Доказать что существует бесконечно много простых чисел вида 6k 1

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Бесконечность простых вида 6m+1[Теория чисел]

Здравствуйте, дорогие друзья!

Доказать, что простых чисел вида бесконечного много.

Мой эскиз доказательства: Пусть простых чисел вида конечное число и обозначим их через и пусть .
Рассмотрим такое число . Нетрудно проверить, что число имеет вид так как и
. Кроме того, число не делится ни на одно из чисел .
Первый случай: Если — простое число, тогда все хорошо.
Второй случай: Если — составное число, тогда он делится на некоторое простое число . Отсюда вытекает, что имеет вид и . В
обоих случаях получаем противоречие.
Во втором случае использовалось следующее утверждение: Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда имеет вид .

Скажите пожалуйста это доказательство правильное?

С уважением, Whitaker.

Заслуженный участник

Верно. Можно слегка усилить утверждение и доказать тем же методом, что простых чисел вида бесконечно много.

Вот ещё для тренировки список прогрессий, где метод Евклида работает: , , , , , , . Можно также попробовать разобраться с прогрессией , где 1$» title=»$m>1$» /> произвольно, но здесь понадобятся круговые многочлены.

Верно. Можно слегка усилить утверждение и доказать тем же методом, что простых чисел вида бесконечно много.

Вот ещё для тренировки список прогрессий, где метод Евклида работает: , , , , , , . Можно также попробовать разобраться с прогрессией , где 1$» title=»$m>1$» /> произвольно, но здесь понадобятся круговые многочлены.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Whitaker 26.07.2014, 14:02, всего редактировалось 2 раз(а).

Да было бы отлично! Отправьте пожалуйста.

nnosipov
Хочу такой вопрос спросить. Я вот могу доказать при каких числа будет квадратичным вычетов. Для чисел аналогичное рассуждение?

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

5 самых старых нерешенных задач Математики о простых числах

Математика была предметом, который веками бросал вызов величайшим умам в истории человечества. Пожалуй, одной из наиболее исследуемых областей Математики является изучение простых чисел.

Наши размышления о закономерностях в простых числах привели к некоторым сложнейшим проблемам, нерешенным даже величайшими математическими гениями. Сегодня мы рассмотрим 5 старейших математических задач о простых числах, которые интуитивно понятны старшекласснику, но все еще не доказаны даже после упорных попыток в течение 500-2000 лет.

1. Совершенные числа: существуют ли нечетные совершенные числа? Бесконечны ли четные совершенные числа?

Рассмотрим числа 6, 28, 496, 8128…

Что в них особенного? Если вы не знаете, то я бы посоветовал сделать небольшую паузу и попытаться найти красивое свойство, которым обладают эти числа.

Если посмотреть на собственные делители этих чисел, то нетрудно заметить то самое «красивое» свойство:

Числа, для которых сумма собственных делителей равна самому числу, называются совершенными числами. Самое раннее исследование совершенных чисел затеряно в истории. Однако, мы знаем, что пифагорейцы 525годдон.э. изучали совершенные числа.

Что мы знаем о таких числах?

Евклид доказал, что для данного n, если — простое число, то — совершенное число. В качестве упражнения попробуйте доказать это самостоятельно.

Окей, краткий экскурс.

Простые числа Мерсенна: простые числа вида для некоторого n. Мерсенн предположил, что все числа вида простые, когда n простое. (Мы знаем, что это неправда. Например, ).

Открытый вопрос: существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна? На данный момент нам известно 47 простых чисел Мерсенна.

В 18 веке Эйлер показал обратное: любое четное совершенное число имеет вид Другими словами, существует взаимно однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна.

Как видите, мы знаем о четных совершенных числах и способах их получения еще со времен Евклида около300годдон.э.. Но нам неизвестно, существую ли нечетные совершенные числа. насамомделе,прогрессврешенииэтойпроблемыпрактическиотсутствует.

Подводя итог, можно сказать, что изучение совершенных чисел ставит две давние открытые проблемы, а именно «существование нечетных совершенных чисел» и «существование бесконечно большого числа простых чисел Мерсенна».

Евклид (ок. 300 г. до. н. э.) первым доказал то, что простых чисел бесконечно много.

2. Гипотеза о близнецах: простых чисел-близнецов бесконечно много

Простые числа-близнецы — это пара вида (p, p + 2), где p и p + 2 являются простыми числами.

Точное происхождение гипотезы о простых числах-близнецах не установлено. Первая формулировка гипотезы о простых числах-близнецах была дана в 1846 году французским математиком Альфонсом де Полиньяком. Однако греческий математик Евклид дал старейшее из известных доказательств существования бесконечного числа простых чисел. Но он не предполагал, что существует бесконечное число простых чисел-близнецов.

На протяжении 2000 лет в доказательстве этого утверждения практически не было прогресса.

Что мы знаем!

Существует бесконечно много простых пар вида (p, p + k), где k = 4 на самом деле является суммой не более чем 6 простых чисел (т.е. С

Дата-центр ITSOFT — размещение и аренда серверов и стоек в двух дата-центрах в Москве. За последние годы UPTIME 100%. Размещение GPU-ферм и ASIC-майнеров, аренда GPU-серверов, лицензии связи, SSL-сертификаты, администрирование серверов и поддержка сайтов.

Источник

Доказать, что множества чисел бесконечны

доброго времени суток. Объясните мне пожалуйста, с чего вообще начинается доказательство кагого либо утверждения. Как доказать задачки из учебника? Мне не понятно с чего начать.

Доказать, что среднее арифметическое какого-то из чисел a,b и единицы равно второму из этих чисел
5ab+1 = 2a^2 +a+2b^2 +b. Докажите, что среднее арифметическое какого-то из чисел a,b и единицы.

Доказать что множества эквивалентны
Докажите, что множества А= <точки на параболе>и В= <точки эллипса>эквивалентны на пополненной.

Решение

Доказательство почти такое же, что и у Эратосфена для бесконечности всех простых.

содержит лишь конечное число простых, а именно такие:

a) больше любого из простых вида (*) ;
b) не делится ни на одно этих чисел.

Следовательно, это число N, во-первых, составное, во-вторых, его простые делители имеют вид 4n + 1.
Но произведение чисел вида 4n + 1 имеет такой же вид.
Действительно, для 2-х чисел (Здесь мы пользуемся мультипликативностью множ. S)

(4k_1 + 1)(4k_2 + 1) = 16 k_1 k_2 + 4(k_1 + k_2 ) + 1 = 4(4k_1 k_2 + k_1 + k_2 ) + 1.
» />

Для большего двух количества сомножителей — очевидное обобщение по индукции.
Таким образом, получено противоречие.
(Понятно, в чем противоречие? )

Источник