1. Какие силы действуют при движении математического маятника?
1. При движении математического маятника действуют сила тяжести FT = m g и сила упругости Fупр натянутой нити.
2. Какими должны быть нить и подвешенный к ней груз, чтобы маятник можно было считать математическим?
2. Математическим маятником называется подвешенный к тонкой нити груз, размеры которого много меньше длины нити, а его масса много больше массы нити. То есть тело и нить должны быть такими, чтобы груз можно было считать материальной точкой, а нить невесомой.
3. При каких отклонениях от положения равновесия колебания маятника будут гармоническими?
3. Колебания математического маятника будут гармоническими при малых углах отклонения.
4. Чему равен период колебаний маятника с длиной подвеса 1 м?
5. Как изменится период колебаний маятника, если заменить груз другим, по массе вдвое меньшим?
5. Период колебаний математического маятника не изменится, так как он не зависит от массы подвешенного груза и амплитуды колебаний.
6. Как изменится период колебаний маятника, если уменьшить длину подвеса в 4 раза?
6. Период колебаний уменьшится в два раза, так как Т
7. Справедлива ли формула (3) предыдущего параграфа для математического маятника?
7. Справедлива, так как она описывает любые гармонические колебания.
Математический маятник. Период колебаний математического маятника
Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).
Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести \(\vec F\) и сила упругости \(\vec F_\) нити взаимно компенсируются.
Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 13.11). В этом случае силы \(\vec F\) и \(\vec F_\) не уравновешивают друг друга. Тангенциальная составляющая силы тяжести \(\vec F_\tau\), действуя на маятник, сообщает ему тангенциальное ускорение \(\vec a_\tau\) (составляющая полного ускорения, направленная вдоль касательной к траектории движения математического маятника), и маятник начинает двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. Тангенциальная составляющая силы тяжести \(\vec F_\tau\) является, таким образом, возвращающей силой. Нормальная составляющая \(\vec F_n\) силы тяжести направлена вдоль нити против силы упругости \(\vec F_\). Равнодействующая сил \(\vec F_n\) и \(\vec F_\) сообщает маятнику нормальное ускорение \(
a_n\), которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.
Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей \(
F_\tau = F \sin \alpha\). В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая \(\vec F_\tau\) направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы \(\vec F_\tau\) увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.
Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l, а массу маятника — m.
Из рисунка 13.11 видно, что \(
F_\tau = F \sin \alpha\), где \(\alpha =\frac.\) При малых углах \(
Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.
Согласно второму закону Ньютона \(m \vec a = m \vec g + F_.\) Спроецируем векторные величины этого уравнения на направление касательной к траектории движения математического маятника
Из этих уравнений получим
a_x + \omega^2x = 0\) (см. § 13.3), можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.
Период колебаний маятника \(T = \frac<2 \pi><\omega>.\) Следовательно,
Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника: 1) не зависит от его массы и амплитуды колебаний; 2) пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения. Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.
Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий: 1) колебания маятника должны быть малыми; 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.
Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением \(\vec a\) то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле
g’\) — «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения \(\vec g\) и вектора, противоположного вектору \(\vec a\), т.е. его можно рассчитать по формуле
\(\vec g’ = \vec g + (- \vec a).\)
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 374-376.
Электронное учебное пособие по разделу курса физики Механика
Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.
Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.
Введение
Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.
Механическое движение– это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.
Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).
Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А. Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.) их движение описывается законами квантовой механики.
Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.
В механике для описания движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.
Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.
Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.
Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.
Любое движение рассматривается в пространстве и времени. В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса. Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а
Только в случаемалых колебаний, когда приближенноможно заменить наматематический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина отличается от не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.
Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален . Это означает, что только при малых углах, когда, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний
и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид
где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:
Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника.
Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
Это уравнение свободных гармонических колебаний.
Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:
Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:
Математический маятник — определение, формулы и принцип действия
Если какую-нибудь материальную точку подвесить на нить, почти не имеющей веса, то получится математический маятник Он свободно качается взад и вперёд под действием силы тяжести, которая возвращает подвешенное тело в положение равновесия, если его сместить. Математика здесь довольно сложная. Первые научные исследования в этой области принадлежат Галилео Галилею, именно они легли в основу самой точной технологии хронометража.
Простая гравитация
Так называемый простой маятник — это всего лишь идеализированная математическая модель. Это груз на конце безмассового шнура, подвешенного на оси без трения. Если его толкнуть, он будет раскачиваться с постоянной амплитудой, но с некоторыми условиями:
Дифференциальное уравнение, которое представляет движение простого маятника, выглядит следующим образом (где g — ускорение силы тяжести, ℓ — длина маятника, θ — угловое смещение): d² / dt² + g / ℓ sin θ = 0.
На графике 1 показаны силы, действующие на отвес. Стоит обратить внимание, что груз описывает дугу. Угол θ измеряется в радианах, и это имеет решающее значение для этой формулы. Синяя стрелка — гравитационная сила, которая действует на маятник, а фиолетовые векторы — это та же самая сила, только разложенная на компоненты, параллельные и перпендикулярные мгновенному движению груза.
Направление мгновенной скорости всегда указывается вдоль красной оси, которая считается тангенциальной, поскольку её направление всегда касается окружности. И прежде чем вывести уравнение силы деривации, стоит вспомнить второй закон Ньютона: F = ma. За F принимают сумму сил, действующих на объект, m — масса, a — ускорение.
Поскольку интерес составляет только измерение скорости, а груз вынужден оставаться на круговой траектории, уравнение Ньютона применяется только к тангенциальной оси. Короткая фиолетовая стрелка представляет компонент гравитационной силы, используя тригонометрию можно определить её величину. Таким образом, получается (g — ускорение силы тяжести вблизи поверхности земли): F = — mg sin θ = ma; a = — g sin θ.
Отрицательный знак на правой стороне означает, что θ и отвес всегда указываются в противоположных направлениях. Это вполне логично, поскольку когда маятник качается сильнее влево, ожидается, что он ускорится при движении назад — вправо. Это линейное ускорение, a вдоль красной оси может быть связано с изменением угла θ по формулам длины дуги (s): s = ℓθ; v = ds / dt = ℓdθ / dt; a = d²s / dt² = ℓd²θ / dt². Из этого следует: ℓd²θ/dt² = — gsin θ, d²θ / dt² + d / ℓ sin θ = 0.
Крутящий момент
Для начала нужно определить этот показатель на маятниковом шарнире, используя силу, вызванную гравитацией (Fg): T = ℓ x Fg, где ℓ — векторы длины маятника.
Здесь самое время рассмотреть величину крутящего момента на маятнике: |T| = — mgℓ sinθ, где m — масса, g — ускорение силы тяжести, ℓ — длина, а θ — угол между вектором длины и гравитацией. Далее, самое время переписать момент импульса: L = r x p = mr x (ꞷ x r).
Просто величина углового момента и его производная по времени: |L| = mr² w = mℓ² d²θ / dt². Формула крутящего момента после всех вычислений будет выглядеть следующим образом: T = r x F = dL / dt.
Сохранение механической энергии
Такое уравнение можно получить с помощью одноимённого принципа. Формулируется он так: любой объект, падающий на вертикальное расстояние h, получит кинетическую энергию, равную той, которую потерял при падении. Изменение потенциальной энергии выражается: Δ U = mgh, тогда как кинетическая (отвес начал движение с покоя) представлена формулой: Δ K = 1/2 mu².
Поскольку, как известно, никакая энергия не теряется, выигрыш в одном должен быть равен потере в другом: 1/2 mu² = mgh.
Колебательные движения
Период колебаний математического маятника (простого гравитационного) зависит от его длины, локальной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла, от которого отвес отклоняется от вертикали θ 0, называемого амплитудой.
Он не зависит от массы груза. Если амплитуда ограничена малыми колебаниями, то на период T, время, необходимое для полного цикла является: T≈ 2 π √ L/g. При этом L — длина маятника, а g — местное ускорение гравитации.
Нужно сказать, что для небольших колебаний период не зависит от амплитуды. Такое свойство называется изохронизмом, именно оно стало причиной того, что маятники используются для хронометража. Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое количество времени. Для большого размаха свойственно увеличение периода с каждым раскачиванием, поэтому он длиннее, чем задано уравнением, отражающим частоту колебаний математического маятника.
Период возрастает до бесконечности как только θ 0 приближается к 180°, так как это значение является нестабильной точкой равновесия для маятника. Истинный период может быть записан в нескольких различных формах, например, бесконечный ряд: T = 2 π √ L/g )1+ 1/16 θ²/º + 11/3072 θ ⁴/º + …). Разница между истинным и периодом небольших колебаний называется круговой ошибкой. В случае с типичными напольными часами, у которых маятник имеет размах 6° и, следовательно, амплитуду 3° (0,05 радиана), разница составит около 15 секунд в день.
Формула математического маятника, при малых колебаниях, когда он приближается к гармоническому осциллятору, и его движение, как функция времени t, находит выражение следующим образом: θ(t) = θₒ cos (2 π / T * t + ⱷ). Где фи (ⱷ) — постоянная величина, зависящая от начальных условий. Для маятников этот период незначительно меняется в зависимости от некоторых факторов, например:
Если необходимы точные расчёты, конечно, все эти поправки должны учитываться.
Составной маятник
Другое название — физический, представляет собой любое качающееся твёрдое тело, свободно вращающееся вокруг фиксированной горизонтальной оси. Соответствующая эквивалентная длина — L, а для расчёта времени используется расстояние от оси до центра колебаний. Эта точка расположена над центром массы на расстоянии от оси, традиционно называемым радиусом колебаний, который зависит от распределения веса груза.
Христиан Гюйгенс в 1673 году доказал, что точка вращения и центр колебаний взаимозаменяемы. Это означает, если какой-либо маятник перевёрнут и ротирован от оси, расположенной в его предыдущем центре колебаний, он будет иметь тот же период, что и раньше, и новый центр будет находиться в старой точке вращения.
В 1817 году Генри Кэтер использовал эту идею для создания обратимого маятника, теперь известного под именем создателя, для улучшения измерений ускорения под действием силы тяжести.
Историческая хроника
Одним из самых ранних известных применений маятника было устройство сейсмометра (I века) китайского учёного династии Хань Чжан Хэна. Его функция состояла в том, чтобы раскачивать и активировать один из серии рычагов после того, как он был нарушен тремором землетрясения, которое происходило далеко от места измерения. Освобождённый рычагом, маленький шарик выпадал из устройства в форме урны в одну из восьми горловин металлической жабы внизу, в восьми точках компаса, что указывало направление землетрясения.
Многие источники утверждают, что египетский астроном X века Ибн Юнус использовал маятник для измерения времени, но это была ошибка, возникшая в 1684 году с британским историком Эдвардом Бернардом.
В эпоху Возрождения большие маятники с ручной накачкой использовались в качестве источников энергии для ручных поршневых машин, таких как пилы, сильфоны и насосы. Леонардо Давинчи сделал много рисунков движения маятников, хотя и не осознавал его значения для хронометража.
Исследования Галилея
Итальянский учёный Галилео Галилей был первым, кто начал изучать свойства маятников, начиная примерно с 1602 года. Самый ранний существующий отчёт о его исследованиях содержится в письме Гвидо Убальдо дель Монте из Падуи от 29 ноября 1602 года. Его биограф и ученик, Винченцо Вивиани, утверждал, что его интерес был вызван около 1582 года, когда физик раскачивал люстры в соборе Пизы.
Галилей обнаружил важнейшее свойство, которое делает маятники полезными в качестве хронометриста, называемое изохронизмом; период маятника приблизительно не зависит от амплитуды или ширины качания. Он также обнаружил, что период не зависит от массы отвеса и пропорционален квадратному корню из длины всей конструкции. Сначала он использовал маятники свободного вращения в простых приложениях синхронизации.
Его друг — врач Санторио Санторий, используя наработки Галилея, изобрёл прибор, который измерял пульс пациента. В 1641 году Галилео задумал и продиктовал своему сыну Винченцо конструкцию маятниковых часов. Тот начал строительство, но не завершил его, поскольку умер в 1649 году. Так, появился первый гармонический осциллятор, использованный человеком.
Маятниковые часы
Первый образец построил в 1656 году голландский учёный Христиан Гюйгенс. Это было значительное улучшение по сравнению с существующими механическими часами. Их точность была улучшена с отклонений от 15 минут до 15 секунд в день. Маятники распространились по Европе, так как все существующие часы стали модифицироваться.
Английский учёный Роберт Гук изучил конический маятник (около 1666), который мог свободно колебаться в двух измерениях, а груз вращаться по кругу или эллипсу. Он использовал движение этого устройства в качестве модели для анализа орбитального движения планет. Гук предложил Исааку Ньютону в 1679 году свои наработки.
Он утверждал, что составляющие орбитального движения состояли из инерционного движения по касательному направлению и привлекательного движения в радиальном направлении. Это сыграло свою роль в формулировке Ньютоном закона всемирного тяготения. Роберт Гук также был ответственным за то, что ещё в 1666 году предположил, что маятник можно использовать для измерения силы тяжести.
Во время своей экспедиции в Кайенна (Французская Гвиана) в 1671, Жан Рише обнаружил, что там часы с маятником шли на 2,5 минуты медленнее, чем в Париже. Из этого он сделал вывод, что сила гравитации была ниже в Кайенне. В 1687 году Исаак Ньютон в Principia Mathematica показал, что это произошло потому, что Земля была не настоящей сферой, а слегка сплюснутой (сплющенной на полюсах) от действия центробежной силы из-за её вращения, это и вызывает увеличение силы гравитации.
Портативные маятники стали совершать рейсы в дальние страны, в качестве прецизионных гравиметров для измерения ускорения свободного падения в разных точках Земли, что в итоге привело к определению точной модели формы планеты. Затем последовало превращение исследований и выводов учёных в новые классы приборов, с дополнительными параметрами. Например:
В 1930 году решение задачи по точному хронометражу было найдено, в 1921 был изобретён кварцевый генератор.
уравновешивается силой натяжения нити 
При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
можно заменить на 
математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина 
отличается от 
не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
. Это означает, что только при малых углах
, когда
, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний
в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
