какие существуют виды геометрии

Геометрия

Содержание

Классификация

Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.

Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы.

По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы.

История

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом.

Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием.

Средние века немного дали геометрии, и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями.

Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.

Источник

Что такое геометрия? Наука геометрия

Геометрия является важной частью математики, которую начинают изучать в школах с 7 класса в качестве отдельного предмета. Что такое геометрия? Что она изучает? Какие полезные выводы можно из нее извлечь? Все эти вопросы подробно рассматриваются в статье.

Понятие о геометрии

Вам будет интересно: Гудериан Гейнц: биография, личная жизнь, семья, карьера

В ходе своего развития геометрия обзавелась набором понятий, которыми она оперирует с целью решения различных задач. К таким понятиям относятся точка, прямая, плоскость, поверхность, отрезок, окружность, кривая, угол и другие. Основой этой науки являются аксиомы, то есть концепции, связывающие геометрические понятия в рамках утверждений, которые принимаются в качестве истинных. На основании аксиом строятся и доказываются теоремы.

Когда появилась эта наука

Вам будет интересно: «Временный» или «временной»: как правильно? Разница между словами

Что такое геометрия с точки зрения истории? Здесь следует сказать, что она является очень древним учением. Так, ее использовали древние вавилоняне при определении периметров и площадей простых фигур (прямоугольников, трапеций и др.). Развита она была и в Древнем Египте. Достаточно вспомнить знаменитые пирамиды, строительство которых было бы невозможно без знания свойств объемных фигур, а также без умения ориентироваться на местности. Отметим, что знаменитое число «пи» (его приблизительное значение), без которого невозможно определить параметры круга, было известно египетским жрецам.

Разрозненные знания о свойствах плоских и объемных тел были собраны в единую науку только во времена Античной Греции благодаря деятельности ее философов. Самым важным трудом, на котором основываются современные геометрические учения, являются «Элементы» Евклида, которые были им составлены приблизительно в 300 году до нашей эры. Около 2000 лет этот трактат являлся основой для каждого ученого, который занимался исследованием пространственных свойств тел.

В XVIII веке французский математик и философ Рене Декарт заложил основы так называемой аналитической науки геометрии, которая описывала с помощью численных функций любой пространственный элемент (прямую, плоскость и так далее). С этого времени начинают появляться многие ветви в геометрии, причиной существования которых является пятый постулат в «Элементах» Евклида.

Евклидова геометрия

Что такое геометрия Евклида? Это достаточно стройное учение о пространственных свойствах идеальных объектов (точек, прямых, плоскостей и т.д.), которое основывается на 5 постулатах или аксиомах, изложенных в труде под названием «Элементы». Аксиомы приведены ниже:

Евклидова геометрия составляет основу любого современного школьного курса по этой науке. Более того, именно ею человечество пользуется в ходе своей жизнедеятельности при конструировании зданий и сооружений и при составлении топографических карт. Здесь важно отметить, что набор постулатов в «Элементах» не является полным. Он был расширен немецким математиком Давидом Гильбертом в начале XX века.

Виды евклидовой геометрии

Мы разобрались, что такое геометрия. Рассмотрим, какие ее виды бывают. В рамках классического учения принято выделять два вида этой математической науки:

Неевклидовы геометрии

Что такое геометрия в ее широком понимании? Помимо привычной нам науки о пространственных свойствах тел, существуют также неевклидовы геометрии, в которых пятый постулат в «Элементах» нарушается. К ним относятся эллиптическая и гиперболическая геометрии, которые были созданы в XIX веке немецким математиком Георгом Риманом и русским ученым Николаем Лобачевским.

Изначально полагали, что неевклидовы геометрии имеют узкую область применения (например, в астрономии при изучении небесной сферы), а само физическое пространство является евклидовым. Ошибочность последнего утверждения показал Альберт Эйнштейн в начале XX века, разработав свою теорию относительности, в которой он обобщил понятия пространства и времени.

Геометрия в школе

Как было сказано выше, изучение в школе геометрии начинается с 7 класса. При этом школьникам демонстрируют основы планиметрии. Геометрия 9 класса уже включает изучение трехмерных тел, то есть стереометрию.

Главная задача школьного курса состоит в том, чтобы развить у школьников абстрактное мышление и воображение, а также научить их мыслить логически.

Многие исследования показали, что при изучении этой науки у школьников наблюдаются проблемы с абстрактным мышлением. Когда формулируется для них геометрическая задача, они часто не понимают ее суть. У старшеклассников к проблеме с воображением добавляются трудности понимания математических формул для определения объема и площади поверхности разверстки пространственных фигур. Часто старшеклассники при изучении геометрии 9 класса не знают, какой формулой следует воспользоваться в конкретном случае.

Школьные учебники

Существует большое количество учебных пособий для обучения школьников этой науке. Одни из них дают только базовые знания, например, учебники Л. С. Атанасяна или А. В. Погорелова. Другие преследуют цель углубленного изучения науки. Здесь можно выделить учебник А. Д. Александрова или полный курс геометрии Бевза Г. П.

Поскольку в последние годы для сдачи всех экзаменов в школе введен единый стандарт ЕГЭ, стали необходимы учебники и решебники, которые позволяют ученику быстро самостоятельно разобраться с необходимой темой. Хорошим примером таких пособий можно назвать геометрию Ершовой А. П., Голобородько В. В.

Любой из названных выше учебников имеет как положительные, так и отрицательные отзывы со стороны учителей, поэтому преподавание в школе геометрии часто осуществляется с использованием нескольких учебников.

Источник

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР

ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР. Геометрия – раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми представлениями об элементарной геометрии, а также о законах арифметики и алгебры.

Начала Евклида начинаются с определений и аксиом, затем идут пять постулатов, из которых первые четыре утверждают: между любыми двумя точками можно провести прямую; любую прямую можно продолжить бесконечно; из всякого центра любым радиусом можно описать окружность; все прямые углы равны между собой. Ретроспективно постичь эти идеи не так уж трудно. Однако осознать их в качестве свойств нашего понятия пространства и абстрагировать таким образом, чтобы их можно было организовать в непротиворечивую систему, непросто; это явилось в свое время одним из величайших достижений человечества. Изложение Евклида было не лишено недостатков, о которых у нас пойдет речь ниже, но дерзость, с которой он осуществил свой замысел, не может не восхищать. В частности, столкнувшись с проблемой определения природы геометрического места точек плоскости р, находящихся на заданном расстоянии d от прямой l, лежащей в плоскости р, Евклид принял формальное предположение – пятый постулат (постулат о параллельных). Согласно этому постулату, если точка Р, принадлежащая плоскости р, не лежит на прямой l, лежащей в плоскости р, то существует только одна прямая l ў в р, проходящая через точку Р, такая, что каждая точка прямой l ў находится на одном и том же расстоянии d от прямой l; говорят, что l ў «параллельна» l (рис. 2). Пятый постулат расходится с наблюдениями внешнего мира: обычно нам кажется, что параллельные прямые (например, железнодорожные рельсы) сходятся на горизонте. К этому вопросу мы в дальнейшем еще вернемся.

Начала Евклида состояли из 13 книг, в которых систематически изложены математические знания его времени относительно пространственных понятий, включая геометрическое представление рациональных чисел.

Среди тех, кто жил и творил после Евклида, выделяется прежде всего Архимед (ок. 287–212 до н.э.), чьи взгляды на мир были гораздо шире. Для него непременным атрибутом внешнего мира является движение и все, что с ним связано. Архимед заложил основы механики как науки, а также предвосхитил методы интегрального исчисления, которые впоследствии вошли в т.н. математический анализ. Именно Архимеду принадлежит заслуга осознания весьма любопытного факта, составляющего неотъемлемую часть нашего понимания пространства. Мы предполагаем, что можем достичь любой точки на прямой, сделав достаточное число шагов одной и той же длины. Это кажущееся очевидным допущение, ныне известное как аксиома Архимеда, играет важную роль в основаниях геометрии. Ранее в этой связи философ Зенон в 5 в. до н.э. поднял ряд трудных вопросов об истолковании понятий «точка» и «прямая», ставших головной болью философов и математиков вплоть до 19 в. Одна из знаменитых «апорий» (парадоксов) Зенона заключалась в том, что бегун, прежде чем добежать до конца дистанции, должен добежать до ее середины, а до этого – до середины половины дистанции и т.д., т.е. должен побывать в бесконечно многих точках, а сделать это за конечное время невозможно. Таким образом, бегун никогда не добежит до конца дистанции!

Аполлонию Пергскому, великому современнику Архимеда, мы обязаны созданием теории кривых, которые получаются при сечении конуса плоскостью. Ныне трудно оценить искусство, которое было необходимо для изучения всех фокальных и центральных свойств «конических сечений» с помощью построений циркулем и линейкой. Нам остается только констатировать, что с переходом к современным методам исследований осталось открыть лишь очень немногие свойства сечений (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

С именем последнего из греческих геометров Паппа Александрийского (ок. 250 – ок. 300) связана одна знаменитая теорема, утверждающая, что если точки А, В, С лежат на прямой l, а точки Аў, Вў, С ў – на прямой lў, то точки пересечения L, M и N прямых АВ ў и А ўВ, прямых АСў и АўC и прямых ВС ў и ВўС соответственно лежат на одной прямой (рис. 3). Это свойство точек и прямых не зависит от длины и расстояний; доказав свою теорему, Папп перебросил мост между греческой эпохой и начавшейся в 17 в. новой эрой великих математических открытий (см. также ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Аналитическая геометрия.

В Средние века Средиземноморская цивилизация постепенно распространилась на север и на запад, но серьезный интерес к математике так и не возродился вплоть до 17 в. Знаменитая Александрийская библиотека пострадала от пожара в 47 до н.э., поэтому о развитии греческой математики до нас дошли только отрывочные сведения. И хотя, несомненно, очень многое оказалось утраченным, не все было так уж плохо, поскольку греческому подходу свойственны определенные внутренние ограничения, на преодоление которых потребовалось бы время. В частности, именно в период между античностью и 17 в. арабы, опираясь на идеи математиков Древнего Вавилона и Индии, развили алгебраическую символику, которая, будучи соединенной с греческой геометрией в трудах П.Ферма (1601–1665) и Р.Декарта (1596–1650) позволила вдохнуть в геометрию новую жизнь.

По-видимому, сама идея описания положения точки на плоскости путем соотнесения ее с двумя прямоугольными координатными осями была довольно старой, но мысль о том, что любую точку Р плоскости можно обозначить ее прямоугольными или «декартовыми» координатами (х₁, х₂) и интерпретировать уравнение f (x₁,x₂) = 0 как уравнение, задающее плоскую кривую, несомненно, была революционной. Аналогично, в пространстве мы можем обозначить любую точку тремя координатами (x₁,x₂,x₃), уравнением f (x₁,x₂,x₃) = 0 задать поверхность, а системой уравнений

– линию пересечения двух поверхностей в пространстве.

В «аналитической» геометрии число координат называется «размерностью» пространства. Наряду с евклидовой геометрией, возникшей в качестве модели внешнего мира, можно рассматривать и абстрактную, не имеющую прямого к нему отношения геометрию пространства n измерений, где n – любое целое положительное число. В таком n-мерном пространстве точка определяется n координатами (x₁,x₂,x₃. x_n) и уравнение f (x₁,x₂,x₃. x_n) = 0 задает некоторое (n – 1)-мерное геометрическое место точек. Обобщая, можно сказать, что система из r уравнений, где r Ј n, задает (n – r)-мерное геометрическое место точек. Если оси координат взаимно перпендикулярны, то расстояние между двумя точками P (x₁,x₂,x₃. x_n) и Q (y₁,y₂,y₃. y_n) определяется обобщенным соотношением Пифагора

Из других обобщений теоремы Пифагора выводятся тригонометрические функции.

Теперь мы располагаем всем необходимым, чтобы ввести понятие вектора AB как направленного отрезка с началом в точке А и концом в точке В (см. также ВЕКТОР). Аналогично случаю треугольника, местонахождение вектора в пространстве неважно: вектор можно смещать при условии, что его величина и направление остаются неизменными. Величина вектора AB обозначается символом |АВ| и равна расстоянию между точками А и В. Если точки А и В имеют координаты (a₁,a₂,a₃) и (b₁,b₂,b₃), и мы запишем, что

Направление вектора AB определяется углами, которые он образует с осями координат. Обозначим эти углы a1, a2, a3. Тогда (рис. 4)

Это т.н. «направляющие косинусы» прямой АВ.

Выясним теперь, как выглядит уравнение плоскости p, проходящей через данную точку Q (y₁,y₂,y₃) и перпендикулярной вектору с координатами l₁, l₂, l₃. Из требования, чтобы точка P (x₁,x₂,x₃) лежала в плоскости p, следует, что отрезок PQ перпендикулярен этому вектору, поэтому геометрическое место таких точек задается линейным уравнением

Обратно, любое линейное относительно х₁, х₂, х₃ уравнение определяет некоторую плоскость.

Из формулы для расстояния между точками мы получаем уравнение сферы радиуса r с центром в точке Q вида

Общее уравнение второго порядка относительно х₁, х₂, х₃ задает поверхности второго порядка, или т.н. квадрики (если только оно не «факторизуется», т.е. не вырождается в произведение двух линейных множителей, задающих две плоскости). Квадрики бывают семи типов: цилиндр, конус, эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной гиперболоид, эллиптический параболоид и гиперболический параболоид. С помощью подходящего выбора координатных плоскостей уравнения центральных квадрик (эллипсоидов и гиперболоидов) можно привести к нормальному виду:

где а₁, а₂, а₃ – длины «главных полуосей»; эти поверхности симметричны относительно начала координат, которое служит центром квадрик. Хотя параболоиды не имеют центров симметрии, за нормальные формы их уравнений можно принять следующие:

(эллиптический параболоид),

(гиперболический параболоид).

Некоторые из этих поверхностей являются «линейчатыми». Это означает, что через каждую точку такой поверхности можно провести по крайней мере две прямые, целиком лежащие на этой поверхности; в результате получим два семейства прямых, любое из которых образует всю поверхность. Эти прямые называют образующими.

Если мы ограничимся рассмотрением какой-нибудь одной плоскости, например, положив для этого в уравнении квадратичной поверхности x₃ = 0, то получим уравнения конических сечений – кривых, по которым эти поверхности пересекают плоскость x₃ = 0. Это – эллипс (частным случаем которого является окружность), гипербола и парабола (см. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ; КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).

Исследование геометрических мест точек, заданных уравнениями, порядок которых больше двух, значительно сложнее. В 1704 И.Ньютон (1643–1727) классифицировал кубические кривые, и с тех пор кривые и поверхности третьего и четвертого порядков стали предметом интенсивного изучения. Хотя методы Декарта существенно упростили идеи греческой геометрии, они же породили много новых трудностей. Некоторые из этих трудностей были преодолены с помощью средств, которыми располагал математический анализ 19 в. Справиться с другими удалось лишь позднее, когда была создана т.н. алгебраическая геометрия (см. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Интересно отметить, что аналитическая геометрия Ферма и Декарта появилась как раз в то время, когда И.Кеплер (1571–1630), исходя из многочисленных астрономических наблюдений, сделал вывод о том, что планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Это подготовило почву для открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Природа даже тогда, когда речь шла о местоположениях далеких планет, соответствовала описанию человеком его представлений о пространстве! Нужно ли удивляться, что для Ньютона «абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным». Для великого современника Ньютона Г. фон Лейбница (1646–1716) пространство было совокупностью всех возможных отношений расстояния. В следующем разделе мы будем понимать слово «пространство» в более ограниченном смысле.

Проективная геометрия.

Наступление 17 в. ознаменовалось настоящим взрывом научной активности. В развитии математики началась новая эра; наряду с Декартом Ж.Дезарг (1593–1662) и Б.Паскаль (1623–1662) попытались по-новому и критически взглянуть на старую евклидову геометрию, чтобы понять, все ли ее результаты представимы в терминах одних лишь точек и прямых.

К возникшей в результате такого критического пересмотра проективной геометрии можно подойти, вводя новую систему аксиом, но гораздо поучительнее рассмотреть наши предыдущие исходные допущения и попытаться понять, как их надлежит изменить. Если следовать зрительным восприятиям, то первое, что сразу подпадает под подозрение, – это постулат о параллельных прямых. Нам кажется, что такие прямые все-таки пересекаются в бесконечности. Предположим, что это действительно так, и дополним евклидову плоскость одной «идеальной точкой» или «бесконечно удаленной точкой», общей для любого множества параллельных прямых. Тогда утверждение о том, что прямые l и m параллельны, перейдет в утверждение о том, что прямые l и m пересекаются в бесконечности. Необходимо доказать, что все такие идеальные точки ведут себя так, как если бы они принадлежали «идеальной прямой», которая обладает всеми свойствами, которыми по предположению обладают обычные прямые. Доказательство этого утверждения основывается на знаменитой теореме Дезарга: если соответствующие вершины двух треугольников можно соединить тремя прямыми, пересекающимися в одной точке, то соответствующие стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой, и обратно.

Обосновав присоединение идеальных элементов к евклидовой плоскости, мы можем теперь сказать, что любые две прямые имеют точку пересечения, и в этом заключается основное отличие проективной геометрии. Аналогичным образом мы можем присоединить к трехмерному евклидову пространству «бесконечно удаленную плоскость» и построить проективное пространство любой размерности. Заметим, что теперь мы можем полностью отказаться от понятия «расстояние».

точка = прямая, проходящая через Р,

прямая = плоскость, проходящая через Р,

то можно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, а потому «пучок» прямых и плоскостей, проходящих через точку Р, образует проективную геометрию плоскости.

Вклад Паскаля в геометрию заключается в том, что он показал проективную природу известных со времен Аполлония свойств конических сечений, которые позднее были переведены Декартом на алгебраический язык. Эта работа была завершена Ф. де Лаиром (1640–1718), и, хотя дальнейшее развитие проективной геометрии прервалось и затем продолжилось лишь в 19 в., начало критическому анализу понятия длины было положено. См. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Непрерывность.

Понятие касательной к кривой восходит по крайней мере к Архимеду, но только после того, как Ферма и Ньютон осознали его значение для дифференциального исчисления, это понятие обрело удобную для приложений явную форму. Однако прошло немало лет, прежде чем О.Коши (1789–1857) придал строгость огромному числу теорем, разложениям в степенные ряды, решениям дифференциальных уравнений и т.п., что позволило математическому анализу занять в математике место, сравнимое с геометрией. Понятие числа точек на прямой ничему не соответствует в нашем опыте визуального восприятия пространства, и именно это привело Зенона Элейского к упомянутым выше комментариям. Есть два способа интерпретации понятия непрерывности в терминах интуитивных представлений об окружающем нас мире: 1) через скрупулезный анализ отношений между точками и прямыми и 2) в терминах движения, т.е. средствами математического анализа (см. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ).

Конечная геометрия.

Хотя целые числа возникают не обязательно в связи с точками прямой, тем не менее естественно рассматривать их как числа, представляющие кратные некоторого единичного отрезка. Это позволяет придать рациональным числам геометрическую интерпретацию, известную еще древним грекам. Однако такой подход к числу недостаточно тонок и сталкивается с трудностями, на которые и указал Зенон; наша концепция пространства включает в себя понятие числа, но для определения чисел понятие пространства не подходит.

Возвращаясь к аксиомам проективной геометрии, заметим, что они не содержат понятия длины и не имеют следствием бесконечность числа точек на прямой. То, что число точек на прямой может быть конечным, подтверждается следующим примером. Предположим, что под точками мы понимаем 15 символов (ab), (ac), (ad), (ae), (af), (bc), (bd), (be), (bf), (cd), (ce), (cf), (de), (df), (ef), где (ij) = (ji). Существуют 35 прямых, каждая из которых содержит три и только три из этих точек. Такие прямые можно разбить на два типа:

1) прямая типа I содержит три точки вида (аb), (bc), (ca); таких прямых 20;

2) прямая типа II содержит три точки вида (ab), (cd), (ef); таких прямых 15.

Любая тройка точек, не принадлежащих ни к одному из этих двух типов, определяет некоторую плоскость; существуют 15 плоскостей, каждая из которых содержит семь точек и семь прямых. На прилагаемом рис. 5 показаны расположения точек и прямых на одной из этих плоскостей. (Заметим, что окружность представляет в конечной геометрии прямую.) Нетрудно проверить, что все аксиомы проективной геометрии выполняются, из чего мы заключаем, что они непротиворечивы, но такая геометрия не очень соответствует нашему представлению о пространстве. Чтобы перебросить мост между привычным понятием пространства и построенной нами геометрией, необходимо исследовать возможную связь между точками на прямой и числами арифметики.

Первым, кто предложил средства, позволяющие геометрически определять операции сложения и умножения, был немецкий математик К.Штаудт (1798–1867), но именно Д.Гильберт (1862–1943) продемонстрировал, что законы арифметики в их геометрической интерпретации зависят от двух теорем – Дезарга и Паппа. В случае конечной геометрии из теоремы Дезарга следует теорема Паппа, а потому если она верна, то верна и теорема Паппа. В этом случае и сложение, и умножение ассоциативны, коммутативны и дистрибутивны, и координаты, которые можно поставить в соответствие точкам на прямой, могут образовать конечное «поле». Если число точек на прямой бесконечно (например, если точки на прямой, за исключением бесконечно удаленной точки, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с рациональными числами), то «сложение» точек на прямой ассоциативно и коммутативно при условии, что выполняется теорема Дезарга. Если размерность n > 2, то это заведомо так. Однако из семи аксиом проективной геометрии теорема Паппа не следует; это означает, что умножение, будучи ассоциативным, необязательно коммутативно. При n = 2 теорема Дезарга может не выполняться, и «алгебра» точек на прямой еще более усложняется. Возможные недезарговы плоскости исследуются с 1902, но многое еще остается неизвестным.

Если потребовать, чтобы для каждого действительного числа нашлась соответствующая ему точка на прямой, то мы получим т.н. «непрерывную» геометрию. Это требование выполняется введением дополнительного предположения, которое в свою очередь можно использовать для доказательства теоремы Паппа. Такая аксиома непрерывности описывает тот аспект нашего понятия пространства, который был Лейбницем охарактеризован как «лабиринт континуума». Тем не менее роль алгебры в геометрии стала очевидна, и в дальнейшем обе эти ветви математики стали нерасторжимы.

Дифференциальная геометрия.

Определив касательную к плоской кривой в точке (y₁,y₂) с помощью «углового коэффициента» m = dy₂/dy₁, мы можем записать ее уравнение в виде

Записанное с помощью дифференциалов, это уравнение принимает вид

и его непосредственное обобщение приводит к уравнениям касательной к неплоской кривой в точке (y₁,y₂,y₃):

В то время как понятие углового коэффициента не допускает обобщения, понятие направляющего числа легко обобщается, и в качестве направляющих чисел рассматриваемой прямой можно принять дифференциалы. Уравнение соприкасающейся плоскости (плоскости касательных) к неплоской кривой задается определителем

Все эти уравнения имеют явный вид, если рассматриваемое геометрическое место точек задано аналитически, например, параметрически формулами y₁ = y₁ (t), y₂ = y₂ (t), y₃ = y₃ (t).

Дифференциальная геометрия стала самостоятельным разделом математики после того, как Б.Риман (1826–1866) заметил, что теорема Пифагора допускает дальнейшее обобщение, и предложил определять меру длины как

При n = 3 и g_ij = 1 (если i = j) и g_ij = 0 (если i № j) мы получаем евклидову геометрию в декартовых (прямоугольных) координатах; другие возможные выборы величин g_ij приводят к множеству новых геометрических систем, в частности, к геометрии специальной и общей теорий относительности. В конце 19 в. для разработки этих идей был изобретен тензорный анализ, который оказался одним из наиболее подходящих языков для современной физики.

Таким образом, методы математического анализа привели нас к идеям, весьма отличным от тех, которые были известны древним грекам. В частности, огромное значение получило понятие «геодезической» – линии, целиком лежащей на поверхности и являющейся кратчайшим путем между двумя точками. Если уравнение некоторой поверхности записать в параметрическом виде: x₁ = x₁ (u,v), x₂ = x₂ (u,v), x₃ = x₃ (u,v), то геометрические места точек u = const, v = const называются «параметрическими кривыми» этой поверхности, а параметры (u,v) задают на этой поверхности «криволинейные координаты». На поверхности Земли мы определяем свое местонахождение, указывая «широту» и «долготу»; из этих двух систем параметрических кривых линии долготы являются большими кругами и, следовательно, геодезическими. В случае декартовой геометрии параметрическими кривыми служат прямые, параллельные осям координат, и все такие прямые – геодезические. См. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Неевклидова геометрия.

Смелое допущение Евклида о параллельных прямых, содержавшееся в его знаменитом пятом постулате, почти две тысячи лет было для математиков источником смутного беспокойства, но серьезные попытки доказать его на основе иных допущений были предприняты только в 18 в. И хотя они оказались безуспешными, математикам все же удалось показать, что постулат о параллельных Евклида эквивалентен требованию равенства суммы углов треугольника двум прямым углам, или, что то же, p радианам. Поэтому скорее психологическим, чем математическим прорывом стало осознание существования двух других возможных вариантов: 1) сумма углов треугольника всегда больше p; в этом случае параллельных прямых не существует, и любые две прямые пересекаются; 2) сумма углов треугольника всегда меньше p; в этом случае для любой точки Р, не лежащей на данной прямой l, существуют две прямые l ў и l ўў, проходящие через Р и параллельные данной прямой l, и любая прямая, лежащая внутри угла, заключенного между l ў и l ўў, не пересекается с l. Непротиворечивость второго варианта была осознана К.Гауссом (1777–1855), но впервые опубликована независимо друг от друга Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевским (1792–1856) в 30-х годах 19 в. Риман был первым, кто понял, что первый вариант реализуется в сферической геометрии, развитой для нужд астрономии и мореплавания.

Было бы ошибкой думать, будто математика на протяжении столетий не претерпела никаких изменений. Постижение тонких идей происходит медленно, и когда мы оглядываемся назад, в прошлое, наши величайшие достижения нередко представляются очень простыми. А.Кэли (1821–1895) и Ф.Клейн (1849–1925) прояснили связь между двумя упомянутыми вариантами, разработав в аналитической форме то, что ими было названо «эллиптической» и «гиперболической» геометриями. Евклидова геометрия является предельным случаем каждой из них, и это верно в отношении любой из аналитических формул таких геометрий. Большие круги (геодезические) на сфере, являющейся поверхностью постоянной положительной кривизны, играют роль прямых и порождают эллиптическую геометрию; аналогичным образом, на поверхности постоянной отрицательной кривизны геодезические порождают гиперболическую геометрию. Можно построить и другие наглядные и поучительные модели эллиптической и гиперболической геометрий, но важно сознавать, что все эти модели содержатся в более общем подходе Римана.

Трудно переоценить философское значение этих идей. Человек словно снял темные очки и увидел свое представление о пространстве «при дневном свете», что открыло новые, более интересные и захватывающие возможности, чем он мог себе вообразить. То, что Гаусс предпринял попытку измерить сумму углов треугольника, образованного тремя горными вершинами в Германии, было естественным следствием его понимания того, что постулат Евклида о параллельных явился результатом выбора из ряда возможностей, хотя выбора, несомненно, наилучшего для наших повседневных нужд. И хотя Гауссу не удалось обнаружить никаких отклонений от p, выходящих за пределы допустимой экспериментальной ошибки, это отнюдь не положило конец попыткам предпринять аналогичные крупномасштабные измерения с помощью гигантских телескопов и электронных устройств (см. НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ).

В последние десятилетия наши представления о пространстве сильно изменились под воздействием повсеместного принятия в физике концепции «пространства-времени». Связывание воедино двух фундаментальных понятий вынуждает нас перенести все внимание с «положения» на «событие». Выбирая из многообразия римановых метрик некоторую, в чем-то более предпочтительную, мы может более удовлетворительным образом скоординировать результаты современной физики. См. ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ.

Понятие группы.

Расцвет геометрических идей в 19 в. убедительно свидетельствовал о необычайной жизненности математических исследований в целом. Но, возможно, самым важным событием в развитии математического мышления в 19 в. стала постепенная кристаллизация понятия «группы» в алгебре и осознание его значения для геометрии.

Древние греки вполне могли бы натолкнуться на эту идею, будь они более настойчивы в поиске внутреннего смысла симметрии. К проблеме симметрии можно подходить двояко. Если геометрическая фигура остается инвариантной относительно вращения или, более общо, относительно какого-нибудь «преобразования», то можно выписать некоторую систему уравнений, выражающих эти преобразования аналитически. Но возможен и другой подход: мы можем представить себе, что геометрическая фигура остается неизменной, а меняется избранный нами способ ее описания относительно системы координат. По существу речь идет о двух возможных способах интерпретации одного и того же преобразования, но иногда одна интерпретация бывает предпочтительнее другой. Если мы имеем в виду все возможные линейные преобразования, которые оставляют фигуру инвариантной, то говорим, что эти преобразования образуют «группу», которую абстрактно можно определить следующим образом. Если обозначить эти преобразования Т₁, Т₂ и т.д., а совокупность всех таких преобразований – G, то для любых двух преобразований T_i и T_j из G должны выполняться следующие условия:

III. В G существует некоторое преобразование Т₀, называемое тождественным преобразованием или единицей, такое, что T_iT₀ = T₀T_i = T_i;

Число g преобразований Т, содержащихся в G, называется «порядком» группы G. Существует 6 симметрий треугольника, они представлены на рис. 6. Нетрудно проверить, что если ограничиться только вращениями, то для тетраэдра g = 12, для куба и октаэдра g = 24, а для икосаэдра и додекаэдра g = 60. Если же кроме вращений допустить отражения и отражения с вращениями, то число g возрастет вдвое. То, что у куба и октаэдра должна быть одна и та же группа вращений, неудивительно, т.к. вершины одного многогранника служат центрами граней другого. Аналогичное утверждение справедливо относительно икосаэдра и додекаэдра. Эти фигура «двойственны» друг другу, тогда как тетраэдр «самодвойствен».

Все преобразования, о которых шла речь, линейны; они переводят точку в точку, прямую – в прямую и плоскость – в плоскость. Такие «коллинеации» имеют особое значение для описания нашего представления о пространстве, основанного на точках и прямых. Клейн первым понял, что множество всех линейных преобразований, оставляющих метрику инвариантной, позволяет адекватно описывать рассматриваемую геометрию, и это привело Клейна к классификации геометрий по их группам коллинеаций. В проективной геометрии метрика отсутствует, поэтому соответствующая ей группа называется «полной линейной группой». В евклидовой геометрии любое вращение оставляет инвариантной сумму квадратов координат, и соответствующая коллинеация называется «ортогональной»; т.к. комбинация двух ортогональных преобразований есть снова ортогональное преобразование, все ортогональные преобразования образуют «ортогональную группу». Параллельные переносы также оставляют метрику инвариантной, поэтому группа «перемещений фигуры как твердого тела» содержит ортогональную группу в качестве своей нормальной подгруппы. Такой подход к изучению геометрии был предложен Клейном в его Эрлангенской программе (1872), которая явилась большим шагом вперед, поскольку предлагала единую точку зрения на ранее существовавшие различные геометрии.

Понятие группы получило дальнейшее развитие. До сих пор мы предполагали, что каждое преобразование линейно, но это ограничение несущественно, коль скоро каждое преобразование имеет обратное, которое однозначно определено. Исследование таких «бирациональных» преобразований в общем виде началось с работ Л.Кремоны (1830–1903). В 1870 было доказано, что любое бирациональное преобразование может быть порождено составными квадратичными преобразованиями. Важно подчеркнуть существование некоторых особых точек или геометрических мест, для которых взаимно однозначное соответствие нарушается; именно это обстоятельство порождает специфические проблемы алгебраической геометрии, над решением которых билось немало математиков. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

Топология.

Общая теория групп преобразований была построена С.Ли (1842–1899), который почти в одиночку возделал огромную территорию математики, оказавшую впоследствии воздействие почти на все ее разделы. Что же касается влияния Ли на геометрию, то оно сказалось прежде всего на расширении самого смысла термина «геометрия», в результате чего граница между геометрией и анализом оказалась размытой. Та часть «ничейной земли», в которой алгебраический характер преобразования предается забвению, получила название «топологии». Топология имеет дело с взаимно однозначными и непрерывными преобразованиями, называемыми «гомеоморфизмами». Изучение топологических пространств позволило открыть множество красивейших теорем. С 1895, когда А.Пуанкаре впервые в явном виде рассмотрел гомеоморфные преобразования топологических пространств, и по сей день топология находится в состоянии интенсивного беспрецедентного развития.

Поясним суть ее проблем на одном примере. Возьмем некоторую поверхность и будем ее рассматривать как резиновую пленку, которую можно сжимать и растягивать, но не рвать. Тогда никакие из разрешенных операций не могут преобразовать сферу в тор (бублик); число дыр в поверхности называется ее «родом» и является «топологическим инвариантом». Аналогичный инвариант существует и для односторонних поверхностей, таких как лист Мёбиуса (см. также ТОПОЛОГИЯ).

Существует масса примеров, когда к топологии обращаются в поисках новых, стимулирующих идей и подходов, чувствуя, что иначе «не пробиться», как, например, в теории контурного интегрирования Коши. Наше представление о пространстве – это наиболее изученная модель, позволяющая лучше всего понять те абстракции, которые и составляют суть математики в целом. Именно такая интерпретация слова «геометрия» позволила уяснить истинное значение этой науки и причину, по которой люди занимаются ее изучением на протяжении вот уже 2500 лет.

Источник