Докажите что фигура гомотетичная окружности является окружностью

Докажите что фигура гомотетичная окружности является окружностью

1. Гомотетия является взаимно однозначным преобразованием.

В самом деле, для каждой точки существует на прямой единственная точка такая, что т. е.

Иными словами, для каждой точки существует единственный прообраз.

2. Всякая прямая, проходящая через центр гомотетии, преобразуется в себя-, это вытекает из определения гомотетии и свойства 1.

3. Луч, исходящий из центра гомотетии, преобразуется.

а) в себя, если гомотетия прямая,

б) в луч, симметричный рассматриваемому относительно центра гомотетии, если гомотетия обратная.

4. Отрезок, соединяющий две произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой с центром гомотетии, и отрезок, соединяющий образы этих точек, параллельны (при сливаются), причём отношение длины, второго к длине первого равно абсолютной величине коэффициента гомотетии.

Доказательство. Пусть точкам (рис. 114 сопоставлены соответственно точки Тогда откуда следует, что так что прямые и отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Отсюда ясно, что, во-первых, во-вторых,

Замечание. Векторы и направлены одинаково, если гомотетия прямая, и противоположно направлены, если гомотетия обратная.

Действительно, прямая делит плоскость на две полуплоскости Луч принадлежит одной из этих полуплоскостей, скажем Если гомотетия прямая (рис. 114), то точка В принадлежит тому же лучу и, следовательно,

той же полуплоскости Это означает, что векторы и лежат по одну сторону от прямой соединяющей их начала, так что векторы и одинаково направлены.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что в случае обратной гомотетии векторы и имеют противоположные направления (рис. 115).

5. Всякая прямая, не проходящая через центр гомотетии, преобразуется в параллельную ей прямую (если

Доказательство. Пусть а (рис. 116) — какая-либо прямая, не проходящая через центр гомотетии А и В — какие-либо две точки на прямой гомотетичные им точки. Прямую обозначим через а.

Если любая точка прямой образ, то по свойству т. е. прямые и проходят через точку А параллельно одной и той же прямой. Значит, они сливаются, так что точка располагается на прямой а. Итак, всякая точка прямой а преобразуется в некоторую точку прямой а.

Обратно: пусть (тот же рисунок) — какая-либо точка прямой а Прямая пересекая прямую а, пересечёт и параллельную ей прямую а в некоторой точке Легко

усмотреть, что именно эта точка преобразуется в данную точку Из подобия треугольников и видно, что кроме Того, ясно, что точки располагаются по одну сторону от 5 в случае прямой гомотетии и по разные стороны от 5 в случае обратной гомотетии. Таким образом, каждая точка прямой а служит образом некоторой точки прямой а.

6. При гомотетии параллельные прямые преобразуются в параллельные же прямые.

Действительно, пусть прямая а параллельна прямой и некоторая гомотетия преобразует эти прямые соответственно в прямые Тогда прямые не могут иметь общих точек, так как прообраз общей точки лежал бы как на прямой а, так и на прямой а эти прямые, по условию, общих точек не имеют.

Это свойство может быть выведено также из свойства 5.

7. При гомотетии отрезок преобразуется в отрезок.

Пусть -либо отрезок, точки, соответственно гомотетичные точкам Пусть произвольная точка отрезка гомотетичная ей точка. По условию Следовательно, в силу свойства т. е. а это возможно лишь тогда, когда точка располагается на отрезке (в противном случае Таким образом, каждая точка отрезка преобразуется в точку отрезка Аналогично доказывается и обратное: каждая точка отрезка гомотетична некоторой точке отрезка

Следующие два свойства вытекают из определений и доказанных свойств.

8. При гомотетии луч переходит в луч, причём луч и его образ направлены одинаково в случае прямой гомотетии и противоположно в случае обратной гомотетии.

9. При гомотетии угол преобразуется в равный ему угол.

10. При гомотетии треугольник преобразуется в подобный ему треугольник.

Пусть вершины треугольника преобразуются соответственно в точки Тогда, в силу свойства 7, стороны треугольника преобразуются соответственно в стороны треугольника причём Следовательно,

11. При гомотетии многоугольник преобразуется в подобный ему многоугольник.

12. Если какая-либо точка делит некоторый отрезок в определённом отношении, то гомотетичная ей точка делит образ этого отрезка в том же отношении.

Пусть данный отрезок и -точка на прямой Обозначая через точки, соответственно гомотетичные точкам найдём по свойству 4: откуда следует что и требовалось доказать.

13. При гомотетии высота, медиана и биссектриса данного треугольника переходят соответственно в высоту, медиану и биссектрису гомотетичного треугольника (см. свойства 9 и 12).

Обобщением понятия гомотетии является понятие об общем преобразовании подобия. Преобразование плоскости называется преобразованием подобия с коэффициентом подобия если при любом выборе двух точек плоскости отношение расстояний между образами этих точек к расстоянию между самими точками равно Две фигуры называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее одну из этих фигур в другую. Ясно, что всякое движение или гомотетия представляют частные случаи преобразования подобия. Ясно также, что последовательное применение гомотетии и движения приводит к преобразованию подобия. С другой стороны, можно доказать, что этим понятие о подобии исчерпывается, а именно, всякое преобразование подобия можно рассматривать как результат последовательного применения некоторого движения и некоторой гомотетии, т. е. если имеются две подобные фигуры, то всегда можно переместить одну из них по плоскости так, чтобы эти фигуры стали перспективно-подобными (об этом см., например [9], п. 176 или [20], теоремы 146 и 147).

Источник

План урока по теме «Гомотетия»

Тема урока: Преобразование подобия. Гомотетия.

Цель урока: рассмотреть преобразование подобия – гомотетию.

Обучающая : обучение понятиям: гомотетия, преобразование подобия, коэффициент гомотетии, центр гомотетии

Развивающая: развитие навыков построения гомотетичных фигур, развитие вычислительных и чертежных навыков.

Оборудование и наглядность: мел, доска, учебник, интерактивная доска, диск с презентацией, линейка, готовые чертежи, раздаточный материал для практической работы.

Методы и приемы: фронтальная беседа, объяснение, работа в тетрадях, конспектирование, демонстрация презентации.

План урока:

Организационный момент

Актуализация опорных знаний

Изучение новой темы

Закрепление

Итоги урока. Домашнее задание.

Ход урока

Организационный момент

Приветствие, сообщение темы и целей урока. Организация класса на работу.

Актуализация опорных знаний

Определите вид преобразований:

Вопрос: Что общего между этими преобразованиями?

При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Сохраняются расстояния между точками.

Сохраняются углы между лучами.

При движении фигура переходит в равную ей фигуру.

Изучение новой темы

Сегодня мы с вами рассмотрим ещё одно преобразование, не сохраняющее расстояния.

Гомотетия – одно из важнейших преобразований подобия.

При гомотетии сохраняются только углы.

Учащиеся в тетрадях выполняют построения под руководством учителя, выполняя необходимые измерения

Закрепление

Практическая работа на карточках в 4 вариантах:

Дан квадрат и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному квадрату относительно центра О с коэффициентом k = ¾.

Дан параллелограмм и точка О. Построить параллелограм, гомотетичный данному с коэффициентом k = 2,5

Дан ромб и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному ромбу с коэффициентом k = ¼.

В зависимости от подготовленности класса, можно организовать обмен карточками между соседями.

Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Работа по учебнику: №

Итоги урока. Домашнее задание

Домашнее задание: №

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-934583

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения

Время чтения: 1 минута

Учителя Кубани смогут получить миллион рублей на взнос по ипотеке

Время чтения: 1 минута

Создана Ассоциация руководителей школ России и Беларуси

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В Москве новогодние утренники в школах и детсадах пройдут без родителей

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник