Доказать что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета

Теорема Пифагора

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Пошаговое доказательство:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Почему гипотенуза больше катета?

Почему в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше (или равна) катета?

В переводе с древнегреческого это слово означает натянутая. Скорее всего в древности что-то подобным образом натягивали. А равной катету гипотенуза быть не может. В этом случае один из катетов должен быть равен нулю. Но тогда это уже будет не треугольник, а просто прямой угол, с равными отрезками линий, отображающих этот угол.

Гипотенуза в прямоугольном треугольние лежит напротив самого большого угла в девяносто градусов. А два остальных угла дают столько же в сумме. А дальше для треугольников можно доказать, что чем больше угол, тем больше и сторона, напротив которой он расположен. Если треугольник вписать в круг, то самый большой угол будет опираться на самую большую дугу, а от этого и зависит размер хорды, которая Вляется стороной треугольника.

Чтобы лучше себе представить нужно нарисовать треугольник (он будет с одним прямым углом, который образован катетами).

Пусть этот треугольник стоит на одном из катетов. Можно прочертить воображаемую линию парралельную этому катету и проходящую через вершину, которая не соприкасается с этим катетом.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. со школы наизусть. Это одно из тех правил, которые запомнились навсегда.)))

Как известно, площадь круга вычисляется по формуле:

То есть нам в любом случае нужно знать радиус.

Существует специальная формула нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

В условии задачи даны только катеты, а для нахождения гипотенузы можно использовать теорему Пифагоа:

Например, катеты равны 3 и 4 см.

Найдём гипотенузу: √(3² + 4²) = √25 = 5 см.

Площадь круга будет равна:

C = πR² = 3,14 * 1 = 3,14 см².

Треугольник АВС, треугольник ЕНК.

Угол В = углу Н = 90*.

Длина катета в прямоугольном треугольнике равна корню из разности квадрата длины гипотенузы и квадрата длины второго катета.

В данном случае понятие «прилежащий» вообще ни к чему, поскольку катет может быть прилежащим (или противолежащим) только к углу, а углы для определения длины катетов знать совсем необязательно. Обычно их (то есть углы) используют в тригонометрии для определения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Если, конечно, я ничего не путаю, так как школу закончила лет эдак 20 назад.

Источник

Прямоугольный треугольник (ЕГЭ 2022)

Ты, наверно, знаешь, что треугольники – очень полезная штука. А местами даже таинственная. Сегодня мы раскроем все «тайны» о прямоугольном треугольнике.

Ну, хотя бы те, что возникают в математике и пригодятся тебе на ЕГЭ 🙂

А хочешь научиться решать задачи? Мы прикрутим в этот пост вебинары с нашего курса подготовки к ЕГЭ. Обязательно посмотри их и ты сможешь решить любую задачу на эту тему.

Прямоугольный треугольник — коротко о главном

Прямоугольный треугольник –треугольник, у которого один из углов – прямой (= \( \displaystyle <<90>^<\circ >>\)).

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \( <^<2>>+<^<2>>=<^<2>>\).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике:

Высота прямоугольного треугольника

Медиана и описанная окружность

Вписанная окружность

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

Площадь прямоугольного треугольника:

Источник

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.

Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

Формулы:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Источник