Семнадцатиугольник гаусса как построить
Правильный семнадцатиугольник
Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Среди других правильных многоугольников с большим (больше пяти) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи-, одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя).
Свойства
Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет
s = 2 ⋅ r u ⋅ sin ( α 2 ) ≈ r u ⋅ 0,367 5.
Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в монографии «Арифметические исследования» (1796 год). Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:
Факты
Построение
Точное построение
Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.
Примерное построение
Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.
Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.
При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.
Анимированное построение Эрхингера
Звёздчатые формы
У правильного семнадцатиугольника существуют 7 правильных звёздчатых форм.
Семнадцатый угол
Оглавление
характеристики
применяется, из чего следует конструктивность. Его также можно использовать для расчета различных размеров семнадцатого угла, таких как длина стороны, окружность, радиус вписанной окружности, диагональ по двум сторонам и площадь.
это также относится к косинусу центрального угла
Математический фон
Если теперь отсортировать 17 корней из единицы, которые отличаются от 1, то есть в порядке
Таким образом, путем частичного суммирования каждой секунды, каждого четвертого или каждого корня восьмой единицы из этого списка можно получить так называемые гауссовские периоды : два периода из 8 частей с 8 слагаемыми в каждом, четыре периода из 4 частей с 4 слагаемыми каждый и восемь периодов. 2-частные периоды по 2 слагаемых в каждом. На основе фундаментальных свойств или путем явного расчета можно показать следующее:
Геометрические конструкции
Построение с использованием гауссовского реферата формулы
Краткая версия формулы косинуса центрального угла (см. Свойства ),
Построение вспомогательных величин p и q, а также произведения qq
В нем применяется следующее
Построение вспомогательных величин p ‘и q’
В нем применяется следующее
Построение корня qq-2q ‘и косинуса центрального угла μ
В принципе, можно было бы также представить (длинное) выражение, которое Гаусс нашел первым, как построенный сегмент. Однако в соответствующей литературе такое решение не описано.
Строительство по Георгу Паукеру
В следующих инструкциях по строительству описана конструкция согласно Магнусу Георгу Паукеру. а также их продолжение до законченного семнадцатого поворота Радиусы и большая часть диагоналей, содержащиеся в исходном чертеже Паукера, служат для представления формул в его исходном описании и для геометрии. Строительство не требуется. Их здесь оставили.
В каждом конкретном случае в заключение:
Строительство по Герберту Ричмонду
Если дана окружность вокруг полученного семнадцатого угла с центром O, семнадцатый угол может быть построен следующим образом:
Строительство согласно Дуэйн ДеТемпл
Карл Гаусс совершил сенсационное открытие в математике
Учащийся первого курса Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс 30 марта 1796 года решил задачу, перед которой математики пасовали более двух с лишним тысяч лет. Несмотря на то, что еще древними греками были найдены способы построения с помощью только лишь циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон 3, 4, 5, 15, а также с числом сторон, большим в 2 раза, в отношении прочих правильных многоугольников царила полная неизвестность.
И вот именно в этот день будущий «король математиков» Гаусс догадался, как построить правильный 17-угольник, кстати, также, с помощью циркуля и линейки. Это открытие стало поворотным пунктом в его жизни: ранее колебавшийся между филологией и математикой, теперь он твердо решил посвятить себя последней.
Кстати, Гаусс завещал изобразить 17-угольник на своем надгробии. Впоследствии скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности.
Впервые построение правильного 17-угольника было опубликовано фон Пфейдерером в 1802 году. А в 1825 году Йоханнес Эрхингер опубликовал подробное описание построения правильного семнадцатиугольника в 64 шагах.
Для минимизации влияния ошибок измерения Гаусс использовал свой метод наименьших квадратов, который сейчас повсеместно применяется в статистике. Хотя Гаусс не первый открыл распространенный в природе нормальный закон распределения, но он настолько тщательно его исследовал, что график распределения с тех пор часто называют гауссианой.
В физике Гаусс развил теорию капиллярности, теорию системы линз. Заложил основы математической теории электромагнетизма и при этом первым ввел понятие потенциала электрического поля, а в 1845 году пришел к мысли о конечной скорости распространения электромагнитных взаимодействий.
Правильный 17-угольник
Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности.
Содержание
Свойства
Центральный угол α равен 
.
Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет
.
Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в 1796 году. Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:
.
Факты
Построение
Точное построение
Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.
Примерное построение
Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.
Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.
При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.
Анимированное построение Эрхингера
Ссылки
| Правильные многоугольники |
|---|
| Треугольник | Четырёхугольник | Пятиугольник | Шестиугольник | Семиугольник | Восьмиугольник | Девятиугольник | Семнадцатиугольник | 257-угольник | 65537-угольник |
| (См. также: Многоугольник, Теорема Гаусса — Ванцеля) |
Полезное
Смотреть что такое «Правильный 17-угольник» в других словарях:
Правильный 65537-угольник — 65537 угольник или окружность? Правильный 65537 угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиугольник) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников, состоящая из 65537 … Википедия
Правильный 257-угольник — 257 угольник или окружность? Правильный 257 угольник правильный многоугольник с 257 сторонами. Содержание … Википедия
Правильный многогранник — Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия
Правильный семиугольник — Правильный семиугольник это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание … Википедия
Правильный шестиугольник — (гексагон) это правильный многоугольник с шестью сторонами … Википедия
Правильный треугольник — Правильный треугольник. Правильный (или равносторонний) треугольник это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны … Википедия
Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль … Википедия
Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание … Википедия
Правильный восьмиугольник — (октагон) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов и все углы и стороны равны между собой … Википедия
Правильный семнадцатиугольник
Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности.
Содержание
Свойства
Центральный угол α равен 
.
Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет
.
Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки, что было доказано Гауссом в 1796 году. Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:
.
Факты
Построение
Точное построение
Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.
Примерное построение
Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.
Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.
При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.
Анимированное построение Эрхингера
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Правильный семнадцатиугольник» в других словарях:
Правильный 17-угольник — Правильный семнадцатиугольник геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание 1… … Википедия
Правильный шестиугольник — (гексагон) это правильный многоугольник с шестью сторонами … Википедия
Правильный треугольник — Правильный треугольник. Правильный (или равносторонний) треугольник это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны … Википедия
Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль … Википедия
Правильный семиугольник — Правильный семиугольник это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание … Википедия
Правильный восьмиугольник — (октагон) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов и все углы и стороны равны между собой … Википедия
Правильный пятиугольник — Иное название этого понятия «Пентагон»; см. также другие значения. Правильный пятиугольник Правильный пятиугольник (греч … Википедия
Правильный 65537-угольник — 65537 угольник или окружность? Правильный 65537 угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиугольник) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников, состоящая из 65537 … Википедия
Правильный 257-угольник — 257 угольник или окружность? Правильный 257 угольник правильный многоугольник с 257 сторонами. Содержание … Википедия