Докажите что прямая содержащая биссектрису равнобедренного треугольника проведенную к основанию

Докажите что прямая содержащая биссектрису равнобедренного треугольника проведенную к основанию

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.

а) Известно, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, является осью его симметрии.

Рассмотрим треугольники ABK и CBP: угол ABK — общий, стороны AB и CB равны, углы BAK и BCP равны как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, треугольники ABK и CBP равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда отрезки AK и CP равны.

При симметрии относительно прямой BM точки K и P переходят друг в друга, точка M — сама в себя. Следовательно, отрезки MP и MK перейдут друг на друга. Значит, отрезки MP и MK равны.

б) Из рассмотренной симметрии также следует: BH — ось симметрии треугольника PBK, MH — ось симметрии треугольника PHM. Точка H находится на пересечении прямых BM и PK.

Пусть AB = BC = a, угол BAC = α. В прямоугольном треугольнике ABM: AM = BM = AC = S_ABM = 32. Это с одной стороны. С другой стороны,

Следовательно, Тогда

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: Пусть BP = x, тогда откуда то есть а значит, Треугольники PBH и ABM подобны как два прямоугольных треугольника с общим острым углом. Коэффициент подобия:

Найдем площадь треугольника PBH :

Вычислим длину отрезка AP:

Площадь треугольника APM будет равна

Так как то:

Поскольку площадь треугольника KMP равна двум площадям PMH, найдем последнюю:

Таким образом, площадь треугольника KMP:

Источник

Докажите что прямая содержащая биссектрису равнобедренного треугольника проведенную к основанию

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.

а) Известно, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, является осью его симметрии.

Рассмотрим треугольники ABK и CBP: угол ABK — общий, стороны AB и CB равны, углы BAK и BCP равны как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, треугольники ABK и CBP равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда отрезки AK и CP равны.

При симметрии относительно прямой BM точки K и P переходят друг в друга, точка M — сама в себя. Следовательно, отрезки MP и MK перейдут друг на друга. Значит, отрезки MP и MK равны.

б) Из рассмотренной симметрии также следует: BH — ось симметрии треугольника PBK, MH — ось симметрии треугольника PHM. Точка H находится на пересечении прямых BM и PK.

Пусть AB = BC = a, угол BAC = α. В прямоугольном треугольнике ABM: AM = BM = AC = S_ABM = 32. Это с одной стороны. С другой стороны,

Следовательно, Тогда

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника: Пусть BP = x, тогда откуда то есть а значит, Треугольники PBH и ABM подобны как два прямоугольных треугольника с общим острым углом. Коэффициент подобия:

Найдем площадь треугольника PBH :

Вычислим длину отрезка AP:

Площадь треугольника APM будет равна

Так как то:

Поскольку площадь треугольника KMP равна двум площадям PMH, найдем последнюю:

Таким образом, площадь треугольника KMP:

Источник

Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 399-423

Упражнения 399 — 423 из учебника «Геометрия 8 класс. УМК Атанасян» с ответами и решениями. Глава 5. Четырёхугольники. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат (46. Прямоугольник. 47. Ромб и квадрат. 48. Осевая и центральная симметрии). Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 399-423 + ОТВЕТЫ.

Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.

Геометрия 8 класс Атанасян
Глава 5. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат
Задачи №№ 399 — 423:

Задача № 399. □ Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Задача № 400. □ Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Задача № 401. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Задача № 402. □ Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.

Задача № 403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если ∠CAD = 30°, АС = 12 см.

Задача № 404. □ Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Задача № 405. □ В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Задача № 406. Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, АС= 10,5 см.

Задача № 407. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.

Задача № 408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Задача № 409. □ Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

Задача № 410. □ Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Задача № 411. □ В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

Задача № 412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС = 12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

Задача № 413. □ Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

Задача № 414. □ Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.

Задача № 415. □ Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

Задача № 416. □ Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

Задача № 417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?

Задача № 419. □ Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Задача № 420. □ Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

Задача № 421. □ Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

Задача № 422. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

Задача № 423. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М, X, К?

Вы смотрели: Упражнения из учебника «Геометрия 8 класс. УМК Атанасян» с ответами и решениями. Глава 5. Четырёхугольники. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 399-423 + ОТВЕТЫ.

Источник

Свойства равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а).

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (рис. 63, б).

Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что ∠B = ∠C. Пусть AD — биссектриса треугольника АВС (рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠1 = ∠2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B = ∠C. Теорема доказана.

Обратимся снова к рисунку 64, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, AD — его биссектриса.

Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и ∠3 = ∠4. Равенство BD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:

Источник