равномощность множеств А и В обозначается А

Теорема. Пусть А и В – два множества, А¢, В¢ – их подмножества: А¢ Í А, В¢ Í В. Пусть каждое из множеств А, В эквивалентно подмножеству другого: А

В,т.е. множества эквивалентны.

Для любого отрезка и любого интервала отсюда следует их эквивалентность (рисунок 9).

Рисунок 10 иллюстрирует равномощность интервала и множества точек всей прямой.

Источник