какие углы называются вертикальными каким свойством обладают вертикальные углы геометрия 7 класс

Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов

Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.

Свойства вертикальных углов

1. Вертикальные углы равны.

2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.

Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем

,

,

Следовательно . Аналогично доказывается, что .

Задачи и решения

Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).

Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то . Углы 1 и 4 смежные. Следовательно . Тогда

.

Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда

Ответ. .

Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.

Ответ. .

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Давайте докажем это свойство.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

№3. Тип задания: выделение цветом.

Выделите верный ответ из списка:

60 0 ; 30 0 ; 75 0 ; 90 0

Источник

Вертикальные углы

Какие углы вертикальные? Каким свойством обладают вертикальные углы?

Рассмотрим определение вертикальных углов и их свойство, а также применим свойство вертикальных углов для решения задач.

Определение.

Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов:

∠1 и ∠2 — вертикальные углы

∠3 и ∠4 — вертикальные углы

Свойство вертикальных углов.

Вертикальные углы равны.

Таким образом, при пересечении двух прямых образуется две пары равных межу собой углов.

1) Сумма вертикальных углов равна 140º. Найти эти углы.

Так как вертикальные углы равны, а в условии сказано, что их сумма равна 140º, то каждый из них равен по 140:2=70º.

2) Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 100º. Найти эти углы.

При пересечении двух прямых образуются углы двух видов — вертикальные и смежные.

Так как сумма смежных углов равна 180º, а по условию, сумма углов равна 100º, то эти углы — вертикальные.

А так как вертикальные углы равны, то каждый из них равен по 100:2=50º.

Вертикальные углы во многих задачах — важный элемент при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник

Урок геометрии в 7 классе «Вертикальные углы»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Урок геометрии в 7 классе: «Вертикальные углы»

Основные дидактические цели урока: познакомить с понятием вертикальных углов, рассмотреть их свойство, изображать вертикальные углы, находить на рисунке вертикальные углы, сформировать навыки решения задач на использование определения и свойства вертикальных углов.

1. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности.

2. Повторение. Проверка домашнего задания.

1) Определение смежных углов

2) Свойство смежных углов

3) Следствия из теоремы о смежных углах

4) Может ли быть один из смежных углов острым, а другой прямой?

5) Найдите углы, смежные с углами 65° и 121°.

3. Работа по теме урока

1) Формулировка темы урока «Вертикальные углы».

ВОС и AOD располагаются таким образом, что они напоминают песочные часы.

BOD и AOC они тоже располагаются таким образом, что также напоминают песочные часы, которые повернули.

BOC и AOD – вертикальные углы

BOD и AOC – вертикальные углы.

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

BOC – образован лучами ОС и ОВ.

AOD – образован лучами О D и ОА.

О D – это дополнительный луч луча ОС.

ОА – это дополнительный луч луча ОВ.

Теперь давайте поговорим о том, каким свойством обладают вертикальные углы.

ВОС + BOD = 180°

АО D и ВО D тоже смежные углы. Луч OD общая сторона, а лучи ОВ и ОА дополняют друг друга до прямой, значит

АО D + ВО D = 180° по свойству смежных углов.

Посмотрим теперь на эти две строчки. Итак, здесь суммы: результаты одинаковые, вторые слагаемые одинаковые. Значит суммы будут равны, когда первые слагаемые равны.

ВОС = АО D в этой строчке выражено свойство вертикальных углов.

И точно также, мы можем доказать что ВО D = АОС.

Теорема. Вертикальные углы равны.

А теперь давайте решим несколько задач, в которых мы будем использовать понятие вертикальные углы.

4. Закрепление изученного материала.

Решение: Смотрим внимательно на нашу картинку и замечаем, что 1 и 3 – вертикальные углы.

1) 1 = 3 – вертикальные углы

Поскольку их сумма равна 70°, то

1 = 3 = 70 : 2 = 35 °

2) 1 и 2 располагаются таким образом, что у них одна сторона общая, а две другие дополнительные лучи, а такие углы являются смежными, значит мы можем написать

3) Смотрим на нашу картинку внимательно и замечаем, что

Ответ: 2= 4 = 145°.

Смотрим внимательно на чертеж и замечаем, что 2 и 3 – вертикальные углы. Мы их не знаем, а когда в задаче мы ничего не знаем, мы чаще всего эту задачу решаем уравнением.

2 = 3 = х, тогда

1 = 2 + 3 = х + х = 2х.

На чертеже мы видим, что 1 и 2 являются смежными углами, а значит их сумма будет равна

1 + 2 = 180°

2 = 3 = 60°

1 = 60 ∙ 2 = 120°

Ответ: 1 = 120°, 2 = 3 = 60°.

Решение: Даны три прямые, которые пересекаются в одной точке. Известны величины двух углов. И нужно найти АОС.

На рисунке отметим углы, которые будут равны:

FOD = CO Е = 30° вертикальные углы

ВО E = А OF = 40° вертикальные углы.

АОС + AOD = 180° смежные углы

AOD = AOF + FOD = 40 + 30 = 70°

Ответ: АОС = 110°.

Задача 4. Решить самостоятельно.

5. Рефлексия учебной деятельности.

1) Какие углы называются вертикальными?

2) Сформулируйте свойство вертикальных углов.

№ 7, 10 стр.28, выучить определение вертикальных углов, теорему 2.2 на стр.23.

Источник

Открытый урок по теме «Вертикальные и смежные углы»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №13 имени А.В. Суворова станица Дмитриевская

Открытый урок по геометрии в 7 классе

«Смежные и вертикальные углы»

Учитель математики Богомолова Анна Александровна

Предмет: геометрия, изучение нового материала

Тема: «Смежные и вертикальные углы»

Продолжительность: 2 урока

o ввести понятие смежных и вертикальных углов, выяснить через систему упражнений какими свойствами они обладают;

o рассмотреть доказательство теорем о смежных и вертикальных углах;

o показать их применение при решении задач;

· развивающая: развивать умения выявлять закономерности, делать обобщения и выводы;

· воспитательная: воспитывать у обучающихся стремление самостоятельно решать посильные учебные проблемы.

Приветствие обучающихся, мобилизация внимания.

Учитель: Здравствуйте ребята. Сегодня мы продолжаем наше путешествие по стране «Геометрия» и поговорим об углах. А вот о каких углах сегодня пойдет речь, мы постараемся выяснить в ходе нашего урока. Для этого мы вытащим из тайников памяти кое-что ценное и восхитимся глубокими знаниями, которые пригодятся нам сегодня на уроке. Для разминки я предлагаю провести «Мозговой штурм».

II. Актуализация знаний.

№ 1 Как называется угол меньше 180°, но больше 90°?

№ 2 Какой угол образуют стрелки часов, если они показывают 6 часов?

№ 3 Какой угол образуют стрелки часов, если они показывают 3 часа?

№ 4 Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется

№ 5 Как называется угол меньший 90°?

Поставьте количество правильных ответов в лист оценки.

IV. Изучение новой темы.

Учитель: Итак, ребята, на предыдущих уроках мы познакомились с понятием угла, научились строить их, обозначать, измерять. Сегодня мы расширим круг своих знаний об углах, введем понятия смежных и вертикальных углов, рассмотрим их свойства, и будем учиться использовать их при решении задач.

(Учащиеся записывают тему урока.)

Все выполняют задание:

— Постройте развернутый угол AOB.

— Проведите произвольный луч OC между его сторонами.

— Сколько неразвернутых углов образовалось? Назовите их (углы AOC и COB).

— Выделите общую сторону этих углов одним цветом, а стороны, которые являются продолжением друг друга, другим цветом. Получился чертёж

Учитель: Значит, два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие стороны этих углов являются продолжением друг друга.

Учитель: А сейчас кто желает у доски построить свою пару смежных углов?

Заранее подготовленный ученик: «Можно я? Можно? Я понял, что такое смежные углы!».

Учитель: Пожалуйста, построй нам такие углы.

(Ученик: делает следующие чертежи:.)

Учитель: Ребята, вы согласны с Имя ученика? (Естественно, найдутся ребята, которые не согласятся.) Посмотри, кое-кто из ребят не соглашаются с тобой. Объясни, почему углы 1 и 2 на первом чертеже ты считаешь смежными?

Ученик: Так у них же есть общая сторона b!

Учитель: А на втором чертеже?

Ученик: А у них стороны а и b являются дополнительными полупрямыми! Вот!

Учитель: Ребята, вы согласны с Учеником?

(Учащиеся объясняют, почему они не согласны с ним, и ещё раз формулируют определение смежных углов.)

· первый ученик и ребята, сидящие на первом ряду, строят угол в 40 0 ;

· второй ученик и ребята, сидящие на втором ряду, строят прямой угол;

Смекалкин предлагает учащимся назвать вид угла и обозначить его (ab).

Далее следует задание: Проведите к стороне b дополнительную полупрямую c. (Все выполняют построение.) (Получаются чертежи

Учитель: Ребята, какой вывод вы можете сделать?

· 1 ряд: Если угол острый, то смежный с ним тупой.

· 2 ряд: Угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

Учитель: предлагает следующее задание: Ребята, измерьте угол ac и найдите сумму углов ab и ac.

Учитель: Ребята, а как вы думаете, если мы проделаем ту же самую работу, но с углами другой величины, то каков будет результат?

(Ученики делают свои предположения, и, как правило, многие уверены, что сумма должна получиться такой же.)

Учитель: А сейчас будет очень трудное! Я, посмотрю как вы справитесь. Ребята, постройте произвольный угол AOB. А теперь, используя только карандаш и линейку, постройте угол, равный углу AOB.

(Учащиеся думают, и, как правило, хотя бы несколько ребят догадываются, как это сделать.)

Учитель: А вы попробуйте доказать мне, что углы AOB и DOC равны.

Учитель: Ну, что же, ребята, давайте попробуем доказать, что полученные углы будут равны. Для этого мы будем использовать с вами только что доказанное свойство смежных углов.

(Доказательство проводит учащийся у доски, все записывают в тетрадь.

Вопрос Учителя: Ребята, а что вы думаете об углах AOC и BOD? (Дети отвечают.)

Учитель: Оказывается, ребята, что у построенных таким образом углов есть свое название. Они называются вертикальными углами.

(Дети вместе с учителем формулируют определение вертикальных углов.)

Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются продолжением сторон другого угла.

Учитель: И мы с вами доказали их свойство: вертикальные углы равны.

V. Закрепление темы.

1. Определите, на каком из данных чертежей углы 1 и 2 вертикальные.

2. Учитель: Ребята, а как вы думаете, будут ли верными утверждения:

2. Могут ли два смежных угла быть одновременно острыми, прямыми, тупыми?

4.Дополнительная задача: Постройте произвольный угол AOB. Сколько углов, смежных ему, можно построить?

Ответ:Что вы о них можете сказать? (Два. Они равны, так как являются вертикальными углами.)

1. Какие углы называются смежными?

2. Что вы можете сказать про смежные углы?

3. Какие углы вертикальные?

4. Что можете сказать о вертикальных углах?

6.Задание на дом: п.11 № 55, 56, 61 (а,г,д), № 64(а).

Источник