какие усилия возникают в трехшарнирной арке
Определение внутренних усилий в трехшарнирных арках.
Как в любой статически определимой системе, реакции в опорах трехшарнирной арки находятся исключительно из статических уравнений (уравнений равновесия).
Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось имеем:
— сумма проекций всех действующих на арку внешних сил на вертикальную ось. Внешняя сила считается положительной, если она направлена вниз.
Далее, составим уравнение моментов всех действ-их на систему сил относительно произвольной точки. Здесь в качестве точки, относительно которой будут вычисляться моменты, выберем точку А. Поскольку линии действия трех опорных реакций из четырех проходят через эту точку, в уравнении останется только одна неизвестная реакция – VB
— суммарный момент действующих на систему внешних сил относительно точки А. Он считается положительным, если направлен по часовой стрелке.
Из условия равенства суммы проекций всех действующих на систему сил на горизонтальную ось имеем:
— сумма проекций действующих на арку внешних сил на горизонтальную ось. Внешняя сила считается положительной, если она направлена вправо.
— суммарный момент действующих на левую часть арки внешних сил относительно точки С. В качестве его положительного направления принято направление против часовой стрелки.
При отсутствии горизонтальной составляющей внешней нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут равны и направлены противоположно друг другу:
Горизонтальное усилие H, возникающее в опорах, называется распором.
Из уравнений можно найти четыре неизвестные опорные реакции HA, HB, VA и VB, после чего приступить к определению изгибающих моментов в сечениях арки.
Рассмотрим сечение, находящееся на произвольном расстоянии х от левой опоры арки. Рассматривая равновесие части арки с одной стороны от данного сечения, найдем в нем изгибающий момент. Будем рассматривать часть арки слева от сечения. Тогда
— изгибающий момент в рассматриваемом сечении, вызванный исключительно внешними силами, действующими слева от рассматриваемого сечения.
Как мы уже выяснили, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки вертикальные опорные реакции VA и VB в арке и в соответствующей ей балке будут одинаковыми, а горизонтальные реакции в опорах арки равны и противоположно направлены. Изгибающий момент в балке определяется по формуле 
сопоставляя эту формулу получим 
.
Таким образом, при условии отсутствия горизонтальной составляющей нагрузки, зная распор в арке и изгибающий момент в любом сечении балки, соответствующей рассматриваемой арке, момент в этом же сечении арки можно найти.
Для определения продольного и перерезывающего усилий рассмотрим сечение в арке, отстоящее от левой опоры на произвольное расстояние х
Перерезывающее усилие в арке 
действует перпендикулярно ее оси в данном сечении, а продольное 
— вдоль ее оси в данном сечении. Обозначим сумму проекций всех внешних сил и реакций опор, действующих на рассматриваемую часть сечения, на вертикальную и горизонтальную оси 
и 
соответственно. Положительными направлениями этих сил будем считать такие направления, которые будут уравновешиваться положительными и на оси арки. Составив уравнения равновесия сил, действующих на рассматриваемую часть сечения в осях, совпадающих с направлением действия и получим выражения для определения перерезывающего и продольного усилия:
Определение усилий в трехшарнирных арках и рамах
Расчет трехшарнирных арок и рам (рис. 3.1) имеет ряд особенностей, которые и рассматриваются в данном разделе.
Эти конструкции являются статически определимыми, так как состоят из двух дисков, соединенных между собой при помощи шарнира, эквивалентного двум кинематическим связям, и прикрепленным к основанию с помощью четырех опорных стержней. Следовательно, степень свободы конструкции равна 
Таким образом, конструкция не имеет лишних связей и является статически определимой. Конструкция является неизменяемой, т.к. ее можно рассматривать состоящей из трех дисков, соединенных между собой при помощи трех шарниров, не лежащих на одной прямой (рис.3.2).
Определение опорных реакций
В трехшарнирных системах при действии вертикальной нагрузки на опорах возникают, как правило, вертикальные и горизонтальные реакции. Поэтому эти системы принято называть распорными. Рассмотрим методику определения опорных реакций.
Пусть трехшарнирная арка нагружена, как показано на рис. 3.3.
 |
Вертикальные составляющие опорных реакций могут быть найдены так же, как и в простой балке на двух опорах, из уравнений равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно опорных точек. В данном случае эти уравнения имеют вид
Горизонтальные составляющие опорных реакций могут быть найдены из условия равенства нулю изгибающего момента в шарнире “c”.
Вычисляя момент в шарнире “c” через левые силы, получаем
 | (3.1) |
Выражая момент в шарнире “c” через правые силы, находим
 | (3.2) |
При действии только вертикальных нагрузок (в рассматриваемом примере при F3=0) формулы (3.1) и (3.2) принимают вид
 | (3.3) |
В формулах (3.3) через 
обозначен изгибающий момент в простой балке, перекрывающей такой же пролет и нагруженный такими же силами, как и арка.
Очевидно, что в этом случае 
Горизонтальная реакция в трехшарнирной арке называется распором и обозначается буквой H. Из формул (3.3) получаем
 | (3.4) |
В дальнейшем будем рассматривать расчет трехшарнирных арок на действие только вертикальной нагрузки. Получим формулы для определения внутренних усилий.
Предположим, что арка нагружена, как показано на рис. 3.8,а, и для нее найдены опорные реакции. Получим формулы для определения внутренних усилий.
Рассечем арку на две части в сечении, расположенном на расстоянии х от начала координат (рис. 3.8,б). Внутренние напряжения, действующие в сечении, заменим эквивалентным моментом М и эквивалентной силой R, а последнюю, в свою очередь, разложим на составляющие в направлении касательной (N) и перпендикуляра к оси арки (Q). Касательную составляющую назовем продольной, а перпендикулярную составляющую – поперечной силой. Из уравнений равновесия отсеченной части легко получить следующие соотношения:
 | (3.5) |
В формулах (3.5) 
есть изгибающий момент и поперечная сила в сечении x простой балки, перекрывающей тот же пролет и несущей те же нагрузки.
Для построения эпюр внутренних усилий пролет арки разбивается на несколько равных частей; по уравнению оси арки, которое обычно бывает известно, определяется угол наклона касательной 
на границах участков, и по формулам (3.18) вычисляются внутренние усилия. При наличии в каком-либо сечении внешних сосредоточенных сил и моментов внутренние силы вычисляются дважды – слева от этой силы (момента) и справа от нее.
Очертания оси арки можно выбрать таким, чтобы изгибающие моменты во всех сечениях были равны нулю. Из первой формулы (3.5) имеем
 |
 |
Таким образом, если принять ординаты оси арки равными балочному изгибающему моменту, деленному на величину распора, изгибающие моменты в такой арке будут равны нулю. Такие ординаты оси арки являются наиболее рациональными при данной нагрузке.
Примеры расчета трехшарнирной арки.
Для сплошной трехшарнирной арки требуется определить аналитически изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в сечениях к1 и к2 от действия постоянной заданной нагрузки.
Дано: ℓ = 32м; q = 6кН/м; f/ℓ = 0,35; Р = 3кН.
Очертание оси арки – окружность.
, где R- радиус окружности, по которой очерчена арка.
Уравнение оси: 
;
Функции угла наклона касательной: 
.
ешение:
1) Вычисление геометрических характеристик:
f = 0,35ℓ = 0,35*32 = 11,2м;
м;
2) Вычисление опорных реакций:
Вертикальные реакции найдены верно.
Горизонтальные реакции найдены верно.
3. Вычисление внутренних усилий
Усилия в сечениях арки:
Пример2. Определить изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в сечениях к1 и к2 от действия заданной нагрузки.
1. Вычисление геометрических характеристик сечений.
По уравнению оси находим:
Характеристики углов наклона касательных к оси:
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Порядок расчета трехшарнирной арки
Арку решают совместно с балкой. То, что относится к арке, обозначается просто, а то, что к балке – с индексом «0».
Балку берут того же пролета и той же нагрузки. А в балке возникают только вертикальные реакции.
Определим вертикальные реакции для арки:
Для балки результат такой же. Вертикальные реакции и в балке, и в арке одинаковые.
Чтобы определить горизонтальные реакции, проецируем все силы на ось Х.
Чтобы найти распор, воспользуемся известным свойством шарнира С.
Теперь сносим сечение С на балку (шарнир сносить нельзя, балка будет мгновенно изменяема). Ищем момент относительно сечения С.
Это момент в балке в сечении С под шарниром.
Сравним с формулой НА. Тогда:
Т.о. распор (и усилие в затяжке при ее наличии) обратно пропорционален стреле подъема арки.
Делаем в арке сечение 1-1 и определяем в нем М1. Если в балке менялось расстояние по горизонтали, то в арке меняется и по вертикали – по оси у.
Спускаем сечение 1-1 на балку и определяем момент в этой точке.
Сравниваем формулы и получаем формулу для определения изгибающего момента М в арке:
В арке изгибающий момент меньше, чем в балке — арка экономичнее по материалу.
Формула для определения продольной силы N:
Формула для определения поперечной силы Q:
Для расчета арок требуется знать уравнение криволинейной оси арки. Оно зависит от ее очертания. Уравнения криволинейных осей арок смотреть — здесь.
Какие усилия возникают в трехшарнирной арке
14. Расчет трехшарнирных арок
Из прошлого к нам в строительство пришли ряд конструкций, целесообразность которых была проверена Веками Н ашей Цивилизации. Одна из них Распорная система. С учетом работы распорной системы строились Замки, Крепости и Храмы. Так строились и простые дома, в которых проемы и окна – тоже были распорными.
Трехшарнирная система – это система из двух дисков, связанных между собой и основанием тремя шарнирами. Есть трехшарнирные системы двух видов: арочные (рис. 14.1, а) и подвесные системы (рис. 14,1, б).
Их расчет мало отличается друг от друга. Поэтому остановимся на арочных системах, которые бывают трех типов: трехшарнирные рамы (рис. 14.2, а), трехшарнирные арочные фермы (рис. 14.2, б) и трехшарнирные арки (рис. 14.2, в).
1. Если в трехшарнирной системе два диска являются прямолинейными или ломанными стержнями, то такая конструкция называется трехшарнирной рамой.
2. Если в трехшарнирной системе два диска являются сквозными решетчатыми конструкциями, то такая система называется трехшарнирной арочной фермой.
3. Арки – сооружения, у которых два диска представляют собой криволинейные стержни, оси которых описаны аналитически или заданы таблично.
Неизменяемая и неподвижная относительно земли трехшарнирная стержневая система статически определима, т. е. ее опорные реакции и внутренние усилия могут быть найдены из уравнений статического равновесия.
W = 3 D–2 Ш– Соп = 3 ∙ 2 – 2 ∙ 1 – 4 = 0.
Особенность трехшарнирных систем состоит в том, что в них возникает распор (боковое давление) даже от вертикальной нагрузки. Опорные реакции таких систем (рис. 14.3, а) можно определять методом совместных сечений. В результате появляются независимые две части с шестью неизвестными (четыре опорные реакции RA, RB, HA, HB и две междисковые реакции XC, YC (рис. 14.3, б).
Составив для каждого диска по три уравнения равновесия (всего шесть уравнений), можно определить все эти реакции. Далее каждый диск рассчитывается самостоятельно.
В способах определения опорных реакций и усилий в трехшарнирных арках и рамах принципиального различия нет. Трехшарнирные фермы, после определения их опорных реакций также как и для арок, рассчитывают далее как обычные фермы.
Различные типы трехшарнирных систем нашли широкое применение в мостостроении, сельском строительстве, при перекрытии больших пролетов промышленных цехов, зрелищных сооружений, где они являются экономичными и надежными.
14.1. Общие определения арки
Арки относятся к распорным системам, т.е. таким системам, в опорах которых, в отличие от безраспорных систем, при действии только вертикальной нагрузки возникает ненулевое горизонтальное усилие, называемое распором.
Инженер-строитель может столкнуться с необходимостью выбора между безраспорной системой (балкой) и распорной системой (аркой) для выполнения перекрытия некоторого пролета, например, мостового. При этом арку сопоставляют с соответствующей балкой, т.е. простой балкой на двух опорах, перекрывающей такой же пролет и находящейся под действием такой же вертикальной нагрузки, что и арка.
Ключ арки – место, в котором сечение, перпендикулярное к оси арки, является осью симметрии.
Ось арки – средняя линия, проходящая через центры тяжести сечений арки.
Равномерно распределенная нагрузка на единицу длины – нагрузка постоянной интенсивности, измеряемая на единицу длины оси арки.
Продольная сила – направленная по касательной к оси арки проекция главного вектора системы сил, заменяющего в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки на ее оставшуюся часть. Положительное направление продольной силы совпадает с направлением нормали к сечению арки и соответствует растяжению.
Поперечная сила – направленная вдоль оси, перпендикулярной к оси арки составляющая главного вектора системы сил, заменяющего в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки, на ее оставшуюся часть. Положительное направление поперечной силы совпадает с направлением нормали к сечению, повернутой по часовой стрелке на прямой угол.
Изгибающий момент – в зятый относительно оси поперечного сечения арки момент системы сил, заменяющий в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки на ее оставшуюся часть. Положительный изгибающий момент растягивает нижние волокна в арке.
Частным случаем трехшарнирной арки является трехшарнирная арка с затяжкой (рис.14.5).
При нагрузке определенного вида очертание арки можно задать таким, чтобы в ней не возникало изгибающих моментов. Такие арки называют арками рационального очертания.
14.2. Задание геометрии арки
При задании геометрии арки необходимо определить величины пролета L, стрелы f, и функцию y(x), описывающую очертание оси арки (рис.14.4). Для арки с затяжкой, кроме того, необходимо задать высоту над затяжкой f’ (рис.14.5).
При круговом очертании арки:
При параболическом очертании арки:
При гиперболическом очертании арки:
b a =0,8 
– отношение полуосей.
При очертании арки в виде эллипса:
b = f 2 + b a 2 L 2 8 f 
b a =0,8 – отношение полуосей.
14.3. Статический расчет трехшарнирной арки
Как в любой статически определимой системе, реакции в опорах трехшарнирной арки находятся исключительно из статических уравнений (уравнений равновесия). Примем положительные направления реакций в опорах арки в соответствии с рис.14.6.
Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось имеем:
где F V BH 
— сумма проекций всех действующих на арку внешних сил на вертикальную ось. В (14.3) внешняя сила считается положительной, если она направлена вниз.
где M A BH 
— суммарный момент действующих на систему внешних сил относительно точки А. В (14.4) он считается положительным, если направлен по часовой стрелке.
Уравнений (14.3) и (14.4) достаточно, чтобы найти вертикальные реакции в опорах арки. Составив аналогичные уравнения для балки, соответствующей арке (рис. 14.6), легко убедиться, что при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки эти уравнения совпадут с (14.3) и (14.4), а значит вертикальные реакции VA и VB в опорах арки и соответствующей ей балки будут одинаковыми.
Из условия равенства суммы проекций всех действующих на систему сил на горизонтальную ось имеем:
где F H BH 
— сумма проекций действующих на арку внешних сил на горизонтальную ось. В (14.5) внешняя сила считается положительной, если она направлена вправо.
где M C BH слева 
— суммарный момент действующих на левую часть арки внешних сил относительно точки С. В (14.6) в качестве его положительного направления принято направление против часовой стрелки.
При отсутствии горизонтальной составляющей внешней нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут равны и направлены противоположно друг другу, что следует из уравнения (14.5):
Горизонтальное усилие H, возникающее в опорах, называется распором.
Рассмотрим сечение, находящееся на произвольном расстоянии x от левой опоры арки (рис. 14.6). Рассматривая равновесие части арки с одной стороны от данного сечения, найдем в нем изгибающий момент. Будем рассматривать часть арки слева от сечения. Тогда
где M BH x 
— изгибающий момент в рассматриваемом сечении, вызванный исключительно внешними силами, действующими слева от рассматриваемого сечения.
Как мы уже выяснили, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки вертикальные опорные реакции VA и VB в арке и в соответствующей ей балке будут одинаковыми, а горизонтальные реакции в опорах арки равны и противоположно направлены. Изгибающий момент в балке определяется по формуле M бал x = V A ∙ x + M BH x 
. Сопоставляя эту формулу с (14.8), с учетом (14.7) получим:
где M c бал 
– балочный изгибающий момент в сечении C балки от сил, взятых слева или справа от этого сечения; f – стрела арки (рис. 14.6).
Таким образом, при условии отсутствия горизонтальной составляющей нагрузки, зная распор в арке и изгибающий момент в любом сечении балки, соответствующей рассматриваемой арке, момент в этом же сечении арки можно найти и по формуле (14.9).
Для определения продольного и перерезывающего усилий рассмотрим сечение в арке, отстоящее от левой опоры на произвольное расстояние x (рис. 14.6).
Перерезывающее усилие в арке Q арк x 
действует перпендикулярно ее оси в данном сечении, а продольное N арк x 
— вдоль ее оси в данном сечении (рис.14.7). Обозначим сумму проекций всех внешних сил и реакций опор, действующих на рассматриваемую часть сечения, на вертикальную и горизонтальную оси F V слева 
и F Н слева 
соответственно. Положительными направлениями этих сил будем считать такие направления, которые будут уравновешиваться положительными Q арк x 
и N арк x на оси арки (рис.14.8). Составив уравнения равновесия сил, действующих на рассматриваемую часть сечения в осях, совпадающих с направлением действия Q арк x и N арк x (рис.14.9) получим выражения для определения перерезывающего и продольного усилия:
Q арк x = F V слева x ∙ cos α + F Н слева x ∙ sin α ; (14.10) 
N арк x =- F V слева x ∙ sinα + F Н слева x ∙ cosα (14.11) 
где α – угол наклона касательной к оси арки в сечении К. Особо отметим, что для сечений левой полуарки угол α > 0, s in α > 0, α > 0, а для сечений правой полуарки угол α s in α с os α > 0.