Докажите что сечение призмы параллельное основаниям равно основаниям
Стереометрия. Страница 5
| Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 5 | ||
 | ||
 | ||
| 1.Двугранный, трехгранный углы. 2.Призма и построение ее сечений. 3.Параллелепипед. 4.Прямоугольный параллелепипед. 5.Пирамида. 6.Усеченная пирамида. 7.Правильные многогранники. 8.Примеры. | ||
1. Двугранный, трехгранный углы
Если провести плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла, то она пересечет его грани по двум полупрямым. Угол, образованный между двумя этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.
Градусная мера двугранного угла равна градусной мере линейного угла. Величина двугранного угла не зависит от выбора линейного угла, т.е. плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла.
Рис. 1 Двугранный угол.
Трехгранный углы
Понятие многогранного угла можно определить аналогичным образом.
Рис. 1.1 Трехгранный угол.
2.Призма и построение ее сечений
Прямая призма
Призмой называется многогранник, у которого две стороны являются плоскими многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, а боковые грани состоят из всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (Рис.2). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, ее ребрами.
Высотой призмы называется расстояние между ее основаниями.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то такая призма называется прямой. В противном случае призма называется наклонной. Боковые ребра у призмы параллельны и равны.
Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма называется правильной.
Теорема: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на ее высоту.
В основании призмы лежит правильный многоугольник. Боковые ребра призмы находятся под прямым углом к основанию и являются высотами. Боковые грани представляют собой прямоугольники. Отсюда следует, что площадь боковой поверхности призмы равна:
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности.
Рис.2 Прямая призма
Наклонная призма
Если боковые ребра призмы находятся под некоторым углом к основанию, то призма является наклонной (Рис.2.1).
Используя правила параллельного проектирования, изображение призмы можно построить следующим образом. Сначала строится одно из оснований, т.е. многоугольник, а затем проводят боковые ребра из каждой вершины основания, которые параллельны и равны между собой. Затем концы этих отрезков соединяются и строится другое основание призмы.
Для того, чтобы построить сечение призмы плоскостью, сначала задают прямую g в плоскости одного из оснований, которая называется следом. Затем проводят через заданную точку В прямую, которая находится в плоскости грани, и соединяют ее с заданным следом в точке Е. Отрезок АС на рассматриваемой грани есть пересечение этой грани с секущей плоскостью.
Если грань, которая содержит точку В, параллельна следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному заданному следу и проходящему через точку В.
Таким образом, можно провести отрезки на всех гранях призмы и получить сечение плоскостью с заданным следом.
Рис.2.1 Наклонная призма
3. Параллелепипед
Призма, у которой основание есть параллелограмм, называется параллелепипедом.
Теорема. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.3). Рассмотрим грани параллелепипеда AA’D’D и BB’C’C. Так как основания параллелепипеда параллелограммы, то сторона AD параллельна и равна стороне ВС, а сторона A’D’ параллельна и равна стороне B’C’. Сторона AB параллельна и равна стороне DС, а сторона A’B’ параллельна и равна стороне D’C’. Отсюда можно сделать вывод, что грани AA’D’D и BB’C’C лежат в параллельных плоскостях. Таким образом, грань AA’D’D совмещается параллельным переносом с гранью BB’C’C. Следовательно эти грани равны.
Аналогично можно доказать параллельность и равенство граней DD’C’C и AA’B’B.
Центральная симметрия параллелепипеда
Теорема. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.
Отсюда следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Рис. 3 Наклонный параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед
Прямой параллелепипед, у которого основание является прямоугольником, называется прямоугольным.
Длины не параллельных ребер параллелепипеда называются его линейными размерами.
Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.4). Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC’. Cторонами данного треугольника являются диагональ параллелепипеда AC’, диагональ основания AC и ребро боковой грани CC’. Тогда по теореме Пифагора находим:
Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед.
AC 2 = AD 2 + DC 2 Следовательно:
AC’ 2 = AD 2 + DC 2 + CC’ 2
Стороны AD, DC, CC’ являются линейными размерами параллелепипеда.
Симметрия прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед имеет центр симметрии. Если все три измерения параллелепипеда разные, то он имеет три плоскости симметрии, которые проходят через центры граний (Рис.4.1)
Если параллелепипед имеет два равных измерения, то у него есть еще две плоскости симметрии, которые проходят через диагональные сечения.
Если у параллелепипеда все три линейные размера равны, то он является кубом. И у него девять плоскостей симметрии.
Рис. 4.1 Симметрия прямоугольного параллелепипеда.
5. Пирамида
Пирамидой называется многогранник, который состоит из многоугольника в основании, точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершины многоугольника и данную точку (Рис.5).
Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды.
Отрезки, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды, называются боковыми ребрами.
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется высотой пирамиды.
На рисунке 5 изображена пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник. A1A2A3A4A5A6
Построение пирамиды и ее плоских сечений
Если точка В лежит на грани, параллельной следу g (Рис.5.1), то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку BC, параллельному следу g. Концы отрезка также соединяют со следом по прямой ED в плоскости α другой грани и получают прямую пересечения этой грани с плоскостью сечения и т.д. Таким образом можно построить линии пересечения плоскости сечения со всеми гранями пирамиды.
Рис. 5.1 Построение пирамиды и ее плоских сечений.
6. Усеченная пирамида
Теорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.
Правильная пирамида
Если основание пирамиды есть правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника, то такая пирамида называется правильной.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.
Рис. 6 Усеченная пирамида.
7. Правильные многогранники
Если выпуклый многогранник имеет все грани правильные многоугольники с равным числом сторон и в каждой вершине многоугольника сходится одно и то же число ребер, то такой многогранник называется правильным.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
Тетраэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники.
Додекаэдр это многогранник, у которого грани правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.
Икосаэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники. В каждой вершине сходится по пять ребер.
Рис. 6 Правильные многогранники.
8. Пример 1
Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям.
Доказательство:
Пусть дана призма АВСA’B’C’ (Рис.7). Основания призмы равны и являются треугольниками. Они лежат в параллельных плоскостях и совмещаются параллельным переносом. Отсюда следует, что боковые ребра параллельны и равны.
Отсюда следует, что A»C» = AC, A»B» = AB, B»C» = BC. Таким образом, треугольник A»B»C» равен треугольнику АВС и A’B’C’ соответственно. Отсюда можно сделать и общий вывод: если в основании призмы будет лежать како-либо многоугольник, то в сечении, параллельном основаниям, получится такой же многоугольник.
Рис.7 Задача. Докажите, что сечение призмы.
Пример 2
Боковое ребро наклонной призмы равно 16 м. Оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.
Решение:
Рассмотрим треугольник AA’P. Угол A’AP равен 30° по условию задачи. Опустим высоту A’O. В прямоугольном треугольнике AA’O найдем A’O.
A’O = AA’ sin 30° = 16 / 2 = 8 м.
Рис.8 Задача. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 м.
Пример 3
В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковые ребра и наклоненная к плоскости основания под углом 60°. Сторона основания равна 8 м. Найдите площадь полученного сечения.
Решение:
Пусть дана правильна четырехугольная призма АВСDA’B’C’D’ (Рис. 9). Заметим, что многоугольник PBCDF является проекцией многоугольника PKHSF на плоскость основания, площадь которого необходимо найти. Следовательно, найдем площадь многоугольника PBCDF.
Теперь найдем площадь многоугольника PKHSF из формулы:
SPKHSF = SPBCDF / cos 60° = 56 / 1 / 2 = 112 м 2
Рис.9 Задача. В правильной четырехугольной призме.
Пример 4
Решение:
Пусть дана правильная четырехугольная призма АВСDA’B’C’D’ (Рис. 10). Так как призма имеет четыре боковые грани, то площадь одной боковой грани составляет 1/4 часть боковой поверхности.
SAA’D’D = Sбок / 4 = 12 / 4 = 3 м 2
Площадь основания призмы равна половине разности площадей между полной поверхностью призмы и ее боковой поверхностью.
Следовательно, высота призмы составляет 3 / 2 м.
Рис.10 Задача. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы.
Пример 5
Решение:
По теореме Пифагора найдем боковые ребра SA и SD:
SA 2 = AO 2 + SO 2 = 4 2 + 7 2 = 65
SD 2 = OD 2 + SO 2 = 3 2 + 7 2 = 58
SA = 
, SD = 
Теперь найдем сторону ромба AD:
Теперь по теореме косинусов найдем косинус угла α между боковыми ребрами:
Отсюда, cos α = 49 / 
, sin α = 1369 /
Теперь найдем площадь боковой грани SASD:
SASD = SA SD sin α / 2 = 1369 / / 2 = 18.5 м 2
Отсюда, Sбок = 4 SASD = 4 * 18.5 = 74 м 2
Докажите что сечение призмы параллельное основаниям равно основаниям
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, в которой сторона основания AB = 8, боковое ребро 
Точка Q — точка пересечения диагоналей грани ABB1А1, точки M, N и K — середины ВС, СC1 и А1C1 cответственно.
а) Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.
б) Найдите площадь сечения QMN.
а) Пусть точка T — середина ребра AB. Отметим сразу, что прямые QT и AB перпендикулярны, причем 
Заметим, что
Таким образом, прямые KN и QM параллельны, а значит, они лежат в одной плоскости.
б) Построим сечение QMN. Продлим KN до пересечения с продолжением AC в точке P, тогда треугольники KC1N и PCN равны по катету и острому углу, откуда
Теперь продлим отрезок PM до пересечения с AB в точке S. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой SMP получим:
откуда AS : SB = 3. Далее, продлим SQ до пересечения с A1B1 в точке L. Эта точка симметрична S относительно Q, поэтому A1L : LB1 = 1 : 3. Пятиугольник LKNMS — искомое сечение. Найдем его площадь.
Продлим SL и PK до пересечения в точке Z, лежащей на AA1. Тогда SLKNMS = SSZP − SMNP − SLZK. Заметим, что 
откуда следует, что SP : MP = 3 : 2, то есть 
Рассмотрим треугольники LA1K и SBM — они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому 
Кроме того LK параллельно SP как прямые, по которым плоскость пересекает параллельные основания призмы. Тогда треугольники ZKL и ZPS подобны с коэффициентом 3. Таким образом, 
потому ZK = KN. Аналогично ZL = LQ = QS и треугольники ZPS и QMS подобны по трем сторонам с коэффициентом 3 — в пункте a) уже было доказано, что QM = KN.
Найдем площадь треугольника QMS. Вычислим для этого треугольника стороны:
Отсюда видно, что 
таким образом, треугольник MSQ прямоугольный. Найдем его площадь:
Ответ: б) 
Треугольник MSQ всегда прямоугольный, поскольку прямые SM и TC параллельны, а прямая TC и плоскость A1B1BA перпендикулярны. Поэтому прямые TC и QS перпендикулярны, и прямые SM и QS тоже перпендикулярны.
Приведем решение Анны Букиной.
Тогда KN || QM, следовательно, они лежат в одной плоскости.
Пусть плоскость сечения α пересекает плоскость AA1B1 по прямой LS, где L — точка пересечения плоскости α и ребра A1B1, S — точка пересечения плоскости α и ребра AB.
Аналогично MS || QN || TC, 
MS перпендикулярна прямой LS.
Таким образом, QLKN и QNMS — прямоугольные трапеции.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Докажите что сечение призмы параллельное основаниям равно основаниямОснование прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, а) Докажите, что расстояние между прямыми AC и B1D1 равно расстоянию между прямыми б) Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно а) Основания любой призмы лежат в параллельных плоскостях. Поэтому расстояние между прямыми, одна из которых лежит на плоскости одного основания, а другая на плоскости другого основания, равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Поэтому требуемые расстояния равны. б) Из пункта а) следует, что высота призмы равна Рассмотрим треугольник
Ответ: 60 Аналоги к заданию № 485981: 485997 511327 Все В чертеже никак не фигурирует середина ребра AD, в решении она так же не участвует. тогда в чем фишка условия середина ребра AD 1. Фишка в том, чтобы из всех плоскостей перпендикулярных 2. Фишка в том, чтобы решающий задумался над вопросом «В чём фишка?» В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA1B1C1D1E1F1G1H1 сторона основания AB равна а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью α — равнобедренная трапеция. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F1, а основанием — сечение данной призмы плоскостью α. а) Рассмотрим ребра фигуры: E1H1, F1G1, FG и AD1 параллельны, значит, AD принадлежит плоскости значит стороны MN, CB, FG и EH1 параллельны. Таким образом, MN принадлежит плоскости Соединим точки AMND — точки сечения призмы — плоскостью Плоскость ADMN параллельна E1H1, следовательно, стороны плоскости AD и MN также параллельны. Треугольники MCD и NBA равны, так как стороны CD и AB, MC и NB одинаковы, как и углы MCD и NBA. Тогда стороны плоскости MD и AN равны, а значит сама плоскость ANMD является равнобедренной трапецией. б) Найдем объем пирамиды:
Точка P лежит на пересечении прямых AD и CF, отсюда следует, что CFF1 пересекает плоскость причем MP — место пересечения данных плоскостей. Плоскости CFF1 и ABC перпендикулярны, так как по условию ребро FF1 перпендикулярно к основанию правильной призмы. Отрезки FC и AD, AD и FF1 перпендикулярны, следовательно, AD перпендикулярен к плоскости CFF1, таким образом, Отрезок AD лежит в плоскости основания, все боковые ребра перпендикулярны к основанию. Высота из точки F1 на Рассмотрим сечение призмы плоскостью CC1F1F: Сторона
Выразим площадь MF1P через другие площади и найдем её значение:
Посчитаем значение площади трапеции AMND:
Вычислим объем пирамиды F1AMND:
Ответ: В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK. а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1 по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны. Отрезки NK и ML не только параллельны, но и равны, поскольку равны треугольники ND1K и MBL. Поэтому четырёхугольник NKLM — параллелограмм. Покажем, что его стороны перпендикулярны. Пусть P — проекция точки N на плоскость нижнего основания, тогда Тем самым, MNKL — квадрат. б) Заметим, что косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен Ответ: а) доказано; б) 10. Приведём другое решение. а) Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:
Поэтому MNKL — квадрат. б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда WA1 = NA1 как катеты равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть E — точка пересечения прямой WM с ребром AA1. Прямоугольные треугольники WA1Е и EAM подобны, а их катеты MA и WA1равны. Поэтому равны и другие катеты, а значит, Е — середина AA1. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F. В прямоугольнике AEFC противоположные стороны равны, поэтому Сечение — шестиугольник MENKFL — состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна
Приведём другое вычисление. Площадь сечения состоит является суммой площади квадрата со стороной Приведём другое решение. а) Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:
Поэтому MNKL — квадрат. б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда WA1 = NA1 как катеты равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть E — точка пересечения прямой WM с ребром AA1. Прямоугольные треугольники WA1Е и EAM подобны, а их катеты MA и WA1равны. Поэтому равны и другие катеты, а значит, Е — середина AA1. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F. В прямоугольнике AEFC противоположные стороны равны, поэтому Сечение — шестиугольник MENKFL — состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна
Приведём другое вычисление. Площадь сечения состоит является суммой площади квадрата со стороной а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны. б) Найдите объем призмы, если A1C = BD = 2. а) Поскольку ABCDA1B1C1D1 — прямая призма, прямая AA1 перпендикулярна плоскости ABC, то есть AC — проекция A1C на плоскость ABC. Так как ABCD — ромб, прямые AC и BD перпендикулярны. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая A1C перпендикулярна прямой BD.
По теореме Пифагора в треугольнике DOC имеем:
Тогда AC равно:
Ответ: б) Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности. Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь
Полная площадь поверхности:
по вопросу надо найти площадь ее поверхности. Площадь поверхности призмы и площадь полной поверхности призмы — это одно и то же. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности. Третья сторона треугольника в основании равна 13 и его площадь
Полная площадь поверхности:
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 9 и 12, и боковым ребром, равным 5. Из диагоналей ромба по теореме Пифагора находим сторону ромба: а) Докажите, что прямые AC1 и BE перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми AC1 и BE. Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Будем иметь в виду, что правильный шестиугольник, что лежит в основании призмы, отрезками AD,BE, FC, которые пересекаются в точке О, разбивается на 6 правильных треугольников, высоты которых равны В соответствии со сказанным укажем координаты нужных точек:
Итак, б) Найдем координаты вектора
Итак, Составим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
Расстояние ρ между скрещивающимися прямыми AC1 и BE найдем как расстояние между любой точкой прямой BE до найденной плоскости. В качестве такой точки выберем B.
Ответ: б) В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА1 равно 7. На ребре СС1 отмечена точка М, причем СМ = 1. а) Точки О и О1 — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно. Докажите, что прямая ОО1 содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ. б) Найдите расстояние от точки А1 до плоскости АВМ. а) Пусть точка K — середина ребра AB, а Q — такая точка на MK, что MQ : QK = 2 : 1. Тогда Q — точка пересечения медиан треугольника ABM, так как делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Очевидно, что проекцией отрезка MK на плоскость ABC будет отрезок CK, поэтому, так как О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит CK в отношении 2 : 1, точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO1 и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно, б) Пусть точка T — середина A1B1. Поскольку прямые A1B1 и AB параллельны, то прямая A1B1 и плоскость ABM также параллельны. Заметим, что расстояние от точки A1 до плоскости ABM равно расстоянию от точки T до плоскости ABM. Опустим из точки T перпендикуляр TS на прямую KM. Докажем, что TS — искомое расстояние. Прямые TS и KM перпендикулярны по построению. Кроме того, прямая TS лежит в плоскости KTC1C, а поскольку прямые AB и KC перпендикулярны и прямые AB и CC1 перпендикулярны, прямая AB и плоскость KTC1C также перпендикулярны. Следовательно, прямая AB перпендикулярна любой прямой в плоскости KTC1C, в частности, прямые TS и AB перпендикулярны. Таким образом, прямая TS перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости ABM и потому является перпендикуляром к плоскости. Рассмотрим треугольник TKM, в котором TK = AA1 = 7. Вычислим:
Таким образом, треугольник TKM — равнобедренный. Следовательно,
Ответ: б) Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = 5. а) Докажите, что расстояние между прямыми AC и B1D1 равно расстоянию между прямыми б) Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 13. а) Основания призмы параллельны, поэтому расстояние между прямыми б) Из пункта а) высота призмы равна 13. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром Ответ: Нужно найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно прямой BD1. ( Условие не соответствует решению) Вчитайтесь в решение, и увидите, что всё соответствует Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными линии пересечения плоскостей (а не прямыми, перпендикулярными плоскостям). Вы, действительно, так искренне думаете? Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1. На картинке даже не обозначена середина ребра, нет плоскости перпендикулярной другому ребру. В пояснениях совершенно ничего не говорится о том, как именно появилась плоскость, изображенная на картинке, хотя она совершенно не соответствует условию. В пояснении, действительно, нет указанной плоскости. Это не требуется, построить ее гораздо сложнее, чем ответить на вопрос задачи. На картинке нет вообще никаких плоскостей, кроме граней призмы. Браво! Целый час пытался высчитать, как пройдет искомая плоскость, пока не запутался в корнях из шестизначных чисел. Потом открыл решение и ещё четверть часа вникал. И тупил: а где же искомая плоскость…? Но право же: не имеет значения, через какую точку пройдет плоскость, перпендикулярная прямой BD1: таких плоскостей бесконечно много, а угол с основанием параллелограмма у всех таких плоскостей будет один и тот же! И действительно, прямая DD1 перпендикулярна плоскости основания, а прямая BD1 перпендикулярна той самой искомой плоскости! И как справедливо указано выше, угол между плоскостями будет равен углу между прямыми, перпендикулярными данным плоскостям – по аналогии с углами в планиметрии, лучи которых взаимно перпендикулярны. Правда, в планиметрии такие углы могут составлять в сумме 180 градусов, но углом между плоскостями по определению является наименьший из двух углов, то есть всегда не более 90 градусов. Пример задачи, которая решается не «техникой», а внимательностью и остроумием. Нам всем не следует забывать об этом! И учить этому своих юных математиков))) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно 3. На ребрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B1L = 2. Точка M — середина ребра A1C1. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L. а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ. а) Так как плоскость γ параллельна прямой AC, она пересекает основание трапеции по прямым, параллельным AC. Пусть Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через медиану
То есть для треугольника BOT выполнена теорема, обратная теореме Пифагора. Следовательно, прямая BM перпендикулярна прямой ST. Кроме этого, BM перпендикулярна прямой б) Поскольку, из пункта а, прямая BM перпендикулярна плоскости γ, прямая
Ответ: Основанием прямой треугольной призмы а) Докажите, что треугольник б) Найдите объём пирамиды а) Прямая б) Пусть V — объём призмы В призме Таким образом, объём пирамиды Ответ: б) Основание прямой четырехугольной призмы Расстояние между прямыми Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром Ответ: Аналоги к заданию № 485981: 485997 511327 Все В правильной треугольной призме а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ. а) Пусть T — точка на Рассмотрим теперь сечение призмы плоскостью откуда поэтому что и требовалось доказать. Итак, BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости KNLT, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости KNLT. Это по пункту а) высота пирамиды. Ее основание — трапеция, высота которой —
Ответ: В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость β. а) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью ABC. б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью β, если известно, что ребро призмы равно 6. а) Пусть M — середина AB, N — середина BC, O — центр нижнего основания призмы, O1 — центр верхнего основания, D — середина АС, D1 — середина A1C1. Соединим отрезком точки: M и N. И пусть K — точка пересечения MN и BD. Соединим K и O1, и O1 отрезками. Проведем через O1 прямую, параллельную AC1, точки пересечения этой прямой с A1B1 и B1C1 обозначим P и Q соответственно. Соединим отрезками точки: P и Q, P и M, N и Q. Докажем, что точки P, Q, M, N лежат в одной плоскости. PQ || A1C1 по построению, A1C1 || AC по условию, AC || MN, поскольку MN — средняя линия ΔABC по условию. Следовательно, PQ || MN. А через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Значит, эта плоскость и есть плоскость β, о которой говорится в условии задачи.
Заметим, что ∠OKO1 — угол между плоскостью нижнего основания призмы и секущей плоскостью β.
Пусть ребра заданной призмы равны а. Тогда:
б) Пусть точки P1, Q1 — проекции точек P и Q на AB и BC соответственно. Тогда P1MNQ1 — проекция четырехугольника (фактически трапеции) PMNQ. Следовательно, P1MNQ1 — также трапеция с основаниями P1Q1, MN и высотой OK. Значит:
Ответ: а) б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A1 и F1. а) Поскольку ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильная шестиугольная призма, то ABCDEF — правильный шестиугольник. Тогда ∠CBA = 120°. По теореме косинусов имеем Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, DA = 2AB = 10. Тогда б) Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, AC ⊥ CD, поэтому угол A1CA равен углу между искомым сечением и плоскостью ABCDEF. Так как A1A ⊥ CA, Площадь шестиугольника равна Примечание. Пункт а), конечно, можно доказать и проще, сославшись на теорему о трех перпендикулярах. Проекцией прямой CA1 на плоскость верхнего основания является прямая C1A1, перпендикулярная прямой C1D1. Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит отрезок BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1. б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы. Сразу отметим, что данное в условии расстояние — высота призмы. а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам Точка, делящая б) Уравнение плоскости основания призмы Ответ: а) Докажите, что сечение проходит через середину ребра D1E1. б) Найдите площадь этого сечения. а) Пусть сечение пересекает плоскость верхнего основания по отрезку MN Так как основания параллельны, то прямая б) Построим сечение. Пусть Q и R — точки пересечения сечения с прямыми Так как основания призмы правильные шестиугольники со стороной Ответ: Основание ABCD призмы а) Докажите б) Найдите угол между боковым ребром а) Пусть плоскость Следовательно, углы б) Пусть L — точка пересечения Тогда
|
и 
.
и прямой 
Его катеты равны 
Поэтому
, выбрать одну конкретную, хотя угол с основанием у всех этих плоскостей одинаков.
а боковое ребро AA1 равно 6. Ha pe6pe CC1 отмечена точка M так, что 
Плоскость 
параллельна прямой H1E1 и проходит через точки M и A.
Точка N принадлежит ребру BB1, поэтому
Площадь треугольника MF1P будет равна:
На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.
прямоугольные треугольники PAM и MBL равнобедренные, углы PMA и BML равны по 45°, а значит, 
то есть прямые PM и ML перпендикулярны. Но PM является проекцией наклонной NM, поэтому стороны параллелограмма NM и ML перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Вычисления показывают, что 
Площадь сечения связана с площадью проекции сечения на плоскость основания формулой 
Площадь проекции равна разности площади лежащего в основании квадрата и двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами 2. Тем самым, площадь проекции равна 9 − 4 = 5, а площадь сечения равна 10.
и двух площадей равных равнобедренных треугольников с основанием 
Площадь квадрата равна 8, площади треугольников находим как половину произведения высоты на основание 
Поэтому искомая площадь сечения равна 10.
Отсюда объём призмы равен:
Площадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна
Площадь боковой поверхности призмы с периметром основания 
равна
Площадь ромба: 
Площадь боковых граней: 
Площадь поверхности прямой призмы состоит из двух площадей оснований и 4 площадей боковых граней: 
(использована известная формула 
; в нашем случае a = 2).
А это значит, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.
перпендикулярного как к вектору 
так и к вектору 
Пусть его координаты будут равны 
Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю,
Заменим этот вектор ему коллинеарным, поделив полученные координаты на 
и проходящей через точку любую точку прямой AC1. Искомое уравнение будет иметь вид: 
где a, b, c — соответствующие координаты вектора 
— координаты любой точки прямой AC1. Пусть такой точкой будет А. Тогда:
Что и требовалось доказать.
и 
равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Этой же высоте равно расстояние между прямыми 
и прямой 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Его катеты равны 
Значит, 
Прямые 
и AC параллельны. Сечением будет являться равнобедренная трапеция 
перпендикулярно основаниям трапеции. Оно будет являться прямоугольником 
где 
— середина AC. Пусть это сечение пересекает плоскость γ по прямой ST, где S — середина 
а T — середина 
Точка O — точка пересечения прямых BM и ST. Заметим, что 
как медианы равностороннего треугольника. Так как треугольники 
и ABC подобны, 
Пусть 
— проекция T на 
а 
— проекция S на 
отсюда очевидно, что O — середина BM и середина ST. Далее:
следовательно, BM перпендикулярна плоскости γ, что и требовалось доказать.
— высота пирамиды. Основанием является равнобедренная трапеция 
с высотой 
и основанием 
и 
отсюда:
является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней 
и 
равны 15 и 9 соответственно, 
прямоугольный.
перпендикулярна плоскости 
поскольку она перпендикулярна прямым 
и 
Значит, прямые 
перпендикулярны.
Тогда объём треугольной пирамиды 
равен 
поскольку её высота 
и основание ABC совпадают с высотой и основанием призмы соответственно. Аналогично объём треугольной пирамиды 
равен 
Призма 
равен 
— прямоугольник 
в котором 
Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра 
перпендикулярно прямой 
если расстояние между прямыми 
Значит, 
равно 3. На ребре 
отмечена точка L так, что 
Точки K и M — середины ребер AB и 
такая, что 
N — середина отрезка BC. Тогда KNLT — сечение. Сразу отметим, что прямая BM перпендикулярна прямой KN по теореме о трех перпеникулярах, поскольку проекция BM на плоскость нижнего основания — высота треугольника BAC, а прямая KN параллельна прямой AC.
Это прямоугольник со сторонами 3 и 
Отметим на его сторонах точки 
пересечения с LT и KN соответственно (они делят его стороны в отношениях 
и 
соответственно). Докажем, что прямая BM перпендикулярна прямой 
Обозначим за O их точку пересечения и за 
проекцию 
Далее:
Значит,
(поскольку проекция этого отрезка на плоскость верхнего основания — высота треугольника и перпендикулярна прямой LT, которая параллельна прямой 
б) 
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник CA1D — прямоугольный. Тогда CD ⊥ CA1. Поскольку С1D1 || CD, имеем C1D1 ⊥ CA1.
Тогда, по теореме о площади проекции, площадь искомого сечения 
Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.
Тогда координаты вершин будут 
Значит, прямая 
а перпендикулярная ей плоскость — уравнение 
Для того, чтобы плоскость проходила через точку 
нужно взять 
имеет координаты 
Подставляя ее в уравнение плоскости, получаем 
то есть эта точка лежит и в плоскости, что и требовалось.
По формуле найдем косинус угла
при этом М — середина 
значит, MN — средняя линия треугольника 
следовательно, N — середина 
и 
соответственно. Тогда они лежат на прямой MN. Пусть теперь L и P — точки пересечения прямых AQ и CR (то есть сечения) с ребрами 
и 
соответственно. Таким образом, сечение — шестиугольник ALMNPC получаемый из прямоугольника AQRC отрезанием от него двух равных прямоугольных треугольников LMQ и NPR.
то 
а 
Таким образом, 
Кроме того, 
Тогда, 
проходит через середину бокового ребра 
сечение пересекает по параллельным прямы 
и 
и 
равны и треугольники 
и 
подобны и коэффициент подобия 
то есть 
и K — середина 
и СD, тогда BL — прямая пересечения плоскостей 
и 
Следовательно, ABLD — параллелограмм. Тогда CL = CD = BC и треугольник BCL — прямоугольный и равнобедренный и его высота равна 
при этом 
Следовательно, 
и равен углу между плоскостью 