лучшие учебники по планиметрии
Лучшие учебники по планиметрии
Войти
Авторизуясь в LiveJournal с помощью стороннего сервиса вы принимаете условия Пользовательского соглашения LiveJournal
Обзор учебников геометрии 7-9 классы
7–9 классы. Геометрия
Эти трудности произрастают из желания автора все вывести из аксиом и не пользоваться, например, наложением при доказательстве признаков равенства треугольников. Обучающий и воспитательный эффект от такого способа обучения не сопоставим с испытываемыми трудностями. Но наличие жесткой и экономной системы изложения и последовательной системы упражнений делает учебник лаконичным.
Учебник Л.С. Атанасяна и др. отличается более спокойным отношением к лозунгу «в геометрии все должно быть доказано!» В частности, упомянутые признаки равенства треугольников доказываются наложением треугольников, что представляется оправданным на ранней стадии освоения учащимися нового предмета. Некоторые теоретические факты, используемые в дальнейшем изложении, даны не в виде теорем, а в виде задач, что затрудняет ссылки на них в последующей работе. Теоремы о средней линии треугольника и трапеции могли бы появиться раньше. Но этот момент учитель при желании может компенсировать, предложив учащимся другой способ доказательства в начале 8 класса, а вот изучение площади до подобия оправдано (в учебнике Погорелова порядок обратный).
К учебнику [18] изданы «Дополнительные главы» для учащихся классов с углубленным изучением математики.
Учебник А.Д. Александрова и др. — пример соединения в одном курсе планиметрии и стереометрии. В учебнике имеются обидные неточности, которые не украшают учебник. Определение: «Треугольники называются равными, если равны их стороны». В скобках есть разъяснение формулировки. Но как ученик должен давать определение — с разъяснением или без него? А определение позволяет два равносторонних треугольника назвать равными. Не лучше ли дать нормальную формулировку? Это пример из планиметрии, заметно отличающейся от других курсов, но хорошо выстроенной логически. А стереометрия вся построена на недоказанности — это в учебнике, в котором реализуется аксиоматический подход!
Пример 1. Утверждается, что величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла. Без намека на доказательство.
Пример 2. Описание установки мачты с помощью четырех растяжек и рисунок 96 неточные. Авторы думают, что каждая пара растяжек с мачтой лежат в одной плоскости, но не пишут об этом. По их тексту (и рис. 96) можно установить мачту не так, как хочется авторам. А они от этого примера приходят к утверждению, что мачта перпендикулярна любой прямой плоскости, дают определение перпендикуляра к плоскости, бездоказательно формулируют признак перпендикулярности прямой и плоскости и другие факты стереометрии.
Вы спросите, зачем? Ответим: авторы заботятся о пространственном воображении школьников — необходимом элементе их общекультурного развития. Но почему это надо делать в ущерб приучению детей к логике и к научной честности? Разве цели обучения математике так изменились, что теперь на уроке математики надо принимать сказанное на веру?
Прямо скажем, органичного включения стереометрии в курс планиметрии не получилось.
Одной из особенностей учебника И.Ф. Шарыгина является отказ от аксиоматического подхода. В нем уменьшена роль формально-логических рассуждений, больше внимания уделено методам решения задач. Наглядно-эмпирическое построение курса позволяет на раннем этапе обучения решать содержательные, интересные и красивые задачи.
Планиметрические задачи рассматриваются не только на плоскостных, но и на пространственных объектах. Это дает возможность не тормозить формирование пространственного (трехмерного) видения геометрических объектов, пространственного мышления школьников, а развивать их. Этому способствует продуманное использование наглядности в учебнике.
Интересен исторический аспект развития учебного материала, доказательства фактов, полученных великими математиками древности. Все это работает на воспитание интереса учащихся к предмету и уважения к классикам геометрии.
Учебник И.М. Смирновой и В.А. Смирнова следует традициям преподавания геометрии в школе, идущим от классических учебников А.П. Киселева. В нем реализован аксиоматический подход. Аксиомы вводятся постепенно по мере необходимости. Авторы используют избыточную систему аксиом, что в рамках первоначального изучения геометрии оправдано. Однако и здесь, как и в учебнике Погорелова надо следить за порядком вершин в обозначении треугольника.
В качестве дополнений к классическим вопросам планиметрии в учебнике содержатся материалы научно-популярного характера (графы, теорема Эйлера, проблема четырех красок и др.). Учебник завершается материалами по стереометрии, что позволяет распространить изученные понятия и свойства на случай пространства, готовить учащихся к изучению стереометрии в старших классах. В учебнике ощущается реальная забота о развитии пространственного воображения школьников — не в ущерб другим целям обучения математике.
Размещение упражнений непосредственно за учебным текстом улучшает ориентировку учителя и учащихся в учебнике, делает материал, связанный с данным учебным текстом, более обозримым.
Планиметрия
Задачи по планиметрии
Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для 7—11 классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня.
Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения. С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии.
Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы. Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.
Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики
В настоящем пособии дается систематическое изложение углубленного курса планиметрии. Наряду с основными геометрическими сведениями, входящими в стандартную школьную программу по геометрии, содержится большой дополнительный материал, расширяющий и углубляющий основные сведения.
Стиль изложения, принятый в пособии, заметно отличается от традиционного: теорема – доказательство. В ряде случаев авторы не формулируют теоремы и аксиомы заранее, а ищут их формулировки вместе с читателем. Такой подход объясняется желанием авторов дать представление о том, как строится математика и как работают математики.
В книге значительное внимание уделяется геометрии Лобачевского, кривым постоянной ширины, изопериметрическим задачам, доказывается целый ряд замечательных теорем планиметрии. Пособие ориентировано на учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, а также всех, кого привлекает красота геометрии.
Оно может использоваться в классах с углубленным изучением математики, в работе математических кружков и факультативов, служить основным учебником в школах физико-математического профиля.
ЕГЭ 2015. Математика. Задача 18. Геометрия. Планиметрия
Пособия по математике серии «ЕГЭ 2015. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче Единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению Задачи 18. На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по планиметрии.
Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту.
ЕГЭ 2016. Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача 16 (профильный уровень)
Пособия по математике серии «ЕГЭ 2016. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи 16 профильного уровня.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по планиметрии. Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Издание соответствует новому Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).
Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирова
В книге предлагается четкая, проверенная многолетней практикой система обучения решению задач по планиметрии – эффективная технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Все задачи снабжены решениями, которые сравниваются, анализируются и обобщаются.
Особое внимание уделено культуре чертежей и вычислений, логике и способам решений, отбору и систематизации задач. Отличительная особенность пособия – наличие материалов, предназначенных для интегрированного изучения математики и информатики. Издание предназначено для учащихся, абитуриентов, студентов педвузов, учителей.
Планиметрия: виды задач и методы их решений. Элективный курс для учащихся 9—11 классов
Предлагаемый элективный курс содержит обзор, обобщение и систематизацию теоретического и задачного материала школьного курса планиметрии с целью качественной подготовки учащихся 9 и 11 классов к итоговой аттестации по математике (ОГЭ, ЕГЭ). Пособие адресовано учащимся и учителям старших классов для осуществления помощи по выделению основных видов задач и ведущих методов их решения, по отработке навыков использования опорных фактов при решении задач планиметрии, а также при организации самостоятельной деятельности учащихся по подготовке к практикумам и зачётам по решению планиметрических задач.
ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача 16 (профильный уровень)
Пособия по математике серии «ЕГЭ 2017. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи 16 профильного уровня.
Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).
Излагается геометрия Лобачевского на основе школьной аксиоматики абсолютной геометрии и аксиомы Лобачевского. Первая часть книги посвящена планиметрии Лобачевского, а вторая – стереометрии. В конце каждой главы даются задачи, в конце книги – ответы и указания к ним.
Этим книга выгодно отличается от других пособий по геометрии Лобачевского. Книга может с успехом использоваться студентами и преподавателями и физико-математических факультетов университетов, и педагогических вузов. Она также будет полезна учителям классов с углубленным изучением математики для индивидуальной работы с учениками, интересующимися математикой.
Элементарная геометрия. Том 1: Планиметрия, преобразования плоскости
Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам решения геометрических задач. В нем приведены яркие геометрические сведения, не вошедшие в современный школьный учебник. Например, формула Эйлера, окружность девяти точек, теорема Птолемея, геометрические неравенства и многое другое.
Книга адресована всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, – от школьников средних классов до учителей математики и студентов педагогических вузов.
ЕГЭ 2015. Математика. Решение задачи 18
Пособие содержит решения всех задач книги Р. К. Гордина «ЕГЭ 2015. Математика. Задача 18. Геометрия. Планиметрия». Оно ориентировано на повторение курса геометрии и позволяет подготовиться к решению геометрической задачи 18 ЕГЭ по математике. Книга будет полезна учащимся старших классов при подготовке к единому государственному экзамену, учащимся средней школы при изучении курса геометрии, а также всем любителям геометрии.
Пособие предназначено для учащихся старшей и средней школы, учителей математики, родителей. Издание соответствует новому Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).
ЕГЭ 2017. Математика. Решение задачи 16 (профильный уровень)
Пособие содержит решения задач книги Р. К. Гордина «ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача 16 (профильный уровень)». Оно ориентировано на повторение курса геометрии и позволяет подготовиться к решению геометрической задачи 16 профильного уровня ЕГЭ по математике.
Книга будет полезна учащимся старших классов при подготовке к единому государственному экзамену, учащимся средней школы при изучении курса геометрии, а также всем любителям геометрии. Пособие предназначено для учащихся старшей и средней школы, учителей математики, родителей.
Издание соответствует новому Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).
Формирование исследовательских компетенций учащихся в процессе обучения решению планиметрических зад
В учебном пособии рассматриваются теоретические основы формирования исследовательских компетенций учащихся в процессе обучения решению планиметрических задач. Представлен анализ понятий: «компетенции», «компетентность», «исследовательские компетенции», «исследовательские задачи».
Пособие содержит характеристику комплекса исследовательских задач по планиметрии различных типов, обеспечивающих формирование исследовательских компетенций учащихся, и эвристические приемы их решения. Представлены методические рекомендации по организации учебной деятельности учащихся, которая строится на основе сотрудничества, рефлексии, осуществляемых посредством сочетания различных форм и методов обучения за счет оказания дифференцированной помощи при решении исследовательских планиметрических задач.
Учебное пособие будет полезно учителям математики общеобразовательных школ, лицеев, гимназий, студентам и преподавателям педагогических вузов, колледжей, училищ.
ГИА по математике. Практическая подготовка
Пособие предназначено для целевой подготовки к сдаче экзамена по математике в формате ГИА. В первой части приведены теоретические сведения по алгебре – формулы, правила выполнения математических действий, построения графиков функций; и геометрии – признаки равенства и подобия треугольников, формулы расчета геометрических фигур, теоремы планиметрии.
Во второй части представлены блоки заданий, содержащие разобранный типовой пример и от 6 до 12 заданий для самостоятельного решения. Приводятся ответы. Также книга содержит раздел «Проверь себя», позволяющий самостоятельно проверить знания необходимых формул и теорем.
Для образовательных учреждений.
ЕГЭ 2017. Математика. Задачи по планиметрии. Задача 6 (профильный уровень). Задачи 8, 15 (базовый ур
Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2017. Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче Единого государственного экзамена по математике в 2017 году по базовому и профильному уровням. В рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных измерительных материалов ЕГЭ-2017.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль уровня основных арифметических навыков и умения решать геометрические задачи. Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника.
Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).
Преобразования плоскости и их применение к решению задач планиметрии
На языке элементарной геометрии рассматриваются основные свойства движений, подобных, аффинных преобразований плоскости, а также инверсии плоскости. Пособие составлено с учетом современных требований: в нем содержится материал, полезный как студенту-заочнику (конспекты лекций, решение основных типов задач), так и учителю (методы решения задач для школьного факультатива).
К каждому разделу приводятся упражнения для самостоятельного решения (25 вариантов). Предназначено студентам математических факультетов педагогических университетов и учителям.
Геометрические свойства кривых второго порядка
Книга посвящена тем свойствам коник (кривых второго порядка), которые формулируются и доказываются на чисто геометрическом языке (проективном или метрическом). Изложение начинается с элементарных фактов и доведено до весьма нетривиальных результатов, классических и современных.
Глава 2 является содержательным дополнением к традиционному курсу евклидовой планиметрии, расширяющим математический кругозор читателя. Авторы стремились показать преимущества чисто геометрических методов, сочетающих наглядность и логическую прозрачность.
В книге имеется значительное количество задач, решение которых тренирует геометрическое мышление и интуицию. Книга будет интересна школьникам старших классов, студентам физико-математических специальностей, преподавателям и широкому кругу любителей математики.
Геометрия. 7—9 класс. Часть 2
Часть вторая. В этой книге мы рассказали все о треугольниках. Цель книги – помочь школьникам и всем интересующимся планиметрией понять ее и запомнить. По разным причинам школьникам бывает тяжело усвоить всю информацию на уроках, еще тяжелее ее выучить, запомнить и понять перед экзаменом.
В этой книге информация даётся блоками, что помогает лучше и быстрее усвоить нужный материал. Книга разделена на несколько частей для удобства. Примеры объяснений материала автором Вы можете найти в статьях на странице ВК.
Геометрия 7-9 класс. Часть 3
Часть третья. В этой книге мы рассказали все о четырёхугольниках. Цель книги – помочь школьникам и всем интересующимся планиметрией понять ее и запомнить. По разным причинам школьникам бывает тяжело усвоить всю информацию на уроках, еще тяжелее ее выучить, запомнить и понять перед экзаменом.
В этой книге информация даётся блоками, что помогает лучше и быстрее усвоить нужный материал. Книга разделена на несколько частей для удобства.
Геометрия 7-9 класс. Часть 4
Последняя четвертая часть книги по геометрии. В этой части мы собрали информацию о многоугольниках, окружности и круге. Цель книги – помочь школьникам и всем интересующимся планиметрией понять ее и запомнить. По разным причинам школьникам бывает тяжело усвоить всю информацию на уроках, еще тяжелее ее выучить, запомнить и понять перед экзаменом.
В этой книге информация даётся блоками, что помогает лучше и быстрее усвоить нужный материал. Книга разделена на несколько частей для удобства.
Геометрия. 7-9 класс
Вся планиметрия, которую проходят в школе с 7 по 9 класс. Исключена тема «Векторы», т. к. она больше применима в физике и в ОГЭ заданий на этот раздел нет. Материал изложен блоками, и автор постаралась максимально возможно восстановить логические цепочки в темах, разбросанных по всему школьному учебнику и распределенных на три года.
Эта теоретическая часть планиметрии, которая полезна будет всем, кого интересуют фигуры на плоскости или экзамены в школе!
Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.В. и др.
В настоящем пособии дается систематическое изложение углубленного курса планиметрии. Наряду с основными геометрическими сведениями, входящими в стандартную школьную программу по геометрии, содержится большой дополнительный материал, расширяющий и углубляющий основные сведения. Стиль изложения, принятый в пособии, заметно отличается от традиционного: теорема — доказательство. В ряде случаев авторы не формулируют теоремы и аксиомы заранее, а ищут их формулировки вместе с читателем. Такой подход объясняется желанием авторов дать представление о том, как строится математика и как работают математики.
В книге значительное внимание уделяется геометрии Лобачевского, кривым постоянной ширины, изопериметрическим задачам, доказывается целый ряд замечательных теорем планиметрии.
Пособие ориентировано на учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, а также всех, кого привлекает красота геометрии. Оно может использоваться в классах с углубленным изучением математики, в работе математических кружков и факультативов, служить основным учебником в школах физико-математического профиля.
Глава 1. Начальные геометрические сведения 6
§ 1. Точки, прямые, отрезки 6
1. Точка ( 6 ). 2. Прямая линия (б). 3. Луч и отрезок (9). 4. Несколько задач A0). 5. Угол A3). б. Полуплоскость A4).
§2. Измерение отрезков и углов 17
7. Равенство геометрических фигур A7). 8. Сравнение отрезков и углов A7). 9. Середина отрезка и биссектриса угла A8). 10. Измерение отрезков и углов A9). 11. О числах B0).
§3. Перпендикулярные и параллельные прямые 25
12. Перпендикулярные прямые B5). 13. Признаки параллельности двух прямых B8). 14. Практические способы построения параллельных прямых C1). 15. А есть ли квадрат? C2). 16. Заключительные замечания C4).
Глава 2. Треугольники 37
§ 1. Треугольники и их виды 37
17. Треугольник C7). 18. Внешний угол треугольника C8).
19. Классификация треугольников C9). 20. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника D0).
§2. Равнобедренный треугольник 43
21. Теорема об углах равнобедренного треугольника D3).
22. Признак равнобедренного треугольника D3). 23. Теорема о высоте равнобедренного треугольника D4).
§3. Соотношения между сторонами и углами треугольника 46
24. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника D6). 25. Обратные теоремы D7). 26. Неравенство треугольника D9).
§4. Признаки равенства треугольников 52
27. Три признака равенства треугольников E2). 28. Есть ли другие признаки равенства треугольников? E6). 29. Признаки равенства треугольников, использующие медианы, биссектрисы и высоты F1).
§5. Признаки равенства прямоугольных треугольников 68
30. Пять признаков равенства прямоугольных треугольников F8).
31. Серединный перпендикуляр к отрезку. Осевая симметрия G2).
32. Расстояние от точки до прямой G5). 33. Свойство биссектрисы угла G5). 34. Теорема о пересечении биссектрис треугольника G7).
§6. Задачи на построение 79
35. Окружность. Центральная симметрия G9). 36. Взаимное расположение прямой и окружности (81). 37. Окружность, вписанная в треугольник (84). 38. Взаимное расположение двух окружностей (85). 39. Построение треугольника по трем сторонам (88).
40. Основные задачи на построение (91). 41. Еще несколько задач на построение треугольника (94).
Глава 3. Параллельные прямые 101
§ 1. Аксиома параллельных прямых 101
42. Аксиомы A01). 43. Основные понятия A02). 44. Система аксиом планиметрии 45. Два следствия из аксиом A08).
46. О теоремах A09). 48. Аксиома параллельных прямых A14).
49. О пятом постулате Евклида A16). 50. Еще раз о существовании квадрата A17).
§2. Свойства параллельных прямых 119
51. Расстояние между параллельными прямыми A19). 52. Еще один способ построения параллельных прямых A20). 53. Задачи на построение A21).
Глава 4. Дальнейшие сведения о треугольниках 127
§1. Сумма углов треугольника. Средняя линия треугольника 127
54. Задача о разрезании треугольника A27). 55. Сумма углов треугольника A29). 56. Средняя линия треугольника A34). 57. Теорема Фалеса A34). 58. Неожиданный факт A36).
§2. Четыре замечательные точки треугольника 139
59. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника A39). 60. Окружность, описанная около треугольника A41). 61. Теорема о пересечении высот треугольника A42). 62. Размышления о точке пересечения медиан треугольника A43). 63. Теорема о пересечении медиан треугольника A45).
Глава 5. Многоугольники 150
§ 1. Выпуклый многоугольник 150
64. Ломаная A50). 65. Многоугольник A52). 66. Выпуклый многоугольник A58). 67. Выпуклая линия A61). 68. Замкнутая линия A62). 69. Замкнутая выпуклая линия A63). 70. Вписанный многоугольник A64). 71. Описанный многоугольник A66).
§2. Четырехугольники 168
72. Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника A68).
73. Характеристическое свойство фигуры A70). 74. Параллелограмм A70). 75. Теоремы Вариньона и Гаусса A72). 76. Прямоугольник, ромб и квадрат A73). 77. Трапеция A76).
Глава 6. Площадь 180
§ 1. Равносоставленные многоугольники 180
78. Задачи на разрезание многоугольников A80). 79. составленные многоугольники A83). 80. Разрезание квадрата на неравные квадраты A85).
§2. Понятие площади 188
81. Измерение площади многоугольника A88). 82. Площадь произвольной фигуры A93).
§3. Площадь треугольника 197
84. Площади прямоугольника, параллелограмма и треугольника A97). 85. Равновеликие многоугольники A98). 86. Метод Евклида B00). 87. Две теоремы об отношении площадей треугольников B01). 88. Две теоремы о биссектрисах треугольника B03). 89. Признак равенства треугольников по двум сторонам и биссектрисе, проведенным из одной вершины B04).
§4. Формула Герона и ее приложения 210
90. Формула Герона B10). 91. Теорема о медиане B11). 92. Формула биссектрисы треугольника B12).
§5. Теорема Пифагора 213
93. Обобщенная теорема Пифагора B13). 94. Задача о разрезании квадратов B15).
Глава 7. Подобные треугольники 219
§ 1. Признаки подобия треугольников 219
95. Подобие и равенство треугольников B19). 96. Другие признаки подобия треугольников B22). 97. Тригонометрические функции B24).
98. Обобщенная теорема Фалеса B30). 99. Следствие из обобщенной теоремы Фалеса B32). 100. Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике B35). 101. Теорема Чевы B37).
102. Теорема Менелая B41).
§3. Задачи на построение 245
103. Среднее геометрическое B45). 104. Среднее арифметическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное для двух отрезков B46). 105. Метод подобия B47).
§4. О замечательных точках треугольника 255
106. О высотах треугольника B55). 107. О биссектрисах треугольника B57). 108. Еще две точки, связанные с треугольником B58).
Глава 8. Окружность 260
§ 1. Свойства окружности 260
109. Характеристическое свойство окружности B60). ПО. Задачи на построение B60). 111. Кривые постоянной ширины B63).
§2. Углы, связанные с окружностью 268
112. Вписанные углы B68). 113. Углы между хордами и секущими B71). 114. Угол между касательной и хордой B72). 115. Теорема о квадрате касательной B73). 116. Теорема Паскаля B75).
117. Вневписанные окружности треугольника B76).
Глава 9. Векторы 285
§ 1. Сложение векторов 285
118. Сонаправленные векторы B85). 119. Равенство векторов B88). 120. Сумма векторов B89).
§2. Умножение вектора на число 292
121. Произведение вектора на число B92). 122. Несколько задач B94).
Глава 10. Метод координат 298
§ 1. Координаты точек и векторов 298
123. Ось координат B98). 124. Прямоугольная система координат B99). 125. Координаты вектора C00). 126. Длина вектора и расстояние между двумя точками C02). 127. Теорема Стюарта C02).
§2. Уравнения прямой и окружности 304
128. Перпендикулярные векторы C04). 129. Уравнение прямой C05). 130. Уравнение окружности C06).
§3. Радикальная ось и радикальный центр окружностей 309
131. Радикальная ось двух окружностей C09). 132. Расположение радикальной оси относительно окружностей C11). 133. Радикальный центр трех окружностей C13). 134. Теорема Брианшона C15).
§4. Гармонические четверки точек 317
135. Примеры гармонических четверок C17). 136. Поляра C20).
137. Четырехвершинник C21). 138. Построение касательной с помощью одной линейки C22).
Глава 11. Тригонометрические соотношения в треугольнике. Скалярное произведение векторов 324
§1. Соотношения между сторонами и углами треугольника 324
139. Синус и косинус двойного угла C24). 140. Тригонометрические функции произвольных углов C25). 141. Формулы приведения C25). 142. Еще одна формула площади треугольника C26).
143. Теорема синусов C27). 144. Теорема косинусов C28).
§2. Использование тригонометрических формул при решении геометрических задач 331
145. Синус и косинус суммы и разности углов C31). 146. Теорема Морлея C33). 147. Площадь четырехугольника C35). 148. Площади вписанных и описанных четырехугольников C37).
§3. Скалярное произведение векторов 339
149. Угол между векторами C39). 150. Определение и свойства скалярного произведения векторов C41). 151. Теорема Эйлера C43). 152. Теорема Лейбница C44).
Глава 12. Правильные многоугольники. Длина и площадь 347
§ 1. Правильные многоугольники 347
153. Равносторонние и равноугольные многоугольники C47).
154. Построение правильных многоугольников C50).
155. Длина окружности C55). 156. Длина линии C57).
158. Площадь фигуры C63). 159. Первый замечательный предел C65). 160. Изопериметрическая задача C67).
Глава 13. Геометрические преобразования 374
161. Осевая симметрия C74). 162. Движение C75). 163. Использование движений при решении задач C77).
§2. Центральное подобие 386
164. Свойства центрального подобия C86). 165. Теорема Наполеона C88). 166. Задача Эйлера C89). 167. Прямая Симеона C92).
168. Определение инверсии C96). 169. Основные свойства инверсии C98). 170. Теорема Птолемея D01). 171. Формула Эйлера D02). 172. Окружности Аполлония D02). 173. Окружности Аполлония нужны даже флибустьерам D05). 174. Теорема Фейербаха D07). 175. Задача Аполлония D08).
Приложение 1. Снова о числах* 414
176. Неотрицательные вещественные числа D14). 177. Сравнение неотрицательных вещественных чисел D17). 178. Сложение неотрицательных вещественных чисел D17). 179. Умножение положительных вещественных чисел D18). 180. Отрицательные вещественные числа D19). 181. Точная верхняя грань D20).
182. Теорема Вейерштрасса D21). 183. Двоичная форма записи числа D21). 184. О взаимном расположении прямой и окружности D23). 185. Об измерении углов D26). 186. О взаимном расположении двух окружностей D27).
Приложение 2. Снова о геометрии Лобачевского 430
Ответы и указания 437
Именной указатель 473
Предметный указатель 474
Настоящее пособие ориентировано на учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, и предназначено, прежде всего, для классов с углубленным изучением математики, для математических кружков и факультативов. Оно состоит из 13 глав, соответствующих главам учебника «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, СБ. Кадомцева, Э.Г. Позняка, И.И. Юдиной (М.: Просвещение, 1990 г. и последующие издания). Вместе с тем пособие вполне автономно, что позволяет использовать его как в тех классах, где преподавание геометрии ведется по другим учебникам, так и в качестве основного учебника в школах физико-математического профиля. Следует отметить, что стиль изложения, принятый в пособии, отличается от традиционного: теорема — доказательство. В ряде случаев мы не формулируем теоремы и аксиомы заранее, а ищем их формулировки вместе с читателем. Такой подход объясняется желанием авторов дать представление о том, как строится математика и как работают математики.
В пособии наряду с основными геометрическими сведениями, входящими в стандартную школьную программу по геометрии, содержится большой дополнительный материал, расширяющий и углубляющий основные сведения. В частности, значительное внимание уделяется теории параллельных прямых и дается представление о связанной с ней геометрии Лобачевского.
В каждой главе по мере изложения теоретического материала даются задачи с решениями, иллюстрирующие применение тех или иных утверждений. К каждому параграфу главы даны задачи для самостоятельной работы, снабженные ответами и указаниями. Наиболее трудные задачи и разделы отмечены звездочкой. Имеется также предметный указатель, позволяющий легко ориентироваться в книге. Мы надеемся, что наша книга окажется интересной не только для учителей и учеников из классов с углубленным изучением математики, но и для всех, кого привлекает красота геометрии.