какие системы счисления называются непозиционными

Непозиционные системы счисления

Непозиционной называется система, в которой число представляется совокупностью узловых и алгебраических чисел. Положение цифры в записи при этом не имеет значения.

Немного истории

Непозиционная система была одной из первых, которую стали использовать люди. Самой древней из них является египетская (2,5-3 тыс. лет до нашей эры). Числа в ней записывались с помощью иероглифов, которые подчинялись «принципу сложения». Аналогичный принцип был у греческой, римской и других систем счисления древности.

Древнеегипетская система

В древнеегипетской системе счисления в качестве цифр использовались единица и десятичные разряды: 10, 100, 1000 и так далее.

Поэтому запись чисел в данной системе была еще более длинной, по сравнению с римской:

Римская система

Римские числа знакомы всем еще со школы. Алфавит этой системы счисления состоит из цифр 1, 5 и ряда десятичных разрядов:

Данные основные (узловые) числа используются для записи других чисел путем сложения ли вычитания меньшего числа из большего. При этом числа I, X, C, M не повторяются более трех раз, а V, L, D не могут идти друг за другом вовсе.

Запись больших чисел в такой системе выглядит громоздко:

2589 = 2000 + 500 + 80 + 9 = MM + D + LXXX + IX = MMDLXXXIX

И правильно прочитать его, следует мысленно разбить его на разряды.

Древнегреческая система

В основе данного вида счисления Древней Греции лежал алфавит, схожий с римским:

Затем ему на смену пришел ионийский, который предполагал использование букв греческого алфавита.

Чтобы записать какое-либо число, греки использовали принцип совокупности используемых цифр. Из прочих непозиционных систем греческая является наиболее упрощенной.

Минусы непозиционных систем

Основная сложность работы с данными системами счисления состоит в записи больших чисел. Их написание может быть слишком объемным и сложным для чтения. Если же упрощать запись за счет введения новых цифр, как в греческой системе, требуется создавать большой алфавит, что тоже неудобно.

Источник

Какие системы счисления называются непозиционными

Электронные облака

Лекции

Рабочие материалы

Тесты по темам

Template tips

Задачи

Логика вычислительной техники и программирования

Лекция «Системы счисления»

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Символы, при помощи которых записывается число, называются цифрами.

В конце концов, самой популярной системой счисления оказалась десятичная система. Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась не позднее VI в. н. э. В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит. В числе 444 три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен. А вот в числе 400 первая цифра обозначает число сотен, два 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры 4.

Классификация систем счисления

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Позиционные системы счисления

Путем долгого развития человечество пришло к созданию позиционного принципа записи чисел, который состоит в том, что каждая цифра, содержащаяся в записи числа, занимает определенное место, называемое разрядом. Отсчет разрядов производится справа налево. Единица каждого следующего разряда всегда превосходит единицу предыдущего разряда в определенное число раз. Это отношение носит название основание системы счисления (у непозиционных систем счисления понятия «разряда» и «основания» отсутствуют).

Общее свойство всех позиционных систем счисления: при каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. Например: Римская система счисления.

Из многочисленных представителей этой группы в настоящее время сохранила свое значение лишь римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:

С их помощью можно записывать натуральные числа. Например, число 1995 будет представлено, как MCMXCV (М-1000,СМ-900,ХС-90 и V-5).

Правила записи чисел в римской системе счисления:

Например, запись XXX обозначает число 30, состоящее из трех цифр X, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа, равна 10. Запись MCXX1V обозначает 1124, а самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число MMMCMXCIX (3999). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить все новые обозначения. По этой причине, а также по причине отсутствия цифры ноль, римская система счисления не годится для записи действительных чисел.

Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных систем счисления:

Алфавит и основание системы счисления

Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например:
Десятичная система: <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9>
Двоичная система: <0, 1>
Восьмеричная система: <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7>
Шестнадцатеричная система:

Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля.

Развёрнутая форма представления числа

Системы счисления, используемые в вычислительной технике

Несмотря на то, что исторически человек привык работать в десятичной системе счисления, с технической точки зрения она крайне неудобна, так как в электрических цепях компьютера требовалось бы иметь одновременно десять различных сигналов. Тем не менее, такие схемы существуют в некоторых видах микрокалькуляторов.

Чем меньше различных сигналов в электрических цепях, тем проще микросхемы, являющиеся основой конструкции большинства узлов ЭВМ, и тем надежнее они работают.

Наименьшее основание, которое может быть у позиционных систем счисления это – двойка. Именно поэтому двоичная система счисления используется в вычислительной технике, а двоичные наборы приняты за средство кодирования информации. В компьютере имеются только два устойчивых состояния работы микросхем, связанных с прохождением электрического тока через данное устройство (1) или его отсутствием (0). Говоря точнее, (1) кодирует высокое напряжение в схеме компьютера, а (0) – низкое напряжение.

Если вспомнить, что двоичная система счисления обладает самыми маленькими размерами таблиц сложения и умножения, то можно догадаться, что этот факт должен сильно радовать конструкторов ЭВМ, поскольку обработка сигнала в этом случае будет также самой простой. Таким образом, двоичная система счисления, с точки зрения организации работы ЭВМ, является наилучшей.

Мы уже говорили о преимуществах двоичной системы счисления с технической точки зрения организации работы компьютера. Зачем нужны другие системы счисления, кроме, естественно, еще и десятичной, в которой человек привык работать? Чтобы ответить на него, возьмем любое число в десятичной системе счисления, например 255, и переведем его в другие системы счисления с основаниями, кратными двойке:

Чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для его записи то есть, тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности. Поэтому, наряду с двоичной и десятичной системами счисления, в вычислительной технике применяют так же запись чисел в 8-и 16-ричных системах счисления. Поскольку их основания кратны двойке, они органично связаны с двоичной системой счисления и преобразуются в эту систему наиболее быстро и просто (по сути они являются компактными видами записи двоичных чисел). Все другие системы счисления представляют для вычислительной техники чисто теоретический интерес.

Решение задач

1. Какое число записано с помощью римских цифр: CLVI

Решение: Зная обозначения, запишем: С – 100; L – 50; V – 5; I – 1

Решение: Пользуемся формулой:

a1 = 3; a2 = B; a3 = F; a4 = A

Следовательно: 3ВFA₁₆ = 3*16 3 + B*16 2 + F*16 1 + A*16 0
Ответ: 3ВFA₁₆ = 3*16 3 + B*16 2 + F*16 1 + A*160

3. Запишите в свёрнутой форме число 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0

Решение: Пользуемся формулой:

Следовательно: 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 147₈
Ответ: 1*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 1478

Алгоритмы перевода в системы счисления по разным основаниям

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Алгоритм перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в любую другую

Алгоритм перевода произвольных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием q=2 n

Решение задач

1. Переведём в 10-ую с.с. число: 0,123₅

Решение: Действуем строго по алгоритму перевода чисел из любой системы счисления в десятичную:

Найдём сумму ряда: 0,2 + 0,08 + 0,024 = 0,304₁₀

Ответ: 0,123₅ = 0,304₁₀

2. Переведём число 126₁₀ в 8-ую с.с. и число 180₁₀ в 16-ую с.с.
Решение: Действуем строго по алгоритму перевода целых чисел из 10-ой с.с. в любую другую:

Во втором примере процесс можно продолжать бесконечно. В этом случае деление продолжаем до тех пор, пока не получим нужную точность представления. Записываем числа сверху вниз.

Ответ: 0,65625₁₀ = 0,А8₁₆; 0,9₁₀ = 1,111001₂ с точностью до семи значащих цифр после запятой.

4. Переведём число 124,26₁₀ в шестнадцатеричную с.с.
Решение: Действуем строго по алгоритму перевода произвольных чисел:

Переводим целую и дробную часть:

Записываем полученные числа справа налево (в целой части) и сверху вниз (в дробной части).
Ответ: 124,26₁₀ = 7С,428А₁₆

5. Переведём число: 1100101001101010111₂ в шестнадцатеричную систему счисления

Решение: Действуем строго по алгоритму перевода чисел из 2-ой с.с в с.с. с основанием 2 n :

Источник

Непозиционные системы счисления

Здравствуйте, на этой странице рассмотрим одну из важных тем в информатике – а именно непозиционные системы счисления. Здесь вы узнаете, что является непозиционными системами, и познакомитесь с основными определениями, которые относятся к этой теме. Также затронем их отличия от позиционных нумераций и приведем достоинства и недостатки.

Определение непозиционной системы счисления

Непозиционными являются нумерации, где положение цифры в числе (разряд) не влияет на её значение.

Чтобы разобраться конкретно в том, что здесь написано, выберем самое популярное исчисление, которое называется десятичным. Вы все с ним знакомы. Им пользуются люди в большинстве стран мира. Алфавит десятичной нумерации состоит из арабских знаков – чисел от 0 до 9. Данный вид записи является позиционным. Почему, спросите вы? Всё просто. В качестве примера приведем два числа – 1000 и 10. Смотрите на цифру один – в зависимости от того, какое место она занимает в числе, меняется значение, которое она обозначает. В числе 1000 – тысячи, а 10 – десятки.

В непозиционных представлениях все обстоит совсем иначе. Давайте приведем в пример Римскую нотацию. Её вы тоже видели и с ней знакомы. Вспомните – в книгах по истории с помощью неё представляются века и номера монархов. Как пример, Петр I или Иван IV Грозный. Обратите внимание на I и IV, которые в арабском виде запишутся как 1 и 4. Здесь значение единицы не изменяется от того, какое место она занимает. На первом месте она стоит или на втором – неважно.

Историками считается, что исчисления, которые называются непозиционными, ведут свои корни от глубокой древности – это первые формы для счета, которые использовал человек. Поговорим дальше про их виды и разберем недостатки.

Примеры непозиционных систем счисления

Унарная непозиционная

Еще называется непозиционной единичной. Скорее всего, вы уже догадались, почему она так называется. Дело в том, что в этой форме записи используется только один знак. Это представление применяли древнейшие люди. Для записи значений использовались насечки на костях животных или стенах пещеры. Также в обиходе были зарубки на дереве. Используется до сих пор. Вспомните сериалы, где заключенные отсчитывают свои дни в неволе. Также применяется для обучения детей счету – так называемый пальцевый метод.

Унарная сс – отметки на кости

Римская непозиционная

Её мы уже привели выше. Используется до сих пор. В качестве алфавита здесь применяются латинские буквы, такие как V, I, D, M, C, X, L. Всё остальное же получается с помощью различного написания этих символов – здесь используются принципы вычитания и сложения. Так если младший разряд записывается перед старшим, то он вычитается. Если же наоборот, то складывается. Есть у неё и еще одна особенность – нет 0, который является отсутствием числа. Ниже приведена небольшая табличка с расшифровкой римских цифр.

Римское непозиционное счисление появилось в Риме на самом пике процветания империи. Однако и после того как империя распалась этим счислением пользовались еще очень долго. Она использовалась в Европе до 1200х годов, пока великий математик Леонардо Фибоначчи не издал трактат – “Книга Абака”. В нем ученый показывал превосходство позиционных систем над непозиционными.

Египетская непозиционная

Возникла в третьем тысячелетии до нашей эры. Все значения записывались здесь с помощью иероглифов. Каких-то особых правил здесь не существовало – все числовые значения просто складывались. Также не было и правил, которые относятся к записи – последовательность могла быть записана, как слева на право, так и справа налево. Иероглифы могли занимать любой разряд. Ниже приведена табличка со значениями некоторых из них.

Алфавитные системы счисления

Стоит отметить эти формы записи. Здесь все очень просто – каждой букве алфавита сопоставлялась цифра. Стоит отметить, что эти непозиционные системы являются более совершенными, чем все предыдущие, поскольку имелись обозначения десятков и сотен. К недостаткам можно отнести их сложность. Здесь можно выбрать два популярных примера.

Славянская

Использовалась нашими предками во времена древней Руси. Первые записи о ней в летописи временных лет появляются с начала десятого века. Каждой букве глаголицы соответствовало некоторое число. Полностью вышла из использования во времена Российской Империи в восемнадцатом веке, её место заняло десятичное исчисление. Пользуемся мы им, и посей день.

Греческая

Она же называется непозиционной новогреческой или ионийской. Упоминания о ней датируются третьим веком до нашей эры. Здесь счет велся буквами, которые употреблялись в римской письменности. Пришла на смену старогреческому формату. По сути, непозиционное кириллическое представление является её копией.

Достоинства и недостатки. Возможность использования в информатике и других науках.

К достоинствам можно отнести только их простоту. Как мы уже говорили выше, та же унарная непозиционная система применяется для обучения детей. Однако недостатков у них гораздо больше и они очень существенные:

Всё эти недостатки делают их использование в математике и информатике непрактичным.

Заключение

В качестве итогов можно сказать, что после прочтения этого материала вы имеете полное представление о том, что называется непозиционными системами счисления, овладели нужным определением. Знаете виды, которые использовали разные народы в различных частях земного шара. Теперь вы имеете представление о том, как считали люди в Риме, Египте, Греции и древней Руси. Знаете их плюсы и минусы. Понимаете, почему нельзя использовать их в информатике. Как по мне тема достаточно легкая, но очень интересная. При возникновении вопросов задайте их в комментариях к этой записи. Буду рад на них ответить. Также вы можете почитать другие материалы, которые затрагивают информатику на нашем сайте.

Источник

Какие системы счисления называются непозиционными

Что таоке непозиционная система счисления в информатике

В информатике используют позиционный и непозиционный метод записи чисел. Позиционный способ предполагает представление числовых обозначений в определенной последовательности для сохранения величины числа.

Непозиционная система счисления – это способ записи числа с помощью символов, в котором изменение положения знаков не влияет на значение величины числа.

Разновидности непозиционных систем счисления с примерами

Существует несколько видов непозиционной системы исчисления.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Биномиальная

В данном методе для записи чисел применяются биноминальные коэффициенты.

Биноминальные коэффициенты – это объединение количества сочетаний, определенное лишь для неотрицательных целых чисел. Такие обобщения зачастую возникают в задачах, требующих перебора всех возможных вариантов ответов, а также в теории вероятности.

Число x в рассматриваемой системе представляет собой сумму биноминальных коэффициентов:

Биноминальные числа бывают:

Пример преобразования матричной формы в линейную:

Каждой составляющей матрицы соответствует один биноминальный коэффициент. При сложении коэффициентов, соответствующих единицам в матрице, получится количественный эквивалент.

Применение биноминальных чисел:

Греческая

Греческая система счисления – это метод представления числа с помощью букв греческого алфавита и некоторых знаков доклассического периода. Другие названия данного способа – ионийская, новогреческая.

В Греции рассматриваемый алфавитный способ записи чисел стал применяться в III веке до н.э. Буквы греческого алфавита соответствуют следующим числам:

С помощью ионийской системы можно записать лишь числа от 1 до 999.

Римская

Римская система исчисления – это метод числовой записи посредством использования символов латинского алфавита.

Соответствие букв латиницы числовому значению:

Для представления чисел десятичной системы счисления в виде римских букв работают следующие правила:

При переводе числа 67 в римскую систему счисления получаем следующий набор латинских букв: LXVII = (50 + 10) + (5 + 2) = 60 + 7.

Применение данной системы исчисления:

Древнеегипетская

Способ записи чисел, используемый в Древнем Египте, основывался на иероглифах. С помощью этих символов записывались основные числа 1, 10, 100 и т.д. Другие числовые значения получались с помощью сложения ключевых чисел.

Действие производилось в следующей последовательности:

Вавилонская

Вавилонская система исчисления – это позиционный метод записи чисел с основанием 60, применявшийся в Древнем Вавилоне. Это первая известная шестидесятеричная система.

В данной системе счисления числа записываются справа налево в порядке убывания: сотни, десятки, единицы. Досчитав до 60, отмечают новый числовой ряд, запись чисел вновь начинается с 1.

Цифрами вавилонского числового метода считались клинья, разные для записи единиц, десятков и нуля.

В измерении времени: час состоит из 60 минут, а минуты – из 60 секунд.

В измерении углов: градус равен 60 минутам, а минута – 60 секундам.

Система счисления майя

Цифры майя – это позиционная запись чисел с основанием 20, используемая племенами майя.

Рассматриваемый способ исчисления состоял из нуля и 19 сложных цифр. Ноль имел обозначение пустой ракушки. Цифры составлялись из точки и горизонтальной черточки. Точка означала единицу, черта – пятерку.

Цифры майя применялась в календарных расчетах. В бытовых целях использовали непозиционный метод записи. Об этом свидетельствует то, что в позиционной системе счисления цивилизации майя имеется больше чисел, чем необходимые 12.

Источник

Системы счисления. Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например, чтобы цифры располагались по убыванию.

Существуют такие непозиционные системы счисления:

— Единичная система счисления,

— Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),

— Древнеегипетская система счисления,

— Вавилонская система счисления,

— Алфавитные системы счисления,

— Еврейская система счисления,

— Греческая система счисления,

— Римская система счисления,

— Система счисления майя,

Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления.

Единичная система счисления.

С первых попыток научиться считать у людей возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная.

Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.

В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.

У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число, тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.

Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система счисления.

В Древнем Египте использовали свои символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Вот некоторые из них:

Почему мы ее называем десятичной? Как указано выше — люди начали группировать символы. В Египте — решили группировать по 10, оставив без изменений цифру “1”. Здесь, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а все символы — представление числа 10 в определенной степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывали, в виде комбинаций таких символов, и все они повторялись не больше 9 раз. Результатом было сумма элементов числа. Этот метод получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Для примера посмотрите на запись числа 345:

Вавилонская шестидесятеричная система счисления.

В вавилонской системе счисления использовали только 2 символа: “прямой” клин — для единиц и “лежащий” — для десятков. Для определения значения числа нужно изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. Для примера посмотрим на число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной системы счисления.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а значения больше 59 — в позиционной с основанием 60. Например, число 92:

Запись числа была не конкретной, так как не было цифры, которая обозначала бы нуль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа они ввели новый символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Значит, число 3632 записывают так:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, которая частично основана на позиционном принципе. Эту систему счисления используют и сейчас, например, для определения времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система счисления.

Римская система счисления немного похожа с египетской. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используют заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Способы определения значения числа:

Источник