Допустим что через прямую a и точку м проходит еще одна плоскость

Некоторые следствия из аксиом геометрии. 10 класс

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

по математике на тему:

Некоторые следствия из аксиом стереометрии

для учащихся 10 классов

Тема урока : Некоторые следствия из аксиом

ознакомить учащихся с данной темой, показать применение аксиом к решению задач.

1. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

б) Сформулировать аксиомы планиметрии.

в) Сформулировать аксиомы А ₁ —А ₃ стереометрии.

Докажем следствие из аксиом.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Учащиеся записывают формулировку теоремы — стр. 6 учебника.

Дано : а, М € а.

Доказательство : Отметим, что теорема содержит два утверждения: 1. О существовании плоскости. 2. О единственности плоскости.

Теорема 2. Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Формулировку учащиеся записывают в тетрадь под руководством учителя с учебника (стр. 7).

Устно разбирают доказательство, а запись выполняют дома.

Учитель обращает внимание учащихся, что данная теорема также состоит их 2 утверждений: существования и единственности, и доказательство опирается не на аксиомы, а на следствие 1.

III. Закрепление изученного материала

Учащиеся работают в тетрадях.

Один учащийся выходит к доске и решает задачу 6, случай 1: точки лежат на одной прямой.

Дано : АВ, ВС, АС.

Доказать: (АВ, ВС, АС) € (АВС).

(А, В, С) € а, так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А ₂ (А, В, С) € АВС;

(А, В, С) € а. Через А, В и С по А ₁ проходит единственная плоскость. 2 точки каждого из отрезков АВ, АС и ВС лежат в плоскости, следовательно, по А ₂ прямые АВ, ВС, АС, а значит, и отрезки АВ, ВС, АС лежат в плоскости и т. д.

Учащиеся работают в тетради, предварительно сделав чертеж.

Найти : (В, С) € α, D € МОВ, МОВ ∩А D О, S _ABCD

Решение : Учитель проводит фронтальную работу по вопросам плаката.

1) D € α, О € α, то по А ₂ D О € а, так как В € D О, то В € α.

Аналогично А € α, О € α, то по A ₂ АО € α, так как С € АО, то С € α.

2) ОВ € МОВ, D € ОВ, то D € МОВ.

В € МОВ, В € А D О =› МОВ∩ А D О = ВО, но так как ВО— часть D В, то МОВ ∩А D О= D В.

Учитель обращает внимание учащихся на тот факт, что если 2 плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

4) S _ромба =4∙4∙ sin 60 0 =8 √3 (см 2 ).

Цель урока достигнута. Аксиомы стереометрии повторили, познакомили со следствиями и применили их при решении задач.

Теорема 2, стр. 7 — записать доказательство.

а) нет, окружность можно вращать вокруг прямой, соединяющей эти две точки;

Геометрия 10-11 класс Л. С. Атанасян и др. М.: Просвещение

Источник

Геометрия. 10 класс

Параллельность плоскостей

Параллельность плоскостей

Необходимо запомнить

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Параллельность плоскостей

Разберём и докажем теорему.

Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a₁ и b₁, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a₁ и b₁, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β – единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β₁, параллельная α.

Так как β₁ пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β₁ пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β – единственна. Теорема доказана.

Источник

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и при том только одна

Главная > Документ

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и при том только одна.

М а

1) Возьмем P лежащее на а, Q лежащее на а. P,Q,М не лежат на одной прямой (т.к М не лежит на а) следует (по А1) сущ-ет плоскость, одна альфа, проходящая через P лежащую на альфа, Q лежащую на альфа, следует (по А2) PQ лежат в альфа, но PQ лежит на а, следует а лежит в альфа.

2) Допустим, что через прямую а и точку М проходит плоскость B, тогда P и Q лежат в В. Получили, что через MPQ проходят две плоскости, а по А1 это невозможно.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и при том только одна. в

Док-во:

1) Возьмем N лежащее на в Рассмотрим Е (повернутая)альфа, N лежит в альфа, а лежит в альфа, альфа – единственная. М лежит в альфа, N лежит в альфа следует (по А2) b лежит в альфа.

2) а лежит в альфа и b лежит в альфа следует N лежит в альфа.

3) N лежит в альфа, а лежит в альфа следует альфа – единств.

Теорема о параллельности прямых.

Через любую точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и при том только одна.

в

1)М не лежит на а следует (по Сл 1) проведем плоскость Е(повернутая) | М лежит в альфа, а лежит в альфа.

2) В плоскости альфа по Теореме из планиметрии проходит единственная в | М лежит на в, в || а.

Лемма. Если одна из двух || прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема. Если две прямые || третьей прямой, то они ||.

Признак || прямой и плоскости.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости || какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости, то она || этой плоскости.

в

1) Пусть a не || альфа, тогда а лежит в альфа или а пересекает альфа.

2) по условию а не лежит в альфа.

3) Если а пересекает альфа, то т.к. в||а, значит в пересекает альфа (по лемме о двух || прямых), но по условию в лежит в альфа? Противоречие, а|| альфа.

Сл1. Если плоскость проходит через данную прямую, || другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей || данной прямой.

Сл2. Если одна из двух || прямых || данной плоскости, то другая прямая либо так же || данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Признак скрещивания прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

D (в конце этой прямой пунктир)

А В С

1) Пусть АВ и CD не скрещиваются, тогда они лежат в одной плоскости В

2) следует A,B,C,D лежат в одной плоскости В, но через ABC проходит альфа =B

3) следует D лежит в альфа, но по усл. CD пересекает альфа в точке C, противоречие. AB __(c точкой сверху) CD.

Теорема об углах с сонаправленными сторонами.

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны!

2) ОВВ1О1 – пар-м (лучи ОВ и О1В1 – сонаправ. По признаку ОВ=О1В1) следует ВВ1=ОО1 и ВВ1 || ОО1

3) ОАА1О1 – пар-м (лучи ОА и О1А1 – сонаправл. По признаку ОА=О1А1) следует ОО1=АА1, ОО1||АА1

4) Из 2) и 3) следует АА1||ВВ1 и АА1=ВВ1 следует ВАА1В1- пар-м следует АВ=А1В1 и АВ||А1В1

5) Из 1) и 4) следует треуг. ОАВ = треуг. О1А1В1 (по трем сторонам) следует угол О= углу О1.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотри альфа и В. а лежит в альфа, в лежит в альфа, а пересекается с в в точке М. а1 лежит в В, в1 лежит в В, а||а1 и в||в1.

Допустим альфа не || В, тогда они пересек. в точке с следует (по Св1) а||c и b||c. Следует а||в||с а пересекает в = с. (по Т о || прямых) не возможно. Альфа || В.

Св1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Св2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Нет, не всегда.

2. Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? множество! Сколько из этих прямых параллельны прямой а? одна!

3. Прямые а и с параллельны, а прямые а и в пересекаются. Могут ли прямые в и с быть параллельными? Нет.

4. Прямая а параллельна плоскости альфа. Верно ли, что эта прямая:

А) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости альфа. Да, не имеют общих точек.

Б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости альфа. Нет, не любой.

В) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости альфа. Да, по признаку || прямой и плоскости.

5. Прямая а параллельна плоскости альфа. Сколько прямых, лежащих в плоскости альфа, параллельны прямой а? множество! Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости альфа? Да.

6. Прямая а пересекает плоскость альфа. Лежит ли в плоскости альфа хоть одна прямая, параллельная а? Нет, если одна прямая пересекает, то и вторая прямая тоже.

7. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости? Нет, есть случай, что прямая лежит в альфа.

8. Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу? Нет, могут скрещиваться.

9. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые:

А) пересекаться? Нет, нет общих точек.

Б) быть скрещивающимися? Да, если через две пересекающиеся прямые проходит плоскость || данной.

10. Могут ли скрещивающиеся прямые а и в быть параллельными прямой с? Нет, если две прямые параллельны, то они параллельны третьей между собой.

11. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости альфа. Параллельны ли плоскость альфа и плоскость трапеции? Да, по признаку параллельности плоскостей.

12. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости альфа. Параллельны ли плоскость альфа и плоскость параллелограмма? Да, если эти стороны имеют общую вершину. Нет, если они параллельны.

13. Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями? Будут, если они окажутся диагоналями прямоугольника.

14. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые? Нет, всего 4 грани, каждые треугольник, где не может быть прямых углов.

15. Существует ли параллелепипед, у которого:

А) только одна грань – прямоугольник. Нет, противоположные грани равны.

Б) только две смежные грани, ромбы. Нет, если есть смежные будут и параллельные.

В) Все углы граней острые. Нет, потому что сумма смежных углов = 180 градусов.

Г) Все углы граней прямые. Так как грань параллелограмма существует и острый угол.

Д) Число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней? Нет, они равны.

16. Какие многоугольники могут получиться в сечении:

А) тетраэдра. Получится треугольник.

Б) Параллелепипеда. От 3 угольника до 6 угольника!

Источник

Геометрия. 10 класс

Параллельность плоскостей

Параллельность плоскостей

Необходимо запомнить

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Параллельность плоскостей

Разберём и докажем теорему.

Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a₁ и b₁, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a₁ и b₁, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β – единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β₁, параллельная α.

Так как β₁ пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β₁ пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β – единственна. Теорема доказана.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые

На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.

Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО₁, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₁А₁ и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O₁ отложим отрезки OA₁ и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA₁O₁.

Так как противолежащие стороны OA и O₁A₁ этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA₁ и OO₁.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB₁O₁ параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ₁ и OO₁.

4. Если две отрезка AA₁ и BB₁ равны параллельны третьему отрезку OO₁, значит, они равны и параллельны, т. е. АА₁||BB₁ и AA₁ = BB₁.

По определению четырехугольник АВВ₁А₁ – параллелограмм и из этого получаем АВ=А₁В₁.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А₁В₁, ОA =O₁A₁ и OB =O₁B₁ следует, что треугольники AOB и A₁ O₁ B₁. равны по трем сторонам, и поэтому О= О₁.

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Источник