Доказать что множество является выпуклым конусом

§1. Выпуклые множества на плоскости и в пространстве.

Например, можно говорить о множествах: книг в библиотеке; студентов в аудитории; целых чисел на отрезке [1;100]; точек плоскости, равноудаленных от данной точки (окружность); геометрических фигур на плоскости и т.д.

Будем считать множество М заданным, если относительно произвольного объекта можно установить, принадлежит ли он множеству М или не принадлежит.

Объект , принадлежащий множеству М, называется элементом этого множества, и факт принадлежности записывается в форме М.

Если все элементы множества V принадлежат множеству М, то V называется подмножеством множества М и символически обозначается как VM.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом O.

Следует отметить, что пустое множество O является подмножеством любого множества, т.е. принадлежит любому множеству.

В дальнейшем мы будем рассматривать точечные множества плоскости, физического пространства или n-мерного евклидова пространства.

Определение. Множество, элементами которого являются точки, называется точечным или аффинным.

Примером точечного множества является любая совокупность точек физического трехмерного пространства: точка; отрезок; фигура (треугольник, круг); линия (прямая, окружность, парабола); тело (шар, куб, параллелепипед).

В дальнейшем мы будем рассматривать евклидовы аффинные пространства.

В точечном евклидовом пространстве расстояние между точками А и В определяется как длина вектора , т.е. (А,В)=| |.

В любом точечном евклидовом пространстве можно ввести декартову систему координат, если выбрать начало координат ОМ_n и базис (е₁, е₂, …, е_n) соответствующего евклидова пространства.

Определение. Точечное множество М называется ограниченным, если существует положительное число Е такое, что расстояние любой точки АМ до некоторой выбранной точки А₀ (возможно А₀ – начало координат) не превосходит Е, т.е. (А,А₀)Е.

В противном случае М является неограниченным.

Например. Ограниченными множествами являются: множество точек круга, множество точек отрезка [1;10]; множество натуральных чисел от 10 до 100, а неограниченными – множество всех натуральных чисел; множество точек первого координатного угла; множество всех отрицательных чисел.

1. Пусть для определенности в точке А₁ полуплоскости ₁ справедливо aх+by+c>0; А₁(х₁,у₁): ax₁+вy₁+c>0.

l

₁

π₂ А₁(х₁,у₁)

ах+bу+с=0
Тогда возьмем произвольную точку А₂(х₂,у₂) из той же полуплоскости ₁, что и точка А₁ и рассмотрим отрезок А₀А₁, которому принадлежит точка А₂, причем А₀(х₀,у₀)e.

Итак: А₁₁, А₂₁ и А₀l, то есть ах₀+вy₀+c=0.

х₂=х₀+(1-)х₁

у₂=у₀+(1-)у₁, (0,1).

В силу этого вычислим ах₂+bу₂+с=

=а(х₀+(1-)х₁)+b(у₀+(1-)у₁)+с=

=(ах₀+bу₀+с)+(1-)(ах₁+bу₁+с)>0,

т.к. (1-)>0 и ах₁+bу₁+с>0.

Таким образом, ах₂+bу₂+с>0, т.е. в точках А₁ и А₂ полуплоскости ₁ смысл неравенств совпадает.

2. Предположим теперь, что точки А₁ и А₂ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l, т.е. А₁₁, А₂₂.
₁

₂ А₁(х₁,у₁)
А₀
А₂(х₂,у₂) l: ах+bу+с=0
Пусть ах₁+ву₁+с>0. Так как х₀=х₂+(1-)х₁,

у₀=у₂+(1-)у₁ и ах₀+bу₀+с=0, получим:

ах₀+bу₀+с=а(х₂+(1-)х₁)+b(у₂+(1-)у₁)+с=

=(ах₂+bу₂+с)+(1-)(ах₁+bу₁+с)=0.

Откуда ах₂+bу₂+с= ( ах₁+bу₁+с) 0, ах₁+bу₁+с>0.

Следовательно, ах₂+bу₂+с 0 и F(A₂)>0. Тогда для любой точки А отрезка А₁А₂ имеет место F(A)>0, что доказывает утверждение.

Замечание. Полуплоскость как выпуклое множество не имеет угловых точек.

Замечание. Прямая l разбивает плоскость на две полуплоскости так, что имеет место: 1) отрезок, соединяющий две точки одной полуплоскости, не пересекает прямую l; 2) отрезок, соединяющий любые две точки из различных полуплоскостей, пересекает прямую l.

Очевидно, имеет место следующее

Утверждение. Множеством решений совместной системы линейных неравенств с двумя переменными является совокупность пар чисел, являющихся координатами точек, образующих выпуклый многоугольник
а) ограниченный б) неограниченный

Y

Y
М

Таким образом, многоугольник в плоскости можно задать как совокупность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторой системе неравенств. Геометрически это означает пересечение некоторого числа полупространств.

1

1 0 2 х
-1
б) у

-2 0 2 х

в)

1

Замечание. Множества точек плоскости можно задать как решение системы нелинейных неравенств.

а)

-2 0 2 х
-2

б)

в)

г)

2

-2 0 2 х

Теорема. Уравнение ах+bу+сz+d=0 определяет плоскость в R₃, которая разделяет R₃ на два полупространства, в одном из которых координаты (х,у,z) его точек удовлетворяют неравенству ах+ву+сz+d 0.

Доказательство теоремы аналогично случаю с плоскостью.

Следствие. Всякое полупространство в R₃ является выпуклым множеством.

В пространстве R₃ выпуклые множества возможно задать как совокупность точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств.

а) (х-х₀) 2 +(у-у₀) 2 +(z-z₀) 2 R 2 – шар радиуса R с центром в точке А₀(х₀,у₀,z₀);
б) — куб с центром в точке А₀(х₀,у₀,z₀) и длиной ребра равной 2а;
в) — параллелепипед с центром в точке А₀(х₀,у₀,z₀) и длинами ребер: 2а, 2b, 2с.
Замечание. Пространство R₃ разбивается плоскостью на два полупространства так, что: отрезок, соединяющий любые две точки одного и того же полупространства, не пересекает плоскости , а отрезок, соединяющий две точки различных полупространств, пересекает плоскость .

Замечание. Задание многогранника в случаях б) и в) представляет собой не что иное, как задание пересечения некоторого числа (шести) полупространств.

§2. Выпуклые оболочки и конусы.

Определение. Множество точек пространства Е_n, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению а₁х₁+а₂х₂+…+а_nx_n+а₀=0

называется гиперплоскостью этого пространства.

Здесь .

Гиперплоскостью пространства R₂ является прямая линия, а гиперплоскостью в R₃ является плоскость.

Предположим далее, что в некотором пространстве Е_n заданы точки А₁, А₂, …А_m. Тогда выпуклой оболочкой конечного числа точек будем называть выпуклый многогранник, вершинами которого могут быть лишь точки А_i (возможно и не все), для которого имеет место утверждение: любые m-k точек лежат в одном полупространстве относительно гиперплоскости, проходящей через оставшиеся k точек.

а) отрезок АВ является линейной оболочкой концов А и В (отрезок в n-мерном пространстве);

б) треугольник АВС в плоскости является линейной оболочкой вершин А, В и С;

в) пятиугольник является линейной оболочкой точек А, В, С, D, E, F, G (A, B, C, D, E – вершины пятиугольника)

г) тетраэдр – линейная оболочка вершин;

А В А F

Замечание1. Иногда выпуклую оболочку m-точек называют (m-1)-мерным симплексом.
Замечание2. Любой выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой конечного числа точек (минимальное число равно числу его вершин).

Наконец, можно дать строгое определение выпуклой оболочки системы точек.
Определение. Множество точек А вида А=₁А₁+₂А₂+…+_mA_m, где , называется выпуклой оболочкой точек А₁, А₂,…А_m.

Определение. Множество М из Е_n называется конусом с вершиной Q, если вместе с каждой, отличной от Q, точкой А множество М содержит весь луч QA, исходящий из Q.

Точка Q при этом называется вершиной конуса.

Если множество М является выпуклым, то его называют выпуклым конусом.
Например.

Q

Выпуклый конус – совокупность лучей, проходящих через точки треугольника АВС и вершину Q.
б) А Угол AQB является не выпулым

конусом

в)

Полуплоскость – выпуклый конус.

Угол BQA- выпуклый конус

Замечание. Всякий выпуклый конус либо совпадает со всем пространством, либо лежит в некотором полупространстве.
Очевидно, выпуклый конус является линейной оболочкой некоторого выпуклого множества и вершины конуса. Например, круговой конус является выпуклой оболочкой вершины Q и некоторого сечения М_0.

Q
M₀
Можно также построить выпуклую оболочку некоторого множества.

1) Выпуклой оболочкой окружности будет являться круг, ограниченный этой окружностью.

2)

Множество М. Выпуклая оболочка множества М.
Замечание. Выпуклые многогранники и конусы обладают одним общим замечательным свойством располагаться в одном полупространстве относительно некоторой гиперплоскости.

В связи с этим теория выпуклых множеств нашла непосредственное приложение при решении задач оптимизации линейных целевых функций на выпуклых множествах.

Решение оптимизационных экономических задач проводится методами линейного и выпуклого программирования.

Источник

• ← Доказать что множество четных натуральных чисел счетно
• Доказать что множество является группой →