Докажите что сумма квадратов диагоналей четырехугольника в два раза больше

Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

1) KLMN – параллелограмм;

Т.е., SKLMN = S_ABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Следствия из теоремы Вариньона

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Доказать: KLMN – ромб

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

Доказать: KLMN – квадрат

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

См. теорему Вариньона.

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].

Доказать: S_ABCD= KM*LN

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Источник

«Исследование применения параллелограмма Вариньона при решении сложных задач»

Моё стремление углублять математические знания по математике является главной причиной работы над проектом и выбором темы «Исследование значимости параллелограмма Вариньона при решении сложных задач».

Данные проводимого мною исследования являются дополнением и углублением изученного материала в курсе геометрии, а применение опыта полученного при решении планиметрических задач с использованием параллелограмма Вариньона и следствий из нее помогают решать сложные задачи.

Цель работы: исследовать доказательство теоремы Вариньона и показать, что теорема надежный помощник в решении геометрических задач.

Просмотр содержимого документа
«»Исследование применения параллелограмма Вариньона при решении сложных задач» »

Моё стремление углублять математические знания по математике является главной причиной работы над проектом и выбором темы «Исследование значимости параллелограмма Вариньона при решении сложных задач».

Данные проводимого мною исследования являются дополнением и углублением изученного материала в курсе геометрии, а применение опыта полученного при решении планиметрических задач с использованием параллелограмма Вариньона и следствий из нее помогают решать сложные задачи.

Цель работы: исследовать доказательство теоремы Вариньона и показать, что теорема надежный помощник в решении геометрических задач.

1.Провести теоретико – методический анализ научной литературы по проблематике исследования.

3. Исследовать применение теории при решении не стандартных задач.

Гипотеза: параллелограмм Вариньона – надежный помощник в решении задач.

Предметом исследования являлись энциклопедии, словари, научная литература, Интернет.

Основными методами исследования были поиск, наблюдение, описание.

1.1Исследование исторических событий создания параллелограмма Вариньона.

Труды профессора коллежа Мазарии ( с 1688г), профессора коллеж де Франс ( с 1704г), посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых и геометрии.

Он был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. Вариньон руководил « Журналом ученых».

В геометрии Пьер Вариньон изучал различные специальные линии, написал учебник по элементарной геометрии ( издан в 1731).

Главные заслуги его были представлены в Парижскую Академию наук в работе « Проект новой механики…», Вариньон дал точную формулировку закона параллелограмма сил. Развил понятие момента сил и вывел очень важную теорему, позволяющую решать сложные геометрические задачи более простыми методами, так называемая теорема Вариньона. Он первым обратил внимание на, казалось бы, довольно очевидный факт: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. В дальнейшем полученный параллелограмм назвали параллелограммом Вариньона.

И я постараюсь всех убедить, что параллелограмм Вариньона – надежный помощник при решении трудных, в том числе и олимпиадных задач.

Глава 2.Основные теоретические сведения.

2.1 Исследование теоремы и следствия из теоремы Пьера Вариньона.

2.2 Исследование применения теоремы для выпуклых и невыпуклых четырехугольников.

2.3 Исследование применения параллелограмма Вариньона для самопересекающейся замкнутой ломаной

Для аналитических рассуждений и решений сложных задач, с использование разных видов четырехугольников мною были изучены следующие теоретические сведения открытые Пьером Вариньоном.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Рис.1 (см. в приложении )

В целях совершенствования доступности рассуждений при решении олимпиадных задач я предлагаю использовать следующее:

3. Следствия из теоремы Вариньона.

Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике диагонали равны и бимедианы перпендикулярны.

Следствие 2.Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Следствие 3. ( теорема Эйлера) Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Следствие 4 ( теорема о бабочках). Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан выпуклого четурехугольника равны.

2.4.Применение теоремы Вариньона при решении сложных ( олимпиадных) задач.

Постройте ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.

Поскольку диагонали прямоугольника равны, то параллелограмм Вариньона для прямоугольника ABCD и будет искомым ромбом KLMN.

Рис (см. в презентации )

Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона KLMN равна половине площади четырехугольника ABCD.

S ABCD=1/2AC*BD*sin(угла 1).

S KLMN=KL*KN*sin(угла 2)

Учитывая, что угол первый равен углу второму и KL=1/2AC, KN=1/2BD, получим необходимое.

Рис. (см. в презентации)

Задача 3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

В параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна

сумме квадратов всех его сторон, т.е.

Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD

KM 2 +LN 2 =1/2(AC 2 +BD 2 ),

AC 2 +BD 2 =2(KM 2 +LN 2 ).

Источник

Исследовательская работа по математике «Теорема Вариньона», 9 класс

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение города Абакана «Средняя общеобразовательная школа №26 с углубленным изучением отдельных предметов»

Секция «Мир моих математических исследований»

Тетервова Ирина Вадимовна

Ученица 9 класса В.

Ширяева Нина Анатольевна

Цель работы. Гипотеза.

Основные теоретические сведения.

Теорема Вариньона и ее применение. Практическая часть.

Изучить теорему Вариньона

Научиться использовать теорему Вариньона на практике

Рассмотреть задачи из ЕГЭ.

Развить умение исследовать

Рассмотреть разные методы решения задач.

Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход.

Применение теоремы Вариньона по сравнению с традиционным решением задач по геометрии упрощает процесс доказательства, вычислений и экономит время, затраченное на решение задачи.

Эта теорема иллюстрирует два важных принципа: во-первых, доказательство, которое не объясняет явление, не является достаточным, во-вторых, цель творческого подхода в математике заключается в том, чтобы понять явление, а для этого необходимо всестороннее доказательство. Иными словами, иногда «доказать» не означает «объяснить».

Четырехугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырехугольника, площадь которого равна половине площади данного четырехугольника.

Дано: Доказательство:

ABCD – выпуклый четырехугольник

1) KLMN – параллелограмм;

2) S _KLMN = S _ABCD

К L средняя линия ∆АВС, NM средняя линия ∆А D С

. ч.т.д.

Основные теоретические сведения.

Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.

Следствия из теоремы Вариньона:

1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

б) бимедианы перпендикулярны.

А) Дано: Доказательство:

ABCD – четырехугольник

KLMN – параллелограмм Вариньона

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом. ч.т.д.

Б) Дано: Доказательство:

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Доказать: KLMN – ромб

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба). ч.т.д.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали перпендикулярны

А) Дано: Доказательство:

ABCD четырехугольник

KLMN – параллелограмм Вариньона

AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником. ч.т.д.

Б) Дано: Доказательство:

KLMN – параллелограмм Вариньона;

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника). ч.т.д.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:

а) диагонали равны и перпендикулярны

б) бимедианы равны и перпендикулярны

А) Дано: Доказательство:

ABCD четырехугольник

KLMN – параллелограмм Вариньона;

AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом. ч.т.д.

Б) Дано: Доказательство:

KLMN – параллелограмм Вариньона

бимедианы KM и LN – перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата). ч.т.д.

Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Пусть KM и LN – бимедианы,

PQ – отрезок, соединяющий АС и BD.

Отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам

То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам.

Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:

Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. ч.т.д.

Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей, то есть .

Дано:

EF – отрезок, соединяющий АС и BD

Для медианы ET треугольника ELN имеем: , где , , откуда . Аналогично, выразив медиану FT треугольника KFM и учитывая, что и , получим: .

Кроме того, .

Итак, получаем: , откуда:

Следствие 6. (теорема о бабочках).

Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.

ABCD четырехугольник

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:

.ч.т.д.

Теорема Вариньона и ее применение.

Задача 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Значит, KL – средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL||PD1 и KL=1/2 PD1.

Но PD1 – средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD1=1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.

Ответ: ;

Задача 3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

В параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т.е. Учитывая, что KL =1/2 AC и LM = 1/2 BD ( см. рис. в условии задачи), получим: KM 2 + LN 2 =1/2( AC 2 + BD 2 ), AC 2 + BD 2 =2( KM 2 + LN 2 ).

Задача 4. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

В случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом (рис.), а площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

, тогда .

Задача 5. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними. Доказательство:

Задача 6. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 6, ВС = 11 и АС = 12.

Аналогично получаем еще 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем

Докажем, что квадрат медианы AA ₁ равен

Аналогично доказывается, что a

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC : Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Ответ:

Задача 8. (ЕГЭ 2014) Дан четырёхугольник ABCD.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если

2 способ (теорема Вариньона) По теореме Вариньона KLMN –параллелограмм, KM и LN диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Ч.т.д.

б) 1 способ ( традиционный ) В треугольнике KLM имеем:

Где — искомая площадь четырёхугольника Аналогично

Поэтому Следовательно,

Ответ:

В ходе исследовательской работы я достигла целей, поставленных в начале работы. Я изучила теорему Вариньона и рассмотрела интересующие меня задачи.

Изучение этой теоремы дало мне новые знания о четырехугольниках, которые могут пригодиться мне в 11 классе. Рассматривая задания ЕГЭ 2 части, я поняла, что это полезные знания. Решая планиметрические задачи, связанных с четырехугольниками теорема Вариньона помогает сэкономить время при решении и доказательстве задач.

Источник

• ← Докажите что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
• Докажите что сумма квадратов трех простых чисел больших трех есть число составное →