Доказать что выражение является полным дифференциалом некоторой функции и найти эту функцию

Показать, что выражение является полным дифференциалом.

Доказать, что данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции
((1/x)+y)dx+((1/y)+x)dy Буду очень благодарен если поможете. Пытался решить, но не получилось.

Доказать, что данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции
Доказать, что данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u=(x,y) и найти эту.

Найдите все положительные целые x, такие что x4−8x+16 является полным квадратом
Помогите решить 3 задачи пожалуйста. 1)Найдите все положительные целые x, такие что x4−8x+16.

Да дело-то нехитрое.
Я обозначу ваше выражение
Вы сначала проверьте, полный ли это дифференциал. Если полный, то должны быть равны производные

Вычисляете производные и сравниваете. Они будут равны.
Теперь можно искать и функцию. Проще всего вычислить криволинейный интеграл

вдоль прямой, соединяющей начало координат с точкой (x,y). Для этого подставьте в интеграл переменные интегрирования в виде

Тогда у вас получится простенький интегральчик по t в пределах от 0 до 1. Кроме длинного логарифма там ничего сложного не будет.
Не бойтесь, попробуйте. Не получится, спросите, объясним!
Удачи!

Найдите все положительные целые x, такие что x^4-8x+16 является полным квадратом
Найдите все положительные целые x, такие что x^4-8x+16 является полным квадратом

Источник

Доказать что выражение является полным дифференциалом некоторой функции и найти эту функцию

Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию \(u\left( \right):\) \[\left\< \begin \frac<<\partial u>><<\partial x>> = P\left( \right)\\ \frac<<\partial u>><<\partial y>> = Q\left( \right) \end \right..\]

Интегрируем первое уравнение по переменной \(x.\) Вместо постоянной \(C\) запишем неизвестную функцию, зависящую от \(y:\) \[u\left( \right) = \int\right)dx> + \varphi \left( y \right).\]

Интегрируя последнее выражение, находим функцию \(<\varphi \left( y \right)>\) и, следовательно, функцию \(u\left( \right):\) \[u\left( \right) = \int\right)dx> + \varphi \left( y \right).\]

Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде: \[u\left( \right) = C.\]

Примечание : На шаге \(3,\) вместо интегрирования первого уравнения по переменной \(x,\) мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной \(y.\) После интегрирования нужно определить неизвестную функцию \(<\psi \left( x \right)>.\)

Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные производные равны: \[ <\frac<<\partial Q>><<\partial x>> = \frac<\partial ><<\partial x>>\left( <+ 3> \right) = 2x,>\;\; <\frac<<\partial P>><<\partial y>> = \frac<\partial ><<\partial y>>\left( <2xy>\right) = 2x.> \] Запишем следующую систему дифференциальных уравнений для определения функции \(u\left( \right):\) \[\left\< \begin \frac<<\partial u>><<\partial x>> = 2xy\\ \frac<<\partial u>><<\partial y>> = + 3 \end \right..\] Интегрируя первое уравнение по \(x,\) получаем: \[u\left( \right) = \int <2xydx>= y + \varphi \left( y \right).\] Подставляем выражение для \(u\left( \right)\) во второе уравнение: \[ <\frac<<\partial u>><<\partial y>> = \frac<\partial ><<\partial y>>\left[ <y + \varphi \left( y \right)> \right] = + 3,>\;\; <\Rightarrow + \varphi ‘\left( y \right) = + 3,>\;\; <\Rightarrow \varphi '\left( y \right) = 3.> \] Интегрируя последнее уравнение, находим неизвестную функцию \(<\varphi \left( y \right)>:\) \[\varphi \left( y \right) = \int <3dy> = ,\] так что общее решение данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид: \[y + = C,\] где \(C\) − произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения описывается уравнением: \[x + \frac<2><3> <\left( <— > \right)^<\frac<3><2>>> + C = 0.\]

Источник

Как найти полный дифференциал функции?

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.

Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную не равную нулю.

Применяя свойства предела функции, получают равенство.

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)). Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x.

Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d2y.

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически:

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых. Например, если z = f(x;y) то

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида:

Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней. Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению:

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

Решая два последних равенства, можем записать:

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

Так как, получим, что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

, где — пока неизвестная функция от y.

Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:

, где — пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:

Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте ).

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.

Источник

Уравнения в полных дифференциалах

Содержание:

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.

Для функции двух переменных по определению имеем:

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов

Разность между полным приращением и полным дифференциалом dz есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с т. е.

Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Из формулы (12.1) следует, что

Формулу (12.5) можно переписать так:

Полный дифференциал функции трех переменных вычисляется по формуле

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Источник

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

1º. Основные понятия

Рассмотрим ОДУ в дифференциальной форме

Считаем, что функции M(x, y), N(x, y) — непрерывные по обеим переменным в некоторой односвязной области D плоскости XOY, причём

Определение 1. ОДУ (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных.

Таким образом, если (1) — уравнение в полных дифференциалах, то существует функция u(x, y), такая что

Тогда ОДУ (1) можно записать в виде

Автоматически следует, что общий интеграл этого уравнения

Пример 1. ydx + xdy = 0.

Левая часть уравнения есть полный дифференциал функции u(x, y) = xy.

поэтому полный дифференциал имеет вид d(xy) = ydx + xdy Þ d(xy) = 0

И общий интеграл этого уравнения xy = C.

На практике, чтобы использовать этот метод интегрирования, нужно решить две задачи:

1). Каким образом можно отличить дифференциальное уравнение в полных дифференциалах от остальных.

2). Как найти функцию двух переменных, если известен её полный дифференциал.

Этим мы и будем заниматься.

2º. Признак уравнения в полных дифференциалах

Теорема 1. Пусть функции M(x, y), N(x, y) — непрерывно дифференцируемые в отмеченной области D. Уравнение (1) будет уравнением в полных дифференциалах, тогда и только тогда, когда для функций M(x, y), N(x, y) выполняется условие Эйлера

» (x, y) Î D. (2)

Доказательство. Необходимость. Считаем, что существует функция u(x, y), что

,

поэтому имеем тождество

, (3)

. (4)

Дифференцируем (3) по y, (4) по x:

, .

Так как частные производные функций M(x, y), N(x, y) непрерывные по условию, поэтому будут непрерывными смешанные производные функции u(x, y). А это значит, они равны между собой, тогда выполняется условие Эйлера

.

Достаточность. Считаем, что выполняется условие Эйлера (2). Нужно показать, что существует функция u(x, y), для которой выполняются равенства (3), (4).

Доказательство конструктивное— функция u(x, y) строится.

Сначала рассмотрим формулу (3) как уравнение относительно неизвестной функции u(x, y)

. (3¢)

Фиксируем точку (x₀, y₀) Î D, которая принадлежит D вместе с некоторой окрестностью.

В этой же окрестности рассмотрим подвижную точку (x, y).

Из (3¢) найдём выражение для функции u(x, y) интегрированием по x на прамежутке от x₀ до x:

. (5)

Интеграл имеет смысл, т.к. M(x, y) – непрерывная. Здесь j(y) — любая функция, дифференцируемая по y, т.к. производная должна существовать.

Найдём выражение для производной по y

.

Поднесение знака дифференцирования под знак интеграла возможно, т.к. функция M(x, y) и её производная непрерывные по обеим переменным.

С другой стороны, из равенства (4) имеем

, (4¢)

N(x, y) = .

Воспользовавшись формулой Эйлера (2)

,

делаем замену функции под интегралом

N(x, y) = . (6)

= N(x, y) – N(x₀, y).

j(y) = , (7)

где C — произвольная константа.

Из (5) и (7) получаем формулу для функции u(x, y)

.

Нам нужна одна функция, а мы получили семейство функций. Считаем C = 0 и

.

Замечание. Достаточность условия Эйлера в теореме можно доказательствоать, используя криволинейный интеграл. При таком подходе функция u(x, y) определяется криволинейным интегралом от дифференциальной формы

Так как дифференциальная форма является полным дифференциалом, то значение интеграла не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечнойточек.

3º. Метод нахождения общего интеграла

Метод интегрирования уравнения в полных дифференциалах фактически определяется доказательствоательством достаточности в теореме. Формула общего интеграла имеет вид

нужно отметить, что доказательство достаточности можно было бы начать с интегрирования формулы

, (4¢)

тогда бы получили формулу

.

Соответственно общий интеграл

.

Пример 2. (y 3 – 2xy) dx+ (3xy 2 – x 2 ) dy= 0.

Это не уравнение с разделяющимися переменными.

Проверяемем условие Эйлера

= 3y 2 – 2x, = 3y 2 – 2x.

Выполняется. Воспользуемся первой формулой

.

В качестве точки (x₀, y₀) возьмём начало координат (0, 0)

.

Получаем общий интеграл

4º. Интегрирующий множитель

Часто уравнение в дифференциальной форме

уравнением в полных дифференциалах не является, но его можно свести к уравнению в полных дифференциалах с помощью умножения на некоторую функцию.

Определение 2. Интегрирующий множитель — это функция m(x, y), которая уравнение

приводит к уравнению в полных дифференциалах

Поскольку (8) — уравнение в полных дифференциалах, то должно выполняться условие Эйлера. Тогда

,

,

,

.

Последнее уравнение — уравнение в частных производных, и, вообще говоря, более сложное, чем исходное. Но есть частные случаи.

Пример 3. Проверить, что для уравнения

(x + y 2 )(3x + 2y + y 2 ) = 2y(3x + 2y + y 2 ) + (x + y 2 )(2 + 2y) = 2x + 8xy + 6y 2 +4y 3

(x + y 2 )(x + 4xy + 5y 2 ) = (x + 4xy + 5y 2 ) + (x + y 2 )(1 + 4y) = 2x + 8xy + 6y 2 + 4y 3

Формула Эйлера выполняется.

Одним из частных случаев существованя интегрирующего множителя является уравнение с разделяющимися переменными (§ 6)

Делением на N₁(y)M₂(x) (умножением на ) мы приводили его к уравнению с разделёнными переменными

.

Если проверить формулу Эйлера:

и ,

то получается, что уравнение с разделёнными переменными, есть уравнение в полных дифференциалах, а для уравнения (9) интегрирующий множитель имеет вид

m(x, y) = .

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 334 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник