какие ряды сходятся а какие расходятся

Какие ряды сходятся а какие расходятся

Числовым рядом (или просто рядом) называется бесконечная сумма ви да

где какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, un общим членом ряда.

Если известен общий член ряда как функция его номера n : un = f ( n ), то ряд считают заданным.

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (9.1):

Сформулируем некоторые свойства числовых рядов.

3. Если к ряду (9.1) прибавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и ряд (9.1) сходятся или расходятся одновременно.

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся или этот предел не существует, то ряд расходится какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Решение. Вычислим предел общего члена ряда:

Во многих случаях на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда можно ответить с помощью достаточных признаков.

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или не т. Подобное сравнение базируется на теоремах 9.2 и 9.3.

Теорема 9.2 (признак сравнения числовых знакоположительных рядов). Пусть даны два знакоположительных ряда

В этом случае ряд (9.4) называется минорантным, а ряд (9.5) – мажорантным рядом.

Теорема 9.3. (признак сравнения в предельной форме)

Примечание. Если l =1, то ряд (9.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит факториалы и показательные выражения.

Теорема 9.5 (радикальный признак Коши). Если для ряда (9.1) с положительными членами существует конечный или бесконечный предел какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то при при l 1 ряд сходится и расходится при l > 1 какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Решение. Учитывая теорему 9.5 и второй замечательный предел (3.13), вычисляем:

Теорема 9.6 (интегральный признак Коши). Если члены знакоположительного числового ряда какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;∞) функции f ( x ) так, что u 1 = f (1), u 2 = f (2), …, un = f ( n ), …, то если какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся сходится, то сходится и ряд (9.1); если какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся расходится, то расходится также и ряд (9.1) какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Так как несобственный интеграл от общего члена ряда сходится, то и исходный ряд также сходится (согласно теореме 9.6) какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Особое значение в теории числовых рядов (в частности, при их сравнении) имеет обобщенный гармонический ряд

где p > 0 – действительное число. Для исследования ряда (9.6) применим теорему 9.6 (интегральный признак Коши).

Помимо знакоположительных числовых рядов существует важный класс знакопеременных рядов, в которых члены ряда имеют произвольные знаки.

Теорема 9.7 (общий достаточный признак сходимости). Пусть дан знакопеременный ряд

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (9.7) какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Сформулируем основные свойства абсолютно сходящихся рядов.

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S 1 и S 2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S 1 + S 2 ( S 1S 2 ).

Примечание. В случае условно сходящихся рядов подобные свойства, вообще говоря, места не имеют.

Используя указанные свойства, математические действия и операции производят только над абсолютно сходящимися рядами. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, члены которых имеют строго чередующиеся знаки:

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Ряд, членами которого являются функции от переменной x, называется функциональным:

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x : S = S ( x ), которая определяется равенством:

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд, члены которого представляют собой степенные функции аргумента x:

Действительные (или комплексные) числа какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся называются коэффициентами ряда (9.11), какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся – действительная переменная.

где x 0 – некоторое постоянное число.

Рассмотрим вопрос о нахождении области сходимости степенного ряда.

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

На практике радиус сходимости степенного ряда (9.11) отыскивают с помощью признака Даламбера. Для этого составляют ряд из модулей членов ряда:

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

С помощью радикального признака Коши (теоремы 9.5) можно показать, что радиус сходимости также вычисляется по формуле:

Примечание. Интервал сходимости степенного ряда (9.12) находят из неравенства | xx 0 | R ; он имеет вид ( x 0R ; x 0 + R ) какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится в единственной точке х = 0.

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера:

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях x , которые удовлетворяют неравенству

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся исходный ряд сходится.

Таким образом, какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся – область сходимости заданного по условию ряда какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Источник

Признаки сходимости рядов.
Признак Даламбера. Признаки Коши

Работайте, работайте – а понимание придёт потом
Ж.Л. Даламбер

Всех поздравляю с началом учебного года! Сегодня 1 сентября, и я решил в честь праздника познакомить читателей с тем, что вы давно с нетерпением ждали и жаждали узнать – признаками сходимости числовых положительных рядов. Праздник Первое сентября и мои поздравления всегда актуальны, ничего страшного, если на самом деле за окном лето, вы же сейчас в третий раз пересдаете экзамен учитесь, если зашли на эту страничку!

Для тех, кто только начинает изучать ряды, рекомендую для начала ознакомиться со статьей Числовые ряды для чайников. Собственно, данная телега является продолжением банкета. Итак, сегодня на уроке мы рассмотрим примеры и решения по темам:

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера. Признаки Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны. Как всегда, постараюсь изложить материал просто, доступно и понятно. Тема не самая сложная, и все задания в известной степени трафаретны.

Признак сходимости Даламбера

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовой предельный признак сравнения. Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:

1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.
4) Многочленов и корней, разумеется, может быть и больше.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяи так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на уроке Числовая последовательность и её предел. Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то:
а) При какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяряд сходится. В частности, ряд сходится при какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
б) При какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяряд расходится. В частности, ряд расходится при какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
в) При какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяпризнак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к уроку Пределы. Примеры решений. Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсядальше, к сожалению, не продвинуться.

А сейчас долгожданные примеры.

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.

Используем признак Даламбера:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Из условия мы видим, что общий член ряда какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Для того, чтобы получить следующий член ряда нужно ВМЕСТО какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяподставить какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Константу какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсявыносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяустраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяс выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-й степени. Что делать, если там многочлен 3-й, 4-й или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.

Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Сначала полное решение, потом комментарии:

Используем признак Даламбера:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

(1) Составляем отношение какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Рассмотрим выражение какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяв числителе и выражение какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяв знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, чего делать совершенно не хочется. А для тех, кто не знаком с биномом Ньютона, эта задача окажется ещё сложнее. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то получим старшую степень какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Внизу у нас такая же старшая степень: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяу нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяи какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяодного порядка роста. Таким образом, вполне можно обвести отношение какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяпростым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяи какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, они тоже одного порядка роста, и их отношение стремится к единице.

На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере № 1, но для многочлена 2-й степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-й и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Полное решение и образец оформления в конце урока

Рассмотрим типовые примеры с факториалами:

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо использовать признак Даламбера. Решаем.

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
(1) Составляем отношение какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Повторяем еще раз. По условию общий член ряда: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Для того чтобы получить следующий член ряда, вместо какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсянужно подставить какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, таким образом: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Отщипываем семерку от степени. Факториалы расписываем подробно. Как это сделать – см. начало урока или статью о числовых последовательностях.
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсявыносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяустраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Полное решение и образец оформления в конце урока

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член ряда какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то следующий член ряда:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Примерный образец решения может выглядеть так:

Используем признак Даламбера:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках. Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Если существует предел: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то:
а) При какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяряд сходится. В частности, ряд сходится при какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
б) При какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяряд расходится. В частности, ряд расходится при какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
в) При какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяпризнак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда корень какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся«хорошо» извлекается из общего члена ряда. Как правило, этот перец находится в степени, которая зависит от какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Мы видим, что дробь полностью находится под степенью, зависящей от «эн», а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд расходится.

(1) Оформляем общий член ряда под корень.

(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
(4) В результате у нас получилась неопределенность какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Здесь можно было пойти длинным путем: возвести какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяв куб, возвести какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяв куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в кубе. Но в данном случае есть более эффективное решение: этот приём можно использовать прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся(старшую степень многочленов).

(5) Выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(6) Доводим ответ до ума, помечаем, что какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяи делаем вывод о том, что ряд расходится.

А вот более простой пример для самостоятельного решения:

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

И еще пара типовых примеров.

Полное решение и образец оформления в конце урока

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Используем радикальный признак Коши:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

(1) Помещаем общий член ряда под корень.

(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
(4) Получена неопределенность вида какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, и здесь тоже можно выполнять деление прямо под степенью. Но с одним условием: коэффициенты при старших степенях многочленов должны быть разными. У нас они разные (5 и 6), и поэтому можно (и нужно) разделить оба этажа на какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Если же эти коэффициенты одинаковы, например (1 и 1): какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то такой фокус не проходит и нужно использовать второй замечательный предел. Если помните, эти тонкости рассматривались в последнем параграфе статьи Методы решения пределов.

(5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.
(6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Почему какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяв бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому что основание степени удовлетворяет неравенству какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Если у кого есть сомнения в справедливости предела какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор:
Если какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Если какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Если какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Если какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Если какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
… и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Прямо таки бесконечно убывающая геометрическая прогрессия на пальцах =)
! Никогда не используйте этот приём в качестве доказательства! Ибо если что-то очевидно, то это ещё не значит, что это правильно.

(7) Указываем, что какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяи делаем вывод о том, что ряд сходится.

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Это пример для самостоятельного решения.

Иногда для решения предлагается провокационный пример, например: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Здесь в показателе степени нет «эн», только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), а далее придерживаться алгоритма из статьи Ряды для чайников. В подобном примере сработать должен либо необходимый признак сходимости ряда либо предельный признак сравнения.

Интегральный признак Коши

Или просто интегральный признак. Разочарую тех, кто плохо усвоил материал первого курса. Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

В учебниках по математическому анализу интегральный признак Коши дан математически строго, но слишком уж поморочено, поэтому я сформулирую признак не слишком строго, но понятно:

Рассмотрим положительный числовой ряд какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Если существует несобственный интеграл какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, то ряд сходится или расходится вместе с этим интегралом.

И сразу примеры для пояснения:

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Почти классика. Натуральный логарифм и какая-нибудь бяка.

Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда содержатся множители, похожие на некоторую функцию и её производную. Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, и у нас как раз такой каноничный случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «хэ»: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Чего-то не хватает…, ах, да, еще в числителе нужно прилепить значок дифференциала: какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсясходится, то будет сходиться и наш ряд какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.

2) Если выяснится, что интеграл какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсярасходится, то наш ряд какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсятоже будет расходиться.

Повторюсь, если материал запущен, то чтение параграфа будет трудным и малопонятным, поскольку применение признака по сути дела сводится к вычислению несобственного интеграла первого рода.

Полное решение и оформление примера должно выглядеть примерно так:

Используем интегральный признак:

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Подынтегральная функция непрерывна на какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Решение и образец оформления в конце урока

В рассмотренных примерах логарифм также мог находиться под корнем, это не изменило бы способа решения.

И еще два примера на закуску

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

По общим «параметрам» общий член ряда подходит для использования предельного признака сравнения. Нужно всего лишь раскрыть скобки какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяи сразу сдать на кандидата предельно сравнить данный ряд со сходящимся рядом какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Впрочем, я немного слукавил, скобки можно и не раскрывать, но всё равно решение через предельный признак будет выглядеть несколько вычурно.

Поэтому мы используем интегральный признак Коши:

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Подынтегральная функция непрерывна на какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

! Примечание: полученное число какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяне является суммой ряда.

Исследовать ряд на сходимость какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Решение и образец оформления в конце урока, который подходит к концу.

Да. Возможно, у некоторых возник вопрос, почему я начал этот урок с таким энтузиазмом? Всё просто – начался учебный год, а мне не нужно на учебу. Я столько мучался =( Что даже не устал в заключительных аккордах этой статьи.

В целях окончательного и бесповоротного усвоения темы числовых рядов посетите урок Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений.

Пример 3: Используем признак Даламбера:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Примечание: Можно было использовать и «турбо»-метод решения: сразу обвести карандашом отношение какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, указать, что оно стремится к единице и сделать пометку: «одного порядка роста».

Пример 5: Используем признак Даламбера:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример 8: Используем радикальный признак Коши:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Пример 10: Используем радикальный признак Коши:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
Примечание: Здесь основание степени какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся, поэтому какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся

Пример 12: Используем интегральный признак:.
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Подынтегральная функция непрерывна на какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример 14: Используем интегральный признак:
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Подынтегральная функция непрерывна на какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.
какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся
Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Примечание: Ряд какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсятакже можно исследовать с помощью предельного признака сравнения. Для этого удобно раскрыть скобки под корнем какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятсяи сравнить исследуемый ряд с расходящимся рядом какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть фото какие ряды сходятся а какие расходятся. Смотреть картинку какие ряды сходятся а какие расходятся. Картинка про какие ряды сходятся а какие расходятся. Фото какие ряды сходятся а какие расходятся «Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *