какие свойства действий позволяют утверждать что данное равенство является тождеством

Тождества. Тождественные преобразования выражений (продолжение)

Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме

Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки в выражении

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:

Применив указанные свойства действий, получим

85. Какие свойства действий позволяют утверждать, что тождественно равны выражения:

а) ab + 16с и 16с + ab;

б) (а + 2) + х и а + (2 + х);

86. Являются ли тождественно равными выражения:

87. Являются ли тождественно равными выражения:

г) (а + b) • 2 и 2а + 2b?

88. Какие свойства действий позволяют утверждать, что данное равенство является тождеством:

89. Какое из данных равенств не является тождеством?

90. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное свойства умножения:

91. Упростите выражение:

92. Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

93. Замените выражение тождественно равным, используя распределительное свойство умножения:

Источник

Тождественно равные выражения. Тождества

Рассмотрим две пары выражений:

1) и

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных и значения выражений и равны.

2)

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Однако, можно указать такие значения и , при которых значения этих выражений не будут иметь равные значения. Например, если , то

Мы получили разные результаты.

Следовательно, выражения и являются тождественно равными, а выражения не являются тождественно равными.

Равенство — тождество, т.к. оно верно при любых значениях и .

Также к тождествам можно отнести равенства, выражающие свойства сложения и умножения чисел:

Можно привести и другие примеры тождеств:

Тождествами считают и верные числовые равенства.

Очень часто при вычислении значений выражений, легче сначала упростить имеющееся выражение, а затем выполнять вычисления.

К тождественным преобразованиям можно отнести приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок.

Примеры:

1) , мы преобразовали выражение в выражение .

2) , мы преобразовали выражение в выражение .

Для того, чтобы доказать, что данное равенство является тождеством (или доказать тождество), используют следующие методы:

1) тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть;

2) тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение;

3) доказывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю.

Также, чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример, т.е. указать такое значение переменной (или переменных, если их несколько), при котором данное равенство не выполняется.

Пример: Докажите, что равенство не является тождеством.

Решение: Приведем контрпример. Если , то

, следовательно, равенство не является тождеством.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Тождество. Тождественные преобразования выражений

Тождество. Тождественные преобразования выражений

переместительный закон сложения

распределительный закон сложения относительно умножения

переместительный закон умножения

сочетательный закон сложения

Тождество. Тождественные преобразования выражений

сочетательный закон умножения и распределительный закон сложения относительно умножения

переместительные законы сложения и умножения

переместительный и сочетательный законы умножения

Тождество. Тождественные преобразования выражений

при ≠ –1

при ≠ 1

при ≠ 0

Источник

5. Тождества. Тождественные преобразования выражений

Найдём значения выражений 3(х + у) и Зх + Зу при х = 5, у = 4:

3(х + y) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,
3x + Зу = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х + у) и 3x + 3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:

2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,
2ху = 2 • 1 • 2 = 4.

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то

2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,
2ху = 2 • 3 • 4 = 24.

Определение. Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Выражения 3(х + у) и Зх + Зу являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.

верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

Определение.Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством*.

Тождествами считают и верные числовые равенства.

С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:

а + b = b + а, (а + b) + с = а + (b + с),
ab = ba, (аb)с = а(bс),
а(b + с) = аЬ + ас.

Можно привести и другие примеры тождеств:

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным, преобразова нием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.

Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;

если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме

Решение: Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки в выражении

Решение: Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Решение: Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:

Применив указанные свойства действий, получим

а) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме а марок, во втором — на 15 марок больше, чем в нервом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?

Контрольные вопросы и задания

*В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.

Источник