Доказательство что число пи иррациональное
СОДЕРЖАНИЕ
Доказательство Ламберта
В 1761 году Ламберт доказал, что π иррационально, сначала показав, что это разложение в цепную дробь справедливо:
Доказательство Эрмита
Используя индукцию, можно доказать, что
и поэтому у нас есть:
Используя определение последовательности и индукцию, можно показать, что
Он не обосновал это утверждение, но это легко доказать. Во-первых, это утверждение эквивалентно
Продолжая по индукции, возьмем n = 0.
Доказательство Картрайта
тогда это становится
Следовательно, при достаточно большом n
то есть, мы могли бы найти целое число от 0 до 1. Это противоречие следует из предположения, что π рационально.
Это доказательство аналогично доказательству Эрмита. Действительно,
Однако это явно проще. Это достигается тем, что опускается индуктивное определение функций A n и берется за отправную точку их выражение в виде интеграла.
Доказательство Нивена
Это доказательство использует характеристику П как наименьший положительный нуль от синусоидальной функции.
и для каждого x ∈ ℝ пусть
Приведенное выше доказательство представляет собой отточенную версию, которая максимально упрощена в отношении предпосылок анализа формулы
Доказательство Нивена ближе к доказательству Картрайта (и, следовательно, Эрмита), чем кажется на первый взгляд. По факту,
Следовательно, замена xz = y превращает этот интеграл в
откуда следует, что
Доказательство Бурбаки
Доказательство Миклоша Лацковича является упрощением оригинального доказательства Ламберта. Он считает функции
Утверждение 1. Имеет место следующее рекуррентное соотношение :
Утверждение 3: Если x ≠ 0 и если x 2 рационально, то
С другой стороны, из утверждения 1 следует, что
С другой стороны, поскольку
другое следствие утверждения 3 состоит в том, что если x ∈ Q \ <0>, то tg x иррационально.
Новое доказательство решает вопрос аппроксимации таких чисел, как пи
Древние греки интересовались, можно ли приблизительно выразить иррациональные числа дробями. Доказав давнюю гипотезу Даффина-Шаффера, два математика дали исчерпывающий ответ.
Двоичная запись π бесконечна. Но бесконечное число дробей могут приближаться к этому числу со всё возрастающей точностью.
Глубокие провалы на числовой прямой не так неприступны, как могло показаться. Это одно из последствий нового значимого доказательства того, как сложные числа поддаются простым приближениям.
Доказательство разрешает задачу почти 80-летней давности, известную, как гипотеза Даффина-Шаффера. Тем самым оно даёт окончательный ответ, занимавший математиков с древних времён: при каких условиях возможно представлять иррациональные числа, длящиеся бесконечно долго – типа числа пи – простыми дробями типа 22/7? Доказательство устанавливает, что ответ на этот довольно общий вопрос обнаруживается в результате единственного вычисления.
«Существует простой критерий того, можно ли аппроксимировать практически любое число или практически ни одного числа», — сказал Джеймс Мэйнард из Оксфордского университета, соавтор доказательства, сделанного им совместно с Димитрисом Кукулопулосом из Монреальского университета.
Математики несколько десятилетий подозревали, это этот простой критерий является ключом к пониманию того, когда можно получить хорошую аппроксимацию – но не могли доказать этого. Кукулопулос и Мэйнард смогли сделать это только после того, как они переформулировали эту задачу о числах в терминах связей между точками и линиями графа – кардинальное изменение перспективы.
«Я бы сказал, они были достаточно уверенными в себе (и это, очевидно, было оправдано), чтобы пойти по избранному пути, — сказал Джеффри Ваалер из Техасского университета в Остине, приложившего руку к ранним результатам, связанным с гипотезой Даффина-Шаффера. – Прекрасная работа».
Арифметический эфир
С рациональными числами всё просто. В них входят числа для счёта предметов и все остальные числа, которые можно записать в виде дробей.
Благодаря этой способности быть записанными, рациональные числа знакомы нам лучше всего. Однако среди всех вещественных чисел рациональных на самом деле довольно мало. Большая часть чисел – иррациональные, с бесконечной десятичной записью, и их невозможно записать в виде дробей. Некоторые из них оказались достаточно важными для того, чтобы заслужить символические обозначения – пи, е, √2. Остальные нельзя даже назвать. Они повсюду, но недостижимы – словно арифметический эфир.
Возможно, поэтому, естественно будет задуматься – если мы не можем точно выразить иррациональные числа, как близко мы можем подойти к ним? Это область рационального приближения. Математики древности поняли, что неуловимое отношение длины окружности к диаметру можно неплохо приблизить при помощи дроби 22/7. Позднее математики обнаружили ещё более точное и почти такое же сжатое приближение к пи: 355/113.
«Записать пи очень сложно, — сказал Бен Грин из Оксфорда. – Люди пытались найти наиболее точное приближение к пи, и одним из распространённых способов сделать это было использование рациональных чисел».
В 1837 году математик Петер Густав Лежён Дирихле обнаружил правило, говорящее нам, насколько точно можно аппроксимировать иррациональные числа при помощи рациональных. Приближение легко найти, если не устанавливать точного значения ошибки. Но Дирихле доказал наличие чёткой взаимосвязи между дробями, иррациональными числами и разделяющими их ошибками.
«Удивительная и примечательная вещь – возможность приближённо выразить вещественное число через дробь, с ошибкой, не превышающей единицы, делённой на квадрат знаменателя», — сказал Эндрю Грэнвиль из Монреальского университета.
В рукописи 1913 года математик Сриниваса Рамануджан Айенгор использовал дробь 355/113 в качестве рациональной аппроксимации пи.
Открытие Дирихле было ограниченным заявлением по поводу рационального приближения. Оно говорит, что для любого иррационального числа вы можете найти бесконечно много приближающихся к нему дробей, если вы можете использовать в качестве знаменателя любое целое число, и вас устраивает ошибка в размере его обратного квадрата. Но что, если вам нужно, чтобы знаменатели принадлежали к некоторому (бесконечному) подмножеству целых чисел, к примеру, к множеству простых чисел, или к множеству полных квадратов? Что, если вам нужно, чтобы ошибка приближения равнялась 0,00001, или имела любое другое значение? Удастся ли вам найти бесконечно много аппроксимирующих дробей именно в таких условиях?
Гипотеза Даффина-Шаффера – попытка создать наиболее обобщённую платформу для работы с рациональными аппроксимациями. В 1941 году математики Р. Д. Даффин и А.С. Шафер представили следующий сценарий. Сначала выберем бесконечный список знаменателей. Это может быть всё, что хотите: нечётные числа, числа, делящиеся на 10, простые числа.
Потом для каждого числа в списке выберите, насколько точно вам нужно приблизить иррациональное число. Интуиция говорит нам, что если мы выберем достаточно большие ошибки, у нас будет больше возможности для аппроксимации. Если выбрать небольшой размер ошибки, это будет сложнее. «Подойдёт любая последовательность, если оставлять достаточно места», — сказал Кукулопулос.
Теперь, учитывая выбранные параметры – последовательность чисел и определённую ошибку – возникает вопрос: можно ли найти бесконечно много дробей, приближающих все иррациональные числа?
Гипотеза обеспечивает математическую функцию для оценки этого вопроса. Ваши параметры выступают в качестве входных данных. Результатом может быть один из двух вариантов. Даффин и Шаффер предположили, что два этих варианта соответствуют как раз тому, сможет ли ваша последовательность аппроксимировать практически все иррациональные числа с требуемой точностью, или практически ни одно из них («практически» упоминается потому, что для любого набора знаменателей всегда будет существовать небольшое число изолированных иррациональных чисел, которые можно или нельзя достаточно хорошо приблизить).
«Вы получаете практически всё или практически ничего. Промежуточных вариантов нет», — сказал Мэйнард.
Это было чрезвычайно общее заявление, пытающееся характеризовать аппроксимацию рациональными числами вдоль и поперёк. Критерий, предложенный Даффином и Шаффером, казался математикам правильным. Однако доказать, что в двоичном выходе функции содержится всё, что нужно для того, чтобы понять, работает ваша аппроксимация, или нет – вот это было сделать гораздо сложнее.
Двойной подсчёт
Доказательство гипотезы Даффина-Шаффера связано с тем, чтобы понять, какую пользу вы получаете с каждого из доступных вам знаменателей. Чтобы ощутить это, полезно будет рассмотреть уменьшенную версию этой задачи.
Допустим, вы хотите аппроксимировать все иррациональные числа на отрезке от 0 до 1. Представим, что в качестве знаменателей вам доступны все натуральные числа от 1 до 10. Список возможных дробей достаточно большой. Сначала 1/1, затем 1/2 и 2/2, потом 1/3, 2/3 и 3/3, и так далее, вплоть до 9/10 и 10/10. Однако пользы от них никакой.
К примеру 2/10 – то же самое, что 1/5, а 5/10 – то же самое, что 1/2, 2/4, 3/6 и 4/8. До появления гипотезы Даффина-Шаффера советский математик Александр Яковлевич Хинчин сформулировал похожую по широте гипотезу о рациональной аппроксимации. Однако его теорема не учитывала тот факт, что эквивалентные дроби нужно считать только по одному разу.
Димитрис Кукулопулос (слева) и Джеймс Мэйнард на презентации своего доказательства на конференции в Италии
«Обычно математика для первого класса не должна влиять на решение задач, — сказал Грэнвиль. – Но в данном случае, как ни удивительно, она повлияла».
Поэтому в гипотезе Даффина-Шаффера есть член, подсчитывающий количество уникальных дробей (или приведённых дробей) для каждого знаменателя. Этот член называется функцией φ Эйлера в честь её изобретателя, математика XVIII века Леонарда Эйлера. φ(10) равняется 4, поскольку между 0 и 1 существует всего четыре приведённых дроби со знаменателем 10: 1/10, 3/10, 7/10 и 9/10.
Следующий шаг – посчитать, сколько иррациональных чисел можно аппроксимировать при помощи каждой из приведённых дробей. Это зависит от того, ошибку какого размера вы готовы принять. Гипотеза Даффина-Шаффера позволяет выбирать ошибку для каждого из знаменателей. Например, для дробей со знаменателем 7 можно взять допустимую ошибку 0,02. Для знаменателя 10 можно взять ошибку 0,01.
Определив знаменатели и члены ошибок, пора ставить сети на иррациональные числа. Постройте ваши дроби на числовой прямой между 0 и 1, а ошибки нарисуйте в виде сетей, отходящих от дроби с каждой стороны. Можно сказать, что все иррациональные числа, попавшие в сети, «удовлетворительно аппроксимированы» для заданных членов. Вопрос в следующем: сколько иррациональных чисел вы поймали?
В любом интервале числовой прямой содержится бесконечное количество иррациональных чисел, поэтому точное количество пойманных иррациональных чисел написать нельзя. Вместо этого математики говорят о пропорции общего количества иррациональных чисел, пойманных каждой дробью. Они оценивают эти пропорции при помощи такой концепции, как «мера» подмножества чисел – это что-то вроде оценки количества пойманной рыбы по весу, а не по количеству.
Гипотеза Даффина-Шаффера предлагает сложить все меры подмножеств иррациональных чисел, пойманных каждой из аппроксимирующих дробей. Она представляет это число в виде большой арифметической суммы. Затем она делает своё главное предсказание: если эта сумма уходит в бесконечность, то вы аппроксимировали практически все иррациональные числа; если же она даёт лишь конечное значение, вне зависимости от того, сколько мер вы просуммировали, тогда вам не удалось аппроксимировать практически ни одного иррационального числа.
Подобный вопрос, «расходится» ли сумма до бесконечности или «сходится» к конечному значению, возникает во многих областях математики. Главное заявление гипотезы Даффина-Шаффера состоит в том, что если вы хотите понять, можете ли вы аппроксимировать почти все иррациональные числа при помощи заданного множества знаменателей и допускаемых ошибок, то вам нужно знать только одно: расходится ли бесконечная сумма мер до бесконечности, или сходится к конечному значению.
«В итоге, неважно, как вы решили оценивать аппроксимацию для каждого знаменателя, ваш успех целиком зависит только от одного: расходится ли бесконечная последовательность, или нет», — сказал Ваалер.
Построение решения
Вы можете задаться вопросом: а что, если числа, аппроксимированные одной дробью, пересекутся с числами, аппроксимированными другой? Не будем ли мы учитывать их по два раза при подсчёте мер?
Для некоторых последовательностей аппроксимации двойной подсчёт не имеет значения. Математики уже несколько десятилетий назад доказали, что эта гипотеза выполняется для последовательностей аппроксимации, состоящих из простых чисел. Но для многих других последовательностей аппроксимации двойной подсчёт представляет проблему. Поэтому математики и не могли разобраться с этой гипотезой в течение 80 лет.
Степень, до которой различные знаменатели отлавливают пересекающиеся множества иррациональных чисел, отражается в количестве простых делителей, общих для всех знаменателей. Рассмотрим числа 12 и 35. Простые делители у 12 – это 2 и 3. Простые делители у 35 – это 5 и 7. Иначе говоря, общих простых делителей у 12 и 35 нет – в итоге, множества иррациональных чисел, которые можно аппроксимировать долями со знаменателями 12 и 35 не особенно пересекаются.
А что насчёт знаменателей 12 и 20? У 20 простые делители – это 2 и 5, пересекающиеся с делителями 12. Точно так же и иррациональные числа, которые можно аппроксимировать дробями со знаменателем 20, пересекаются с теми, которые можно аппроксимировать дробями со знаменателем 12. Гипотезу Даффина-Шаффера тяжелее всего доказать именно в таких ситуациях — когда у чисел в аппроксимационной последовательности есть много общих небольших простых делителей, и происходит пересечение многих подмножеств чисел, которые аппроксимирует каждый из знаменателей.
«Когда у многих знаменателей из которых вы выбираете есть много небольших простых делителей, они начинают мешать друг другу», — сказал Сэм Чау из Оксфорда.
Ключ к решению гипотезы заключался в поиске способа точно подсчитать взаимные наложения подмножеств иррациональных чисел, которые аппроксимируются знаменателями, имеющими общие простые делители. 80 лет этого никому не удавалось сделать. Кукулопулос и Мэйнард добились успеха, найдя совершенно новую точку зрения на задачу.
Граф взаимного наложения
В своём новом доказательстве они строят из своих знаменателей граф. Они строят их в качестве вершин графа и соединяют вершины ребром, если у них есть множество общих простых делителей. Структура графа описывает наложение подмножеств иррациональных чисел, которые аппроксимирует каждый из знаменателей. И хотя это наложение тяжело исследовать напрямую, Кукулопулос и Мэйнард нашли способ анализировать структуру графа при помощи инструментов из теории графов – и нужная им информация нашлась таким путём.
«Граф помогает визуально разбираться в задаче, это красивый язык, на котором можно размышлять о проблеме», — сказал Кукулопулос.
Кукулопулос и Мэйнард доказали, что гипотеза Даффина-Шаффера и в самом деле верна: если вам дали список знаменателей с допустимыми ошибками, вы можете определить, возможно ли аппроксимировать практически все иррациональные числа, или это невозможно сделать, просто проверяя, расходится ли соответствующая сумма мер в бесконечность или сходится к конечному значению.
Это элегантная проверка, берущая обширный вопрос природы аппроксимации рациональными числами и сводящая его к единому вычисляемому значению. Доказав универсальность проверки, Кукулопулос и Мэйнард совершили один из величайших поступков для математики: дали окончательный ответ на основополагающий вопрос в своей области.
«Их доказательство стало необходимым и достаточным результатом, — сказал Грин. – Полагаю, он отмечает конец очередной главы в математике».
10 удивительных фактов о числе Пи
Обычно наши знания о числе Пи заканчиваются на этом: 3,14159. Не все даже помнят, что это число показывает соотношение окружности круга и его диаметра.
Пи — иррациональное число, то есть оно не может быть записано как простая дробь. К тому же оно бесконечно и является непериодической десятичной дробью, что делает его одним из самых загадочных чисел, известных человеку.
Первый расчёт
Архимед был первым, кто заговорил о существовании числа Пи
Считается, что впервые о числе Пи заговорил Архимед. Примерно в 220 году до н.э. он вывел формулу S = Рi R2 путём приближения области окружности, основанной на области многоугольника, вписанного в окружность, и области многоугольника, вокруг которого была описана окружность. Оба многоугольника очертили нижнюю и верхнюю границы окружности, тем самым позволив Архимеду осознать, что недостающая деталь (Пи) находится где-то между 3 1/7 и 3 10/71.
Известный китайский математик и астроном Цзу Чунчжи (429–501) вычислил Пи немного позже, разделив 355 на 113, но до сих пор неизвестно, как он пришёл к такому выводу, так как записей, фиксирующих его работу, не сохранилось.
Область окружности на самом деле неизвестна
Пи — иррациональное число
В 18 веке Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность числа Пи.
Иррациональность числа Пи выражается в том, что мы никогда не знаем реальную длину окружности (и впоследствии зону) окружности. Этот факт казался учёным неизбежным, но некоторые математики настаивали, что более точно было бы представлять, что у окружности есть бесконечное количество крошечных углов, вместо предположения, что окружность ровная сама по себе.
Задача Бюффона об игле
С помощью задачи Бюффона можно вычислить Пи, не прибегая к окружности
Впервые учёные обратили внимание на задачу Бюффона об игле в 1777 году. Эта проблема была признана одной из самых интригующих в истории геометрической вероятности. Вот, как это работает.
Если бы перед вами стояла задача бросить иголку определённой длины на лист бумаги, на котором начерчены линии такой же длины, то вероятность того, что иголка пересечёт одну из линий, будет равна числу Пи.
В бросании иголки две переменные: 1. угол падения и 2. расстояние от центра иголки до ближайшей линии. Угол может варьироваться в диапазоне от 0 до 180 градусов, а измеряется он от линии, параллельной линиям на бумаге.
Получается, что вероятность того, что иголка приземлится таким образом, равна 2/Пи, или примерно 64%. Соответственно, число Пи теоретически можно вычислить используя эту технику, если найдётся тот, кому хватит терпения проводить этот муторный эксперимент. Обратите внимание, что здесь никак не фигурирует окружность.
Возможно, сложно это всё представить, но, если у вас есть желание, можете попробовать.
Пи и проблема ленты
Длина окружности увеличивается строго в соотношении с Пи
Представьте, что вы берёте ленту и оборачиваете её вокруг земного шара. (Для упрощения эксперимента предлагаем взять за истину, что Земля — это ровная сфера, окружность которой 40000 км). Теперь попытайтесь определить необходимую длину ленты, которую можно будет обернуть вокруг Земли на расстоянии 2,54 см над её поверхностью. Если вам кажется, что вторая лента должна быть длиннее, то вы не одиноки в своих догадках. Но по факту это совсем не так: вторая лента будет всего на 2Пи длиннее, а это примерно 16 см.
А вот и разгадка: допустим, что Земля — идеальная сфера, огромная окружность, длина которой составляет 40000 км (по экватору). Следовательно, её радиус будет равен 40000/2Пи, или 6,37 км. Теперь вторая лента, которая проходит на расстоянии 2,54 см над поверхностью Земли: её радиус увеличится всего на 2,54 см по отношению к радиусу Земли. Получаем уравнение C = 2 Pi(r+1), которое равнозначно C = 2 Pi(r) + 2 Pi. Исходя из этого, мы можем сказать, что длина окружности второй ленты увеличится всего на 2 Пи. На самом деле не важно, какой исходный радиус брать в расчёт (Земли и кольца баскетбольной корзины), увеличив этот радиус на 2,54 см, длина окружности увеличится всего на 2Пи (примерно 16 см).
Навигация
Число Пи используют при расчётах в навигации
Число Пи играет очень важную роль в навигации, особенно, когда речь идёт об определении местоположения на большой территории. Размер человека очень мал относительно Земли, поэтому нам кажется, что мы всё время движемся по прямой, но это не так. К примеру, самолёты летают по окружности и их путь должен быть просчитан, чтобы рассчитать время полёта, количество топлива и учесть все нюансы.
К тому же, когда вы определяете своё местоположение на Земле с помощью GPS, число Пи играет важную роль в этих просчётах.
А как же навигация, которая требует ещё более точного определения местоположения, чем полёт из Нью-Йорка в Токио? Сьюзан Гомес, сотрудник NASA, говорит, что большинство расчётов NASA производит, используя числа 15 или 16, особенно, когда речь идёт об очень точных расчётах для программы, которая контролирует и стабилизирует космические корабли во время полёта.
Обработка сигналов и преобразование Фурье
Число Пи играет важную роль при передаче сигналов
Чаще всего число Пи используют в таких геометрических задачах, как измерение окружности, тем не менее, его роль важна и в обработке сигналов, в основном в процессе, известном как преобразование Фурье, которое трансформирует сигнал в спектр частот. Преобразование Фурье называют «отображением частотной области» изначального сигнала, где оно соотносится как с областью частоты, так и с математическими операциями, которые объединяют область частот и функцию времени.
Следовательно, вы можете благодарить число Пи каждый раз, когда вы делаете звонок по мобильному или слушаете транслируемый сигнал.
Нормальное распределение вероятностей
С помощью Пи можно произвести расчёт силы колебаний крупной конструкции
И если использование чила Пи ожидаемо в таких операциях как преобразование Фурье, которое имеет отношение непосредственно к сигналам (и, соответственно, волнам), то его появление в формуле нормального распределения вероятностей удивительно. Вы, несомненно, сталкиваетесь с этим пресловутым распределением ранее — оно участвует в широком спектре явлений, которые мы наблюдаем регулярно, начиная с бросков костей и заканчивая результатами тестов.
Каждый раз, когда вы обнаруживаете, что в уравнении скрывается число Пи, представьте, что где-то среди математических формул скрыта окружность. В случае с нормальным распределением вероятностей, Пи выражается через гауссов интеграл (также известный как интеграл Эйлера-Пуассона), который представляет собой квадратный корень из числа Пи. На самом деле всё, что требуется, это небольшие изменения в переменных в гауссовом интеграле для вычисления нормировочной постоянной нормального распределения.
Одно распространенное, но нелогичное применение гауссовского интеграла связано с «белым шумом» — нормально распределенной случайной величиной, используемой для прогнозирования всего, начиная с воздействия ветра на самолёт, и заканчивая силой колебания балки при крупномасштабной конструкции.
Интересный факт про меандрирующие реки
Реки прокладывают свой извилистый путь в соотвествии с числом Пи
Совершенно неожиданным фактом является то, что число Пи имеет отношение к меандрирующим рекам. Пойма реки чаще всего похожа на синусоиду, которая изгибается то в одном месте, то в другом, пересекая равнину. С математической точки зрения это может быть описано как длина извилистой тропинки, разделённой длиной реки от истока до устья. Оказывается, вне зависимости от длины реки и количества её изгибов, её извилистость примерно равна числу Пи.
Альберт Энштейн высказал несколько предположений, почему реки ведут себя именно таким образом. Он заметил, что вода течёт быстрее по внешней стороне изгиба, что приводит к более сильному разрушению береговой линии и усилению изгиба. Потом эти изгибы «встречаются» друг с другом и участки реки соединяются. Кажется, что это возвратно-поступательное движение постоянно поправляет само себя, в то время как река продолжает изгибаться в соответствии с числом Пи.
Пи и последовательность Фибоначчи
Число Пи можно вычислить через последовательность Фебоначчи
Обычно для вычисления Пи всегда использовали 2 способа: первый придумал Архимед, второй разработал шотландский математик Джеймс Грегори.
Каждое последующее число в последовательности Фибоначчи равно сумме предыдущих двух чисел. Последовательность выглядит так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Она бесконечна.
И так как арктангенс 1 равен Пи/4, это означает, что Пи может быть выражено через последовательность Фибоначчи через следующее уравнение: arctan(1)*4=pi.
Кроме того, что последовательность Фебоначчи просто красивая подборка цифр, она играет важную роль в некоторых природных явлениях. С её помощью можно смоделировать и описать большое количество феноменов в математике, науке, искусстве и природе. Математические идеи, к которым приводит последовательность Фебоначчи, такие как золотое сечение, спирали, кривые, очень ценятся за их эстетический внешний вид, но математики всё ещё пытаются объяснить глубину связи.
Число Пи и квантовая механика
Пи тесно связано и с теорией относительности Эйнштейна
Пи, вне всяких сомнений, неизбежная и комплексная основа нашего мира, но как же наша бескрайняя вселенная? Пи работает во всей вселенной и принимает непосредственное участие в объяснении природы космоса. Факт, что многие формулы используемые в области квантовой механики, которая управляет миром атомов и ядер, содержат Пи.
Одни из самых известных уравнений этой области — уравнения гравитационного поля Эйнштейна (также известные как просто уравнения Эйнштейна). Это 10 уравнений, составленных в рамках теории относительности, которые описывают фундаментальное взаимодействие гравитации в результате искривления пространства-времени массой и энергией. Величина силы тяжести, присутствующая в системе, пропорциональна количеству энергии и импульса, причем константа пропорциональности, связанная с G, является числовой постоянной.
Надеемся, что наша статься помогла вам лучше понять природу и назначение числа Пи. Кто бы мог подумать, что оно — неотъемлемая часть нашей повседневной жизни и даже природные процессы происходят в соответствии с его значением.
Уважаемые друзья! Обязательно ставьте лайки и подписывайтесь на сайт и делитесь своим мнением в комментариях!
Рекомендую также прочесть :