Доказать что отображение сжимающее

Теория функций действительного переменного/Принцип сжимающиющихся отображений

> — метрическое пространство.

Всякое сжимающее отображение является непрерывным. Действительно, условие

\rho (x,y) .

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если имеет место равенство

Ax=x> .

Другими словами, неподвижная точка — это решение уравнения

Ax=x> .

x_<2>=Ax_<1>=A^<2>x_<0>>

x n = A x n − 1 = A n x 0 <\displaystyle

x_=Ax_=A^x_<0>> .

x m = A m x 0 = A n ( A m − n x ) = A n x m − n <\displaystyle x_=A^x_<0>=A^\left(A^x\right)=A^x_> .

По определению сжимающего отображения:

∑ k = 1 n − m α k − 1 = 1 − α n − m − 1 1 − α ≤ 1 1 − α <\displaystyle \sum _^\alpha ^=<<1-\alpha ^> \over <1-\alpha >>\leq <1 \over <1-\alpha>>> .

Используем полученные соотношения:

A x = A ( lim n → ∞ x n ) = lim n → ∞ ( A x n ) = lim n → ∞ x n + 1 = x <\displaystyle Ax=A\left(\lim _x_\right)=\lim _\left(Ax_\right)=\lim _x_=x> .

Существование неподвижной точки доказано.

Ax=x> , A y = y <\displaystyle

Ay=y> .

По определению сжимающего отображения:

с другой стороны, по определению неподвижной точки:

\rho (Ax,Ay)=\rho (x,y)> .

Из этих двух соотношений можно вывести, что

x=y> . Теорема доказана.

Следует отметить, что доказательство принципа сжимающих отображений конструктивно: данная теорема не только доказывает существование единственного решения, но и указывает конкретный метод приближённого нахождения этого решения (называемый методом последовательных приближений или методом простой итерации).

Принцип сжимающих отображений может быть применён для доказательства существования и единственности решения различных видов уравнений. Ниже дан простейший пример применения принципа сжимающих отображений, ещё несколько примеров приведены в следующем разделе.

Пример [ править ]

Очевидно, что в этом случае f <\displaystyle

f> — сжимающее отображение, поэтому в силу принципа сжимающих отображений последовательность

x_=f(x_)>

сходится к решению уравнения

Рассмотрим теперь уравнение вида

F(x)=0> ,

f(x)=x-\lambda F(x)>

и будем искать решение уравнения

x=f(x)> ,

f ′ ( x ) = 1 − λ F ′ ( x ) <\displaystyle

f'(x)=1-\lambda F'(x)> ,

то имеют место следующие неравенства

1 − λ K 2 ≤ f ′ ( x ) ≤ 1 − λ K 1 <\displaystyle 1-\lambda K_<2>\leq f'(x)\leq 1-\lambda K_<1>> .

Источник