какие силы действуют на маятник при его движении
§ 56. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК. Вопросы
1. Какие силы действуют при движении математического маятника?
1. При движении математического маятника действуют сила тяжести FT = m g и сила упругости Fупр натянутой нити.
2. Какими должны быть нить и подвешенный к ней груз, чтобы маятник можно было считать математическим?
2. Математическим маятником называется подвешенный к тонкой нити груз, размеры которого много меньше длины нити, а его масса много больше массы нити. То есть тело и нить должны быть такими, чтобы груз можно было считать материальной точкой, а нить невесомой.
3. При каких отклонениях от положения равновесия колебания маятника будут гармоническими?
3. Колебания математического маятника будут гармоническими при малых углах отклонения.
4. Чему равен период колебаний маятника с длиной подвеса 1 м?
5. Как изменится период колебаний маятника, если заменить груз другим, по массе вдвое меньшим?
5. Период колебаний математического маятника не изменится, так как он не зависит от массы подвешенного груза и амплитуды колебаний.
6. Как изменится период колебаний маятника, если уменьшить длину подвеса в 4 раза?
6. Период колебаний уменьшится в два раза, так как Т
7. Справедлива ли формула (3) предыдущего параграфа для математического маятника?
7. Справедлива, так как она описывает любые гармонические колебания.
Учебники
Журнал «Квант»
Общие
Математический маятник. Период колебаний математического маятника
Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу и находящейся в поле силы тяжести (или иной силы).
Исследуем колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса находится в покое или движется равномерно прямолинейно. Силой сопротивления воздуха будем пренебрегать (идеальный математический маятник). Первоначально маятник покоится в положении равновесия С. При этом действующие на него сила тяжести \(\vec F\) и сила упругости \(\vec F_
Выведем маятник из положения равновесия (отклонив его, например, в положение А) и отпустим без начальной скорости (рис. 13.11). В этом случае силы \(\vec F\) и \(\vec F_
a_n\), которое изменяет при этом направление вектора скорости, и маятник движется по дуге ABCD.
Чем ближе подходит маятник к положению равновесия С, тем меньше становится значение тангенциальной составляющей \(
F_\tau = F \sin \alpha\). В положении равновесия она равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется по инерции дальше, поднимаясь по дуге вверх. При этом составляющая \(\vec F_\tau\) направлена против скорости. С увеличением угла отклонения а модуль силы \(\vec F_\tau\) увеличивается, а модуль скорости уменьшается, и в точке D скорость маятника становится равной нулю. Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Вновь пройдя его по инерции, маятник, замедляя движение, дойдет до точки А (трение отсутствует), т.е. совершит полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.
Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника.
Пусть маятник в данный момент времени находится в точке В. Его смещение S от положения равновесия в этот момент равно длине дуги СВ (т.е. S = |СВ|). Обозначим длину нити подвеса l, а массу маятника — m.
Из рисунка 13.11 видно, что \(
F_\tau = F \sin \alpha\), где \(\alpha =\frac
Знак минус в этой формуле ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия.
Согласно второму закону Ньютона \(m \vec a = m \vec g + F_
Из этих уравнений получим
a_x + \omega^2x = 0\) (см. § 13.3), можно сделать вывод, что математический маятник совершает гармонические колебания. А так как рассмотренные колебания маятника происходили под действием только внутренних сил, то это были свободные колебания маятника. Следовательно, свободные колебания математического маятника при малых отклонениях являются гармоническими.
Обозначим \(\frac
Период колебаний маятника \(T = \frac<2 \pi><\omega>.\) Следовательно,
Это выражение называют формулой Гюйгенса. Оно определяет период свободных колебаний математического маятника. Из формулы следует, что при малых углах отклонения от положения равновесия период колебаний математического маятника: 1) не зависит от его массы и амплитуды колебаний; 2) пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения. Это согласуется с экспериментальными законами малых колебаний математического маятника, которые были открыты Г. Галилеем.
Подчеркнем, что эту формулу можно использовать для расчета периода при одновременном выполнении двух условий: 1) колебания маятника должны быть малыми; 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, в которой он находится.
Если точка подвеса математического маятника движется с ускорением \(\vec a\) то при этом изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению и возвращающей силы, а следовательно, частоты и периода колебаний. Как показывают расчеты, период колебаний маятника в этом случае можно рассчитать по формуле
g’\) — «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета. Оно равно геометрической сумме ускорения свободного падения \(\vec g\) и вектора, противоположного вектору \(\vec a\), т.е. его можно рассчитать по формуле
\(\vec g’ = \vec g + (- \vec a).\)
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 374-376.
Математический маятник — определение, формулы и принцип действия
Если какую-нибудь материальную точку подвесить на нить, почти не имеющей веса, то получится математический маятник Он свободно качается взад и вперёд под действием силы тяжести, которая возвращает подвешенное тело в положение равновесия, если его сместить. Математика здесь довольно сложная. Первые научные исследования в этой области принадлежат Галилео Галилею, именно они легли в основу самой точной технологии хронометража.
Простая гравитация
Так называемый простой маятник — это всего лишь идеализированная математическая модель. Это груз на конце безмассового шнура, подвешенного на оси без трения. Если его толкнуть, он будет раскачиваться с постоянной амплитудой, но с некоторыми условиями:
Дифференциальное уравнение, которое представляет движение простого маятника, выглядит следующим образом (где g — ускорение силы тяжести, ℓ — длина маятника, θ — угловое смещение): d² / dt² + g / ℓ sin θ = 0.
На графике 1 показаны силы, действующие на отвес. Стоит обратить внимание, что груз описывает дугу. Угол θ измеряется в радианах, и это имеет решающее значение для этой формулы. Синяя стрелка — гравитационная сила, которая действует на маятник, а фиолетовые векторы — это та же самая сила, только разложенная на компоненты, параллельные и перпендикулярные мгновенному движению груза.
Направление мгновенной скорости всегда указывается вдоль красной оси, которая считается тангенциальной, поскольку её направление всегда касается окружности. И прежде чем вывести уравнение силы деривации, стоит вспомнить второй закон Ньютона: F = ma. За F принимают сумму сил, действующих на объект, m — масса, a — ускорение.
Поскольку интерес составляет только измерение скорости, а груз вынужден оставаться на круговой траектории, уравнение Ньютона применяется только к тангенциальной оси. Короткая фиолетовая стрелка представляет компонент гравитационной силы, используя тригонометрию можно определить её величину. Таким образом, получается (g — ускорение силы тяжести вблизи поверхности земли): F = — mg sin θ = ma; a = — g sin θ.
Отрицательный знак на правой стороне означает, что θ и отвес всегда указываются в противоположных направлениях. Это вполне логично, поскольку когда маятник качается сильнее влево, ожидается, что он ускорится при движении назад — вправо. Это линейное ускорение, a вдоль красной оси может быть связано с изменением угла θ по формулам длины дуги (s): s = ℓθ; v = ds / dt = ℓdθ / dt; a = d²s / dt² = ℓd²θ / dt². Из этого следует: ℓd²θ/dt² = — gsin θ, d²θ / dt² + d / ℓ sin θ = 0.
Крутящий момент
Для начала нужно определить этот показатель на маятниковом шарнире, используя силу, вызванную гравитацией (Fg): T = ℓ x Fg, где ℓ — векторы длины маятника.
Здесь самое время рассмотреть величину крутящего момента на маятнике: |T| = — mgℓ sinθ, где m — масса, g — ускорение силы тяжести, ℓ — длина, а θ — угол между вектором длины и гравитацией. Далее, самое время переписать момент импульса: L = r x p = mr x (ꞷ x r).
Просто величина углового момента и его производная по времени: |L| = mr² w = mℓ² d²θ / dt². Формула крутящего момента после всех вычислений будет выглядеть следующим образом: T = r x F = dL / dt.
Сохранение механической энергии
Такое уравнение можно получить с помощью одноимённого принципа. Формулируется он так: любой объект, падающий на вертикальное расстояние h, получит кинетическую энергию, равную той, которую потерял при падении. Изменение потенциальной энергии выражается: Δ U = mgh, тогда как кинетическая (отвес начал движение с покоя) представлена формулой: Δ K = 1/2 mu².
Поскольку, как известно, никакая энергия не теряется, выигрыш в одном должен быть равен потере в другом: 1/2 mu² = mgh.
Колебательные движения
Период колебаний математического маятника (простого гравитационного) зависит от его длины, локальной силы тяжести и в небольшой степени от максимального угла, от которого отвес отклоняется от вертикали θ 0, называемого амплитудой.
Он не зависит от массы груза. Если амплитуда ограничена малыми колебаниями, то на период T, время, необходимое для полного цикла является: T≈ 2 π √ L/g. При этом L — длина маятника, а g — местное ускорение гравитации.
Нужно сказать, что для небольших колебаний период не зависит от амплитуды. Такое свойство называется изохронизмом, именно оно стало причиной того, что маятники используются для хронометража. Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое количество времени. Для большого размаха свойственно увеличение периода с каждым раскачиванием, поэтому он длиннее, чем задано уравнением, отражающим частоту колебаний математического маятника.
Период возрастает до бесконечности как только θ 0 приближается к 180°, так как это значение является нестабильной точкой равновесия для маятника. Истинный период может быть записан в нескольких различных формах, например, бесконечный ряд: T = 2 π √ L/g )1+ 1/16 θ²/º + 11/3072 θ ⁴/º + …). Разница между истинным и периодом небольших колебаний называется круговой ошибкой. В случае с типичными напольными часами, у которых маятник имеет размах 6° и, следовательно, амплитуду 3° (0,05 радиана), разница составит около 15 секунд в день.
Формула математического маятника, при малых колебаниях, когда он приближается к гармоническому осциллятору, и его движение, как функция времени t, находит выражение следующим образом: θ(t) = θₒ cos (2 π / T * t + ⱷ). Где фи (ⱷ) — постоянная величина, зависящая от начальных условий. Для маятников этот период незначительно меняется в зависимости от некоторых факторов, например:
Если необходимы точные расчёты, конечно, все эти поправки должны учитываться.
Составной маятник
Другое название — физический, представляет собой любое качающееся твёрдое тело, свободно вращающееся вокруг фиксированной горизонтальной оси. Соответствующая эквивалентная длина — L, а для расчёта времени используется расстояние от оси до центра колебаний. Эта точка расположена над центром массы на расстоянии от оси, традиционно называемым радиусом колебаний, который зависит от распределения веса груза.
Христиан Гюйгенс в 1673 году доказал, что точка вращения и центр колебаний взаимозаменяемы. Это означает, если какой-либо маятник перевёрнут и ротирован от оси, расположенной в его предыдущем центре колебаний, он будет иметь тот же период, что и раньше, и новый центр будет находиться в старой точке вращения.
В 1817 году Генри Кэтер использовал эту идею для создания обратимого маятника, теперь известного под именем создателя, для улучшения измерений ускорения под действием силы тяжести.
Историческая хроника
Одним из самых ранних известных применений маятника было устройство сейсмометра (I века) китайского учёного династии Хань Чжан Хэна. Его функция состояла в том, чтобы раскачивать и активировать один из серии рычагов после того, как он был нарушен тремором землетрясения, которое происходило далеко от места измерения. Освобождённый рычагом, маленький шарик выпадал из устройства в форме урны в одну из восьми горловин металлической жабы внизу, в восьми точках компаса, что указывало направление землетрясения.
Многие источники утверждают, что египетский астроном X века Ибн Юнус использовал маятник для измерения времени, но это была ошибка, возникшая в 1684 году с британским историком Эдвардом Бернардом.
В эпоху Возрождения большие маятники с ручной накачкой использовались в качестве источников энергии для ручных поршневых машин, таких как пилы, сильфоны и насосы. Леонардо Давинчи сделал много рисунков движения маятников, хотя и не осознавал его значения для хронометража.
Исследования Галилея
Итальянский учёный Галилео Галилей был первым, кто начал изучать свойства маятников, начиная примерно с 1602 года. Самый ранний существующий отчёт о его исследованиях содержится в письме Гвидо Убальдо дель Монте из Падуи от 29 ноября 1602 года. Его биограф и ученик, Винченцо Вивиани, утверждал, что его интерес был вызван около 1582 года, когда физик раскачивал люстры в соборе Пизы.
Галилей обнаружил важнейшее свойство, которое делает маятники полезными в качестве хронометриста, называемое изохронизмом; период маятника приблизительно не зависит от амплитуды или ширины качания. Он также обнаружил, что период не зависит от массы отвеса и пропорционален квадратному корню из длины всей конструкции. Сначала он использовал маятники свободного вращения в простых приложениях синхронизации.
Его друг — врач Санторио Санторий, используя наработки Галилея, изобрёл прибор, который измерял пульс пациента. В 1641 году Галилео задумал и продиктовал своему сыну Винченцо конструкцию маятниковых часов. Тот начал строительство, но не завершил его, поскольку умер в 1649 году. Так, появился первый гармонический осциллятор, использованный человеком.
Маятниковые часы
Первый образец построил в 1656 году голландский учёный Христиан Гюйгенс. Это было значительное улучшение по сравнению с существующими механическими часами. Их точность была улучшена с отклонений от 15 минут до 15 секунд в день. Маятники распространились по Европе, так как все существующие часы стали модифицироваться.
Английский учёный Роберт Гук изучил конический маятник (около 1666), который мог свободно колебаться в двух измерениях, а груз вращаться по кругу или эллипсу. Он использовал движение этого устройства в качестве модели для анализа орбитального движения планет. Гук предложил Исааку Ньютону в 1679 году свои наработки.
Он утверждал, что составляющие орбитального движения состояли из инерционного движения по касательному направлению и привлекательного движения в радиальном направлении. Это сыграло свою роль в формулировке Ньютоном закона всемирного тяготения. Роберт Гук также был ответственным за то, что ещё в 1666 году предположил, что маятник можно использовать для измерения силы тяжести.
Во время своей экспедиции в Кайенна (Французская Гвиана) в 1671, Жан Рише обнаружил, что там часы с маятником шли на 2,5 минуты медленнее, чем в Париже. Из этого он сделал вывод, что сила гравитации была ниже в Кайенне. В 1687 году Исаак Ньютон в Principia Mathematica показал, что это произошло потому, что Земля была не настоящей сферой, а слегка сплюснутой (сплющенной на полюсах) от действия центробежной силы из-за её вращения, это и вызывает увеличение силы гравитации.
Портативные маятники стали совершать рейсы в дальние страны, в качестве прецизионных гравиметров для измерения ускорения свободного падения в разных точках Земли, что в итоге привело к определению точной модели формы планеты. Затем последовало превращение исследований и выводов учёных в новые классы приборов, с дополнительными параметрами. Например:
В 1930 году решение задачи по точному хронометражу было найдено, в 1921 был изобретён кварцевый генератор.
Система параметров маятника
Одним из механических объектов, демонстрирующих периодическое движение, является маятник.
Маятник-это устройство, которое движется вперед и назад, когда на него воздействует внешняя сила. Параметры маятника зависят от его длины, момента инерции и других условий. Устройства по этому принципу широко используются в часах, сейсмометрах и метрономах.
Когда на маятник воздействует внешняя сила из своего равновесного положения, он поднимается, а затем опускается под действием гравитационной силы. Угловая скорость увеличивается, когда частица находится в своей самой низкой точке, и уменьшается, когда частица достигает своей высшей точки.
История открытия
Маятники использовались в качестве сейсмометра для измерения землетрясений в первом веке династии Хань. После этого они были использованы для измерения времени египетским астрономом Ибн Юнусом в десятом веке.
Итальянский физик и астроном Галилео Галилей открыл принцип колебательного движения маятника и попытался изучить параметры и свойства этого простейшего устройства.
Заинтригованный, Галилей решил измерить, сколько времени уходит на каждый взмах, используя единственное приблизительно периодическое событие, к которому он был готов: биение собственного пульса. Он обнаружил кое-что интересное: число ударов сердца между качаниями люстры было примерно одинаковым, независимо от того, были ли качели широкими или узкими. Величина колебаний — как далеко качался маятник взад и вперед-не влияла на частоту этих колебаний.
В своих экспериментах Галилей установил, что параметр время, необходимое для возвратно-поступательного движения маятника заданной длины, остается неизменным, даже если его дуга, или амплитуда, уменьшается. Определив параметры маятника Галилей открыл изохронизмы, наиболее важные характеристики, которые делают их полезными для измерения времени.
Галилей открыл такие свойства и параметры маятника, как: временная и периодическая независимость маятника от его амплитуды и массы.
Он сказал, что период маятника прямо пропорционален квадратному корню из длины маятника. Кроме того в истории телескопа он также поучаствовал. Первые маятниковые часы были сконструированы сыном Галилея в 1641 году.
Маятник, происходящий от латинского слова «pendulus», означающего «висящий», — это тело, которое висит на неподвижной точке, которая, когда ее тянут назад и отпускают, качается взад и вперед.
Существует множество применений маятника в повседневной жизни. Некоторые примеры могут быть маятниковыми часами, которые использовались в качестве хранителя времени, метрономом, который используется для поддержания скорости музыки, акселерометрами, которые измеряют значения ускорения, и сейсмометрами, которые используются для измерения землетрясений.
Возможно, самым известным маятником является Маятник Фуко, который показал вращение Земли в середине 1800-х гг.
Почти в каждом крупном научном музее есть маятник, который можно увидеть в движении.
Система параметров устройства маятника
Инерция
Инерция маятника — сопротивление физического объекта — это то, что заставляет его качаться прямо и вверх. Нисходящая сила тяжести, которая заставляет два объекта притягиваться друг к другу, — это то, что тянет маятник прямо назад. Другая сила, сопротивление воздуха, определяющая скорость движения маятника, заставляет его раскачиваться по более коротким дугам.
Период
Период — это количество времени, которое требуется, чтобы сделать одно качание. Период маятника длиной 1 метр составляет 2 секунды.
Период связан с длиной устройства, но эта зависимость не линейна. Параметр маятника в виде периода, который в два раза длиннее другого, не просто имеет период, который также в два раза длиннее.
Амплитуда
Амплитуда-это максимальное смещение из равновесного положения. Когда маятник находится в покое, а не качается, он висит прямо вниз. Это положение называется «положением равновесия». Это положение удобно рассматривать как исходное, упомянутое в определении как «начало координат». При таком происхождении положение изменяется влево и вправо от начала координат. Величина наибольшего расстояния от начала координат называется амплитудой. Предмет качается на расстояние, равное амплитуде слева, а затем качается на расстояние, равное амплитуде справа.
Скорость
Скорость говорит о скорости изменения положения. Во всех случаях есть две вещи, чтобы указать скорость: скорость и направление скорости. Скорость измеряется в метрах в секунду или м/с. Направление описывается стрелкой, указывающей направление движения, или углом между этой стрелкой и исходным направлением, используемым для определения положения.
Ускорение
Ускорение — это скорость изменения скорости. Единицами измерения являются метры в секунду в квадрате или м/сек2. Указывается как величину ускорения, так и его направление. Если направление ускорения совпадает с направлением скорости, то объект ускоряется. Если направление ускорения противоположно скорости, то объект замедляется. Если направление ускорения перпендикулярно направлению скорости, то величина скорости не изменяется, но направление скорости изменяется.
Ускорение отличается от скорости удивительным образом, лучше всего описанным в трех шагах, если
Единственный способ, которым объект ускорится (изменит скорость), — это если он вынужден это сделать. Разумно сказать, что сила имеет направление, и это направление совпадает с направлением ускорения. Большая сила вызывает большее ускорение.
Равнодействующая сила
Равнодействующая сила — это сила, возникающая в результате сочетания двух или более сил. Две силы, действующие на маятник, — это сила тяготения, тянущая прямо вниз, и сила вращения, тянущая вдоль струны к оси. Эти две силы объединяются, чтобы произвести результирующую силу. Точно так же, как стрела толкается вперед двумя половинами тетивы, объект толкается равнодействующей силой, стрела которой «расщепляет» две составляющие силы стрелы.
Гравитация
Гравитация — это название явления, которое одновременно знакомо и загадочно. Нас так уверенно тянет к Земле, что мы принимаем это как должное. Мы используем это явление, чтобы сидеть, ходить, бегать и играть в догонялки.
Экспериментально установлено, что объект, которому позволено свободно падать под действием силы тяжести, ускоряется. Поскольку объект должен быть вынужден ускоряться, должна существовать сила, связанная с гравитацией; мы называем ее силой тяготения. Направление силы тяжести — вниз. На самом деле направление силы тяжести определяет то, что мы подразумеваем под словом «вниз».
Плоскость колебаний
Две силы: гравитация и струна определяют плоскость. Плоскость также определяется струной маятника и направлением вниз. Равнодействующая сила направлена вдоль линии, лежащей в этой плоскости. Ускорение также направлено вдоль линии, лежащей в этой плоскости.
Если объект оттянут назад и освобожден от покоя, скорость направлена вдоль той же линии, что и ускорение, и объект движется вдоль той же линии. Путь лежит вдоль плоскости, определяемой струной и гравитацией. Этот путь лежит в плоскости колебаний.
Поскольку струна и гравитация лежат в плоскости, предполагается, что плоскость колебаний никогда не изменится.
Вращение
Если положение объекта изменяется вдоль круговой траектории, говорят, что объект вращается вдоль этой окружности. Секундная стрелка аналоговых часов вращается по часовой стрелке. Особенность маятника Фуко состоит в том, что плоскость колебаний немного меняет направление по часовой стрелке в северном полушарии из-за суточного вращения Земли.
Работа
Работа — это расстояние, на которое перемещается объект, умноженное на силу, которая толкнула его на это расстояние.
Работа может быть положительной или отрицательной. Если объект движется в том же направлении, что и сила (например, когда грузовик разгоняется), то работа положительна. Если объект движется в направлении, противоположном силе (например, когда грузовик тормозит и замедляется), работа отрицательна.
Когда сила тяжести тянет вниз на предмет, который был сброшен, сила тяжести делает положительную работу на объекте.
Кинетическая энергия
Когда объект оттягивается назад и освобождается от покоя, сила тяжести положительно воздействует на него, когда он качается вниз. После того, как объект проходит через низшую точку, он качается обратно вверх, и во время этого подъема сила тяжести делает отрицательную работу, заставляя его остановиться на вершине качания.
На самом деле, объект качается назад на ту же высоту, что и высота выпуска, поэтому отрицательная работа гравитации на подъеме имеет тот же размер, что и положительная работа гравитации на спуске.
Это похоже на превращение энергии и на то, как если бы работа хранилась некоторое время, а затем возвращена обратно. При преобразовании в скорость работа, как говорят, преобразуется в кинетическую энергию. Говорят, что работа преобразуется в кинетическую энергию, когда работа делается для увеличения скорости.
Потенциальная энергия
Когда маятник оттянут назад, он готов качнуться вниз, приобретая кинетическую энергию. Количество кинетической энергии, которое он способен приобрести, определяется тем, насколько высоко был поднят объект, когда его потянули назад.
Поскольку объект обладает потенциалом для получения этой кинетической энергии, говорят, что он обладает «потенциальной энергией». Получается, что потенциальная энергия пропорциональна высоте над самой нижней точкой качания.
Таким образом, параметры маятника — период, инерция, скорость, ускорение, гравитация, вращение, работа, потенциальная и кинетическая энергии задают свойство этого простейшего механического устройства.