Доказать что всякая подгруппа группы z имеет вид nz где n z

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Задачи по алгебре

Последний раз редактировалось nou 27.06.2014, 15:09, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Xaositect 27.06.2014, 14:41, всего редактировалось 1 раз.

Вы не доказали, что все элементы этой подргуппы будут кратными . Может быть, в подгрупе, кроме , есть еще какое-нибудь ?

Последний раз редактировалось nou 28.06.2014, 09:13, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Foxer 28.06.2014, 11:28, всего редактировалось 1 раз.

Бесспорно, тут это не нужно, но вот некоторые не любят доказательства от противного.

Заслуженный участник

Ни в коем случае. Ну то есть брать НОД можно, но потом придется доказывать, что он представляется линейной комбинацией некоторых элементов, а это по сути как раз наша теорема.

Заслуженный участник

Ну, я имел в виду такое рассуждение: раз у нас на каждом шаге НОД уменьшается, то рано или поздно нам придется остановиться. Не обязательно на единице.

А теперь попробуйте посностью написать аккуратное доказательство, которое сможет убедить инопланетянина, знакомого с понятиями группы, подгруппы и кольца и с алгоритмом Евклида для НОД 🙂

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: .

Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

1. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

3. В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы и .

5. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.

Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть .

Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда

= = = .

Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

Гомоморфизм.

Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть : .

Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

1. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.

2. Тривиальное отображение является гомоморфизмом.

3. Если — любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.

4. Пусть — нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.

5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.

6. Отображение , которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .

Теорема (свойства гомоморфизма)

Пусть — гомоморфизм групп, и — подгруппы. Тогда:

1. , .

2. — подгруппа.

3. -подгруппа, причем нормальная, если таковой была .

1. и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: .

Нормальная подгруппа называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается .

Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда

Поскольку , указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.

Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .

Пусть — любой элемент. Имеем : . Следовательно, .

Циклические группы.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

1. Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

Теорема о структуре циклических групп.

Источник

Лекции по Линейной алгебре

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

Теорема о структуре циклических групп.

В самом деле, пусть — любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g ) » .

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G — циклическая группа.

Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа H М G порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.

Если G обладает свойством (Z), то

Любая подгруппа G нормальна.

Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.

Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).

2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b . Следовательно, . Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то . Следовательно, и потому xy = yx.

11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.

Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.

Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.

Пусть — элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента . Тогда и значит m делится на p. Но тогда — элемент порядка p.

Доказательство теоремы Коши.

Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G » Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и , причем n делится на p.

Рассмотрим последовательно несколько случаев

G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.

Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: . Здесь отдельно выделен класс и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g № e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому g О Z(g) = . Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому делится на p: . Но тогда — не делится на p, что не соответствует условию.

Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.

Теорема о подгруппах коммутативной группы.

Источник

Добрый день. Прошу помочь с несколькими задачами.

1)Опишите фактор-группу Q/Z и докажите что любой ее элемент имеет конечный порядок. Я расписал данную задачу так: q=a/b где a,b принадлежат Z, Z+q принадлежит Q/Z, q принадлежит Q. Получаем b(Z+a/b)= (Z+a/b)+(Z+a/b). =a+Z=Z Правильно ли это? 2) Найти ядро и образ гомоморфизма ф:Я Z[i]->Z, ф(a+bi)=b 3)изоморфны ли группы S3 и SL2(F2)? 4) укажите мультипликативную группу колец Z,Q,Z[sqrt(2)],Q[sqrt(2)], R тут кажется группы Q и R

задан 13 Июн ’19 17:42

1 ответ

1) Здесь всё верно, только нужно уточнить, что рациональное число, согласно школьному определению, представимо в виде a/b, где a целое и b натуральное.

2) Группы аддитивные, нейтральным элементом является ноль. Ядро состоит из всех элементов вида a+bi, которые переходят в 0, то есть для них b=0. Они образуют подгруппу Z в группе Z[i]. Образ равен всей группе Z, так как элемент b принимает все целые значения.

3) Группа SL(2,2) матриц порядка 2 над полем F2 из двух элементов совпадает с группой GL(2,2) всех невырожденных матриц с теми же условиями. Определитель, будучи не равным 0, равен 1, то есть матрица из GL принадлежит SL.

Чтобы составить невырожденную матрицу, мы в качестве первой строки берём любой ненулевой вектор. Это можно сделать 3 способами: (0 1), (1,0), (1,1). Вторая строка берётся не пропорциональная первой, то есть ненулевая, и не совпадающая с уже взятой. Для каждого способа выбрать первую строку, имеется по 2 способа выбрать вторую. Итого по правилу произведения получается 6 матриц, то есть порядки обеих групп S3 и SL(2,2) равны 6.

Все такие элементы обратимы, и достаточно просто понять, как получается очередная пара. Скажем, после (17,12) пойдёт пара (41,29). Здесь 29 равно 17+12, а 41 получается дополнительным прибавлением 12 к 29.

Источник