Доказать что рациональные числа всюду плотны

Плотность множества рациональных чисел

Свойство плотности: Множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действительных чисел.

Если и любые рациональные числа и , то существует рациональное число , удовлетворяющее неравенству: , т.е. между числами и содержится бесконечное множество рациональных чисел.

Доказательство:

1. Известно, что если и рациональные числа, то их сумма, разность, произведение и частное (при делителе, отличном от нуля) является также рациональным числами: ℝ.

2. Тогда, например, будет также рациональным числом.

3. Если , то прибавим к обеим частям неравенства число : . (2)

4. Если , то прибавим к обеим частям неравенства число : . (3)

5. Сравним неравенства (2) и (3): и .

6. На основании свойства транзитивности .

7. Разделим все части неравенства на 2: , получим: .

8. Но число – рациональное число .

А между числами и , и таким же образом можно указать еще по рациональному числу и т.д.

Таким образом, между любыми рациональными числами и содержится не одно, а бесконечное множество различных рациональных чисел.

Говорят, что множество рациональных чисел или точек расположено всюду плотно на координатной прямой. Любой участок координатной прямой, каким бы он малым ни был, содержит бесконечное множество рациональных чисел.

Таким образом, множество рациональных чисел , являясь подмножеством действительных чисел, ℝ, всюду плотно во множестве действительных чисел.

Модуль

Тема №2

Предел последовательности

Лекция №4

1. Определение числовой последовательности.

2. Арифметические действия над числовыми последовательностями.

3. Понятие предела последовательности.

4. Геометрическая интерпретация предела последовательности.

5. Неравенство Бернулли.

6. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.

7. Бесконечные пределы последовательности.

8. Окрестность беззначной бесконечности.

9. Общее определение предела последовательности.

10. Единственность предела сходящейся последовательности.

Источник

Множество вещественных чисел (продолжение)

Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).

П.1 Понятия и

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным сверху, если найдется число М, для которого .

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным снизу, если найдется число m, для которого .

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным, если найдутся числа m и М, для которых .

Наименьшее из чисел М, ограничивающих сверху множество Х, называют точной верхней гранью этого множества. Аналогично, наибольшее из чисел m, ограничивающих множество Х снизу, называют точной нижней гранью множества Х. Точнее об этом в

ОПР. Число называют точной верхней гранью множества Х,, если выполнены два условия :

1) , 2) .

ОПР. Число называют точной нижней гранью множества Х, , если выполнены два условия

1) ,2) .

Точные верхняя и нижняя грани множества Х могут не принадлежать множеству Х.

ПРИМЕР 1. Множество Х является множеством значений последовательности . Найти и .

РЕШЕНИЕ. Докажем, что . Действительно, . Для любого . Решаем последнее неравенство относительно n : . Заметим, что . Поскольку последовательность возрастающая, то

, т. е.и .

ТЕОРЕМА 1. Любое непустое, ограниченное сверху множество , имеет .

ДОК. Пусть У – множество верхних граней множества Х: . По аксиоме о полноте множества вещественных чисел (аксиома 5), найдется число , для которого

.

Таким образом, и является в нем наименьшим элементом, т. е. .

Замечание. Множество Х имеет только одну точную верхнюю грань.

ДОК. Пусть и — две такие грани и . Тогда по определению для найдется , что противоречит условию .Аналогично доказывается

ТЕОРЕМА 2. Любое непустое, ограниченное снизу множество , имеет и единственное .

П.2 Множество рациональных чисел Q.

Числа вида , , называются рациональными. Два рациональных числа и равны, если .

Множество называется всюду плотным в , если .

ТЕОРЕМА 3. Множество Q рациональных чисел всюду плотно в R.

ДОК. Пусть два произвольных вещественных числа. Выберем натуральное n, для которого . Пусть К множество целых чисел . Множество К ограничено сверху и существует , притом . Тогда .

ОПР. Два множества Х и У называются равномощными, если существует биекция .

ОПР. Множество Х равномощное с N называется счетным.

ТЕОРЕМА 4. Множество Q счетно.

ДОК. Покажем, что всякое бесконечное подмножество У счетного множества Х также счетно. .

Тогда и отображение является биекцией .

Рассмотрим множество Х точек на плоскости с координатами . Множество Х счетно.

(соответствующая биекция изображена на рис.)

Рассмотрим подмножество , состоящее из пар , для которых дробь несократима.

По доказанному, множество счетно и отображение биективно. Тогда отображение биекция и множество рациональных чисел счетно.

П.3 Система вложенных отрезков.

ОПР. Система отрезков называется системой вложенных отрезков, если .

ТЕОРЕМА 5. Любая система вложенных отрезков имеет общую точку.

ДОК. Рассмотрим множества и . Множества А и В ограничены и . Тогда по аксиоме полноты существует , для которого

., т. е .

ОПР. Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если .

ТЕОРЕМА 6. Система стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.

ДОК. Пусть с1 и с2 две такие точки и

.

Тогда ,т. е..

Последнее противоречит условию стягивания.

ДОК. Предположим обратное : . Разобьем отрезок и выберем тот из отрезков, который не содержит х1. Далее полученный отрезок разобьем на три части и выберем тот, который не содержит х2 и т. д. Полученная совокупность вложенных отрезков стягивающаяся. По теореме 1 существует число , не совпадающее ни с одним из xn. Полученное противоречие доказывает, что множество [0;1] несчетно. Множества равномощные с [0;1] называются множествами мощности континуума.

1. Докажите, что множество всех интервалов (а;в) с рациональными концами счетно.

2. Докажите, что множество попарно не пересекающихся интервалов на действительной оси, конечно или счетно.

3. Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, имеет мощность континуума.

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Числовые множества. Понятие точной верхней и нижней грани. Теорема о существовании точной верхней и нижней грани ограниченного числового множества.

2) Множество рациональных чисел. Теорема о всюду плотности рациональных чисел.

3) Счетные множества. Теорема о счетности множества рациональных чисел.

4) Система вложенных отрезков. Теорема о непустоте их пересечения. Система стягивающихся вложенных отрезков. Теорема об единственности точки их пересечения.

5) Теорема о несчетности множества точек отрезка вещественной оси.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

Помогите доказать

Последний раз редактировалось sa233091 21.04.2017, 11:07, всего редактировалось 2 раз(а).

Заслуженный участник

Супермодератор

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Во-первых, скобки слишком круглы. Во-вторых: а где использована иррациональность альфы.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Someone 21.04.2017, 12:30, всего редактировалось 2 раз(а).

Последний раз редактировалось sa233091 21.04.2017, 13:23, всего редактировалось 3 раз(а).

Скобки круглые потому, что — иррационально

Домножим неравенство на :

Заметим, что число иррациональное, а значит — число вида

Исходная формулировка задачи действительно весьма туманна и ее нужно уточнять, но я скорее склонен считать, что фиксировано и задано (например, ), а фигурными скобками здесь обозначено не множество, а дробная часть числа . То есть, задача состоит в том, чтобы доказать, что последовательность дробных частей чисел вида всюду плотна на . В таком виде это уже более-менее содержательная задача.

В общем, нужно ждать, пока ТС сам не поправит условие так, чтобы оно стало корректным и читалось однозначно.

Последний раз редактировалось sa233091 21.04.2017, 18:54, всего редактировалось 2 раз(а).

Да, я с вами согласен

Впрочем тогда задачу можно решить все тем-же принципом Дирихле (который, надо заметить, часто фигурирует в подобного рода задачах). Но я думаю не следует приводить решение (учусь на собственных ошибках) и я лишь намекну ТС, что здесь также уместна идея возможности сколь угодно точно приблизить 0

Заслуженный участник

Здесь фигурными скобками обозначено одновременно и то, и другое. Что неприлично. Но не более прилично было бы и ставить двойные фигурные скобки. В общем, весьма неудачная запись.

Что, впрочем, никак не влияет на недвусмысленность самой постановки вопроса. Это ведь стандартная даже и не задача, а теорема. И тут на форуме она уже многократно обсасывалась.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник