Сетка вульфа как пользоваться

Решение кристаллографических задач по сетке Вульфа

Положение на сетке Вульфа любой точки определяется ее сферическими координатами ρ и φ (рис. 20.).

Рис. 20. Схема сетки Вульфа и отсчета углов на ней

Правила работы с сеткой Вульфа:

· Приготовляют наклеенную на картон сетку Вульфа, кальку, остро отточенный твердый карандаш;

· Сетку располагают так, чтобы ее экватор был горизонтальным. На сетку кладут кальку, крестиком отмечают центр проекции, а горизонтальной черточкой на правом конце экватора сетки – нулевую точку. По этим двум отметкам всегда можно привести чертеж в исходное положение;

· Вся работа выполняется на кальке. Не допускаются никакие отметки на самой сетке;

· Все построения проводят путем концентрических вращений сетки.

1. накладываем кальку на сетку Вульфа и ставим на ней нулевые отметки ρ и φ;

2. от нулевого значения для φ по кругу проекций по часовой стрелке отсчитываем первую сферическую координату долготу φ (165 0 ) и отмечаем результат на внешнем круге вспомогательной точкой;

3.вращением кальки (центр кальки при этом всегда должен совпадать с центром сетки) совмещаем найденную вспомогательную точку с концом ближайшего диаметра сетки;

4. по этому диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной точки отсчитываем вторую сферическую координату – полярное расстояние ρ (68 0 ) и отмечаем найденную точку кружочком. Для углов 0 0 ≤ ρ≤90 0 проекции обозначают кружочками.

5. возвращаем кальку в исходное положение и подписываем точку «а» (рис. 21). Эта точка является искомой стереографической проекцией направления «А».

В кристаллографии удобнее решить задачи, если

1) даны сферические координаты нормали к грани кристалла и требуется найти стереографическую проекцию нормали к грани, что то же самое, гномостереографическую проекцию самой грани;

2)даны сферические координаты ребра кристалла или какого-нибудь его характерного направления и требуется построить стереографическую проекцию этого ребра.

Определить сферические координаты направления, заданного стереографической проекцией.

1)вращением кальки привести заданную точку, являющуюся стереографической проекцией, на ближайший диаметр сетки. По этому диаметру от центра сетки до заданной точки отсчитать сферическую координату ρ и отметить вспомогательной точкой на круге проекции тот конец упомянутого диаметра, в направлении которого лежит точка;

2)вращением привести кальку в исходное положение и по кругу проекции отсчитать сфеерическую координату φ от нулевого значения φ по часовой стрелке до вспомогательной точки.

Провести дугу большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений.

Пусть точка «а» и «в» являются стереографическими проекциями направлений А (φ=168 0 и р=68 0 ) и В (φ=309 0 и р=55 0 ), тогда для решения задач надо:

· Вращением кальки добиться чтобы обе заданные точки а и в оказались на одном из вспомогательных меридианов сетки Вульфа;

· Найденную дугу тщательно обвести карандашом и возвратить кальку в прежнее положение.

В данной задаче точки «а» и «в» лежат в одной половине сферы и обе изображены кружочками. Если же точки лежат в разных полусферах (обозначаются кружочком и крестиком), то вращением кальки привести точки на симметричные меридианы и обвести их соответственно сплошной и пунктирной линиями.

Если заданные точки изображают гномостереометрические проекции граней, то найденная дуга большого круга представляет гномостереографическую проекцию ребра, лежащего на пересечении обеих граней.

Если заданные точки изображают стереографические проекции ребер, то найденная дуга большого круга является стереографической проекцией грани, в плоскости которой лежат упомянутые ребра.

Измерить угол между направлениями А и В, заданными их стереографическими проекциями «а» и «в» соответственно.

Для решения необходимо совместить заданные точки «а» и «в» с одним из меридианов сетки и отсчитать по этому меридиану количество градусов, заключенных между точками «а» и «в».

Если заданные точки лежат в разных полусферах, то их (подобно решению задачи 3) поворотом кальки совмещают с меридианами, симметричными относительно центра сетки. Угол отсчитывают по одному меридиану от точки до полюса и по другому от полюса до точки.

Если заданные точки представляют собой гномостереографические проекции граней, то измеренный угол является углом между нормалями к этой грани.

Если заданные углы являются стереографическими проекциями ребер, то измеренный угол есть угол между этими ребрами.

Для решения необходимо дугу совместить с одним из меридианов и от точки пересечения дуги с экватором отсчитать 90 0 в сторону центра проекции. Найденная точка отсчета и есть полюс.

По заданному полюсу найти соответствующую ему дугу большого круга (экватор к полюсу).

Вращением кальки надо вывести данную точку на экватор сетки, отсчитать по экватору 90 0 в направлении центра сетки и отметить меридиан, проходящий через точку отсчета. Эта меридиальная дуга будет искомой меридиальной дугой относительно заданного полюса.

Если заданный полюс представляет собой гномостереографическую проекцию грани, то найденная дуга соответствует стереографической проекции самой грани.

Если заданный полюс есть стереографическая проекция ребра, то найденная дуга отвечает гномостереографичесой проекции этого же ребра.

Найти угол между двумя дугами больших кругов.

Например, требуется измерить угол между дугами аb и bd. Для этого вращением кальки совмещается точка пересечения дуг «а» (вершина измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки. Приняв вершину измеряемого угла за полюс, надо обвести отвечающую ему экваториальную дугу (задача 6). Количество градусов, заключенное в этой дуге между точками пересечения с ней двух заданных дуг является величиной искомого угла.

Совместить путем поворота две заданные точки.

Заданные точки переводят на одну параллель вращением кальки. Угол поворота равен углу между точками, измеренному по параллели. Осью поворота является вертикальный диаметр.

Решение этой задачи важно для нахождения осей симметрии в кристалле.

Построить геометрическое место точек, отстоящих от данной точки на данный угол α. (задача на построение малого угла).

Сущность задачи сводится к следующему. Вокруг некоторого направления, стереографическая проекция которого отвечает заданной точке, есть множество направлений, отклоненных от первоначального на один и тот же угол α и образующих в совокупности конус с углом раствора 2α. Пересечение этого конуса с поверхностью сферы дает малый круг, в центре которого находится точка пересечения заданного направления со сферой.

Для решения задачи, заданную точку совмещают с какой – либо параллелью сетки Вульфа, затем по меридиану сетки, проходящему через исходную точку, вверх и вниз отсчитывают α=30 0 и отмечают полученные при этом две точки. Вращением кальки далее приводят заданную точку на какую либо другую параллель сетки и снова аналогичным путем получают пару новых точек. Такой прием повторяется до тех пор, пока полученные точки не будут совершенно отчетливо обрисовывать окружность.

Решение этой задачи упрощается при наличии циркуля. В этом случае поворотом кальки заданную точку переводят на горизонтальный диаметр сетки и вправо и влево от нее отсчитывают требуемый угол. Затем, взяв геометрическую середину найденного отрезка за центр, вычерчивают круг.

Наконец, в случае совпадения заданной точки с центром проекции, условное расстояние отсчитывают по обоим диаметрам сетки и по четырем найденным точкам строят искомую окружность.

Построение малых углов широко используется при решении задач, когда по двум заданным точкам и углам между ними и третьей искомой точкой требуется определить эту искомую.

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте понятие прямого кристаллического комплекса.

2. Объясните, что такое обратный (полярный) кристаллический комплекс.

3. Запишите, какими сферическими координатами характеризуют положение точки на поверхности сферы и как их определяют.

4. Опишите положительные и отрицательные моменты при применении сферической проекции.

5. Объясните, какие комплексы изображения кристалла применяют в сферической проекции.

6. Покажите на рисунке, что является плоскостью стереографической проекции, точкой зрения.

7. Опишите и зарисуйте (на любом примере) принцип построения стереографической проекции направления.

8. Опишите и зарисуйте (на любом примере) принцип построения стереографической проекции плоскости.

9. Объясните, какой кристаллический комплекс используют для построения стереографической проекции.

10.Объясните, что является стереографической проекцией направления.

11.Объясните, что является стереографической проекцией плоскости.

12.Объясните, какой кристаллический комплекс используют в гномостереографической проекции.

13.Покажите на примере принцип построения гномостереографической проекции плоскости.

14.Покажите на примере принцип построения гномостереографической проекции направления.

15.Объясните, что является плоскостью гномостереографической проекции.

16.Покажите, как изображаются гномостереографические проекции граней, находящиеся в верхней и нижней частях сферы.

17.Покажите, как производят отсчет координат на сетке Вульфа.

18.Объясните, что такое сетка Вульфа и для чего ее применяют.

19.Укажите, что является плоскостью гномонической проекции.

20.Зарисуйте принцип построения гномонической проекции плоскости.

21.Объясните, какой кристаллический комплекс используют в гномонической проекции.

22.Запишите, что является гномонической проекцией плоскости.

23.Запишите, что является гномонической проекцией направления.

24.Укажите, в каких случаях для решения задач применяют сферическую проекцию.

25.Укажите при решении каких задач применяют стереографическую проекцию.

26.Укажите для решения каких задач применяют гномостереографическую проекцию.

27.Укажите для решения каких задач применяют гномоническую проекцию.

28.Укажите отличие при изображении прямой в стереографической и гномостереографической проекциях.

29.Укажите отличия при изображении плоскости в стереографической и гномостереографической проекциях.

30.Укажите, что является гномостереографической и гномонической проекцией плоскости.

Практическое занятие 3

Дата добавления: 2018-02-18 ; просмотров: 1224 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

По сетке Вульфа

Положим перед собой сетку Вульфа так, как это показано на рис. 6.

Чтобы иметь возможность всегда приводить кальку относительно сетки в одно и то же исходное положение, отмечаем на кальке центр сетки точкой с четырьмя черточками в виде креста, не доходящими до самой точки. Кроме того, у правого конца горизонтального диаметра сетки ставится небольшая черточка, проведённая вне круга проекций (рис.9).

Рис. 12. Построение на кальке по сетке Вульфа к задачам 1 и 2.

Задача 1. Построить стереографическую проекцию направления, заданного сферическими координатами ρ и φ.

1) накладываем кальку на сетку и ставим на ней центральный крестик и черточку нулевого индекса дляφ;

2) от нулевого индекса для φпо кругу проекций (по часовой стрелке) отсчитываем первую сферическую координату – долготу φ (165 о ) и отмечаем результат на внешнем круге вспомогательной точкой (рис.12);

3) вращением кальки (центр кальки при этом всегда должен совпадать с центром сетки) совмещаем найденную вспомогательную точку с концом ближайшего диаметра сетки;

4) по этому диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной точки отсчитываем вторую сферическую координату – полярное расстояние ρ (68 о ) – и отмечаем найденную точку небольшим кружком;

5) возвращаем кальку в исходное положение и надписываем точку а. Точка а является искомой стереографической проекцией направления А.

В кристаллографии эта задача применяется при решении вопросов:

1. Даны сферические координаты нормали к грани кристалла; требуется найти стереографическую проекцию нормали к грани.

Задача 2 (обратная). Определить сферические координаты направления, заданного стереографической проекцией.

1. Вращением кальки приводим заданную точку (стереографическую проекцию направления) на ближайший диаметр сетки. По этому диаметру от центра сетки до заданной точки отсчитываем сферическую координату ρ и отмечаем вспомогательной точкой на круге проекций тот конец диаметра, в направлении которого лежит наша точка.

2.Приводим кальку в исходное положение и по кругу проекций отсчитываем сферическую координату φ от нулевого индекса по часовой стрелке до вспомогательной точки.

Задача 3. Провести дугу большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений.

1.Вращением кальки добиваемся того, чтобы обе заданные точки а и в оказались на одной из вспомогательных меридиональных дуг сетки Вульфа.

2.Найденную дугу тщательно обводим карандашом и возвращаем кальку в исходное положение (рис.13).

Рис. 13. Построение стереографических проекций к задачам 3,4,5,6 и 7.

Если заданные точки изображают стереографические проекции рёбер, то найденная дуга большого круга является стереографической проекцией грани, в плоскости которой лежат эти рёбра. Предлагаем провести на кальке дуги в d и а d через заданные точки.

Задача 4. Измерить угол между двумя направлениями, заданными их стереографическими проекциями (например, угол между направлениями А и В).

1.Вращением кальки совмещаем данные точки а и в с одной из меридиональных дуг сетки Вульфа (задача 3).

Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (под полюсом дуги принимают точку, равноотстоящую от всех точек дуги на 90 о ).

Например, требуется найти полюс дуги а в (рис.13).

1.Вращением кальки совмещаем заданную дугу а в с соответствующей меридиональной дугой сетки Вульфа.

2.Отсчитываем по горизонтальному диаметру сетки от точки пересечения заданной дуги с этим диаметром по направлению к центру сетки 90 о (перейдя за него) и отмечаем кружком найденную точку.

3.Вращаем кальку в исходное положение и надписываем точку – Р_ав. Найденная точка Р_ав, как легко проверить, действительно является полюсом дуги а в.

Если заданная дуга представляет собой стереографическую проекцию грани, то найденный полюс дуги является стереографической проекцией направления, перпендикулярного к этой грани, или, что то же самое, гномостереографической проекцией самой грани.

Задача 6 (обратная). По заданному полюсу найти дугу большого круга, отвечающую его экватору.

1.Вращением кальки приводим заданный полюс на горизонтальный диаметр сетки.

2.Отсчитываем по горизонтальному диаметру в направлении центра сетки 90 о (перейдя за него) и обводим проходящую здесь меридиональную дугу. Эта последняя будет искомой экваториальной дугой относительно заданного полюса.

Если заданный полюс выражает гномостереографическую проекцию грани, то найденная экваториальная дуга соответствует стереографической проекции той же грани.

Если заданный полюс представляет стереографическую проекцию ребра, то найденная дуга отвечает его гномостереографической проекции. Обратите внимание на решение задач 5 и 6, так как они содержат механизм переходов от стереографической проекции к гномостереографической и обратно.

Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов.

Например, требуется измерить угол между дугами ав и аd (рис.10).1.Вращением кальки совмещаем точку пересечения дуг – а (вершину измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки. 2. Приняв эту вершину за полюс, приводим отвечающую ему экваториальную дугу (задача 6).3.Количество градусов, заключённое в этой дуге между точками пересечения с ней двух заданных дуг, и является величиной искомого угла.

Задача 8. Построить геометрическое место точек, образующих с заданной на проекции точкой одно и то же угловое расстояние α (задача на построение малого круга).

Рис.14. Построение вокруг стереографического центра.

малого круга заданного радиуса к задаче 8

Для этого совмещаем заданную точку с какой-либо параллелью, изображённой на сетке Вульфа, отсчитываем по меридиональной дуге сетки, проходящей через исходную точку, вверх и вниз угловое расстояние α и отмечаем полученные при этом две точки. Вращением кальки приводим заданную точку на какую-либо другую параллель сетки и снова аналогичным путём получаем пару новых точек. Повторяем такой приём до тех пор, пока полученные точки не начнут совершенно отчётливо обрисовывать окружность. Эта последняя может быть вычерчена с помощью одной из параллелей сетки Вульфа, кривизна которой соответствует искомому кругу. Для этого центр кальки сдвигается с центра сетки, и часть построенных точек совмещается путём наложения с параллелью, приёмов вычерчивается требуемый малый круг. Решение задачи упрощается при наличии циркуля.

Поворотом кальки приводим заданную точку на горизонтальный диаметр сетки и отсчитываем вправо и влево от нее требуемый угол α. Взяв геометрическую середину найденного отрезка, принимаем ее за центр и вычерчиваем требуемый круг. Если исходная точка лежит слишком близко к кругу проекций – задача решается по трём точкам, из которых две берутся по соответствующему меридиану сетки. В частном случае, когда заданная точка лежит на внешнем круге проекций (ρ=90 о ), достаточно привести ее поворотом кальки на один из полюсов, изображённых на сетке Вульфа, отсчитать в любую сторону по кругу (или по любой вспомогательной меридиональной дуге сетки) требуемый угол и прочертить соответствующую параллель сетки. В случае совпадения заданной точки с центром проекций отсчитываем по обоим диаметрам сетки угловые расстояния α и по четырём найденным точкам строим искомую окружность. Построение малых кругов широко используется при решении задач, когда по двум заданным точкам и по углам между ними и третьей искомой точкой требуется изобразить эту последнюю (задача 10).

Задача 9. Даны измеренные на гониометре сферические координаты граней кристалла:

Требуется: 1)изобразить гномостереографические и стереографические проекции всех граней (задачи 1 и 6);

2)измерить углы между гранями (задачи 4 и 7);

3)изобразить гномостереогрфические и стереографические проекции рёбер (задачи 3 и 5);

4)найти сферические координаты рёбер и измерить углы между рёбрами (задачи 2, 4 и 7).

Задача 10. Построить гномостереографическую проекцию кристалла по углам между нормалями к граням (именно такие углы, измеряются на отражательном гониометре). Они легко находятся посредством прикладного гониометра).Даны углы между нормалями к граням (рис.15):

В:С=83 о В:Р=42 о Р:С=72 о Р:Q=54 о
В / :О=58 о В:В / =180 о С:О=54 о

Рис. 15. Построение гномостереографической проекции кристалла

по углам между нормалями к граням (к задаче 10).

2.Измерить угол между нормалями к граням С и О (задача 4).

3.Найти стереографические проекции рёбер СВ и СР и определить их сферические координаты (задачи 3, 5, 2).

4.Построить стереографическую проекцию грани О (задача 6).

Источник

Принцип стереографического проектирования. Сетка Вульфа.

В кристаллографии для пространственного изобра­жения изучаемых кристаллов, их элементов симметрии и элементов ограничения используются различные про­екции. Наиболее часто применяются стереографическая (от греч. «стерсос» — пространственный, объемный) проекции.

Для построения проекции кристалла последний поме­щается в центр шаровой сферической поверхности. Гра­ни и ребра кристалла продолжаются до пересечения с шаровой поверхностью и изображаются так: грани — в виде дуг, ребра —в виде точек. Такая проекция получи­ла название стереографической. При построении стереографической проекции кри­сталла для его более полного отображения практикует­ся нанесение на проекцию элементов симметрии данного кристалла. Условились элементы симметрии изображать следующими значками

Сетка Вульфа в кристаллографии — стереограмма градусной сетки на сфере при точке зрения на экваторе сферы. Меридианы и параллели сетки Вульфа играют только вспомогательную роль как проекции дуг больших и малых кругов.

Все построения с использованием сетки Вульфа проводятся на кальке, на которой фиксируется центр, совпадающий с истинным полюсом (N) сферы проекций (φ=…, ρ=0), и точка пересечения нулевого меридиана с окружностью сетки Вульфа (φ=0, ρ=90). Погрешность сетки Вульфа составляет 2°.

Метод изобретён кристаллографом Георгием Вульфом.

Примеры примененияС помощью сетки Вульфа можно построить стереографическую проекцию точки, заданной своими сферическими координатами φ и ρ: углы φ отсчитывают по окружности сетки Вульфа по часовой стрелке от нулевого меридиана, а углы ρ — от центра сетки по горизонтальному или вертикальному диаметру, с концом которого, вращая кальку (не нарушая центровку), совмещают точку-зарубку, отвечающую координате φ.

Сетка Вульфа позволяет графически, без дополнительных расчётов решать многие задачи геометрической кристаллографии, связанные с угловыми характеристиками кристаллов.

11. Простые формы. Принцип вывода.Простая форма – совокупность граней, связанных между собой элементами симметрии. Это фигура, состоящая из симметричных граней, ее грани должны быть связаны хотя бы с одним элементом симметрии. L2 – ДИЭДР, ПИНАКОИД, МОНОЭДР. Аналогично относительно осей порядков выше находятся простые формы. При определении простых форм может помочь стереографическая проекция.

12. Закон Вейса (2 закон кристаллографии) стр. 154Любая грань кристалла принадлежит по меньшей мере двум его поясам. Или Плоскость параллельная двум ребрам кристалла, представляет собой возможную грань его, а прямая, параллельная линии пересечении дух граней кристалла, является его возможным ребром.

Согласно этому закону на пересечении двух поясов теоретически всегда возможна грань.

Пояс – это совокупность граней, пересекающихся по параллельным ребрам, а они располагаются параллельно атомным рядам.

13. Закон Гаюи (3 закон кристаллографии)Двойные отношения параметров, отсекаемых двумя другими гранями кристаллов на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых сравнительно малых чисел. Нужен для определения символов граней:

A’/a – b’/b – c’/c =h-k-l.

14. Символы граней кристаллов Символ грани Ах, Вх, Сх выражается тремя целыми и взаимно простыми числами, представляющими собой отношения трех дробей, числители которых являются параметрами единичной грани (ОА1, ОВ1, ОС1), а знаменатели соответствуют параметрам заданной грани (ОАх, ОВх, ОСх)

Для получения символов граней необходимо за координатные оси принять три направления, проходящие через одну точку и параллельные трем ребрам кристалла, а также выбрать единичную грань. (Берутся обратные величины от отношений) символ грани (hkl)

15. Скорость роста и ретикулярная плотность граней кристаллов. Скорость роста грани – величина нормали, на которую переместилась данная грань за единицу времени.

AB, BC, CD – грани кристалла pg, mn, hk – скорости роста граней кристалла.

Анизотропия свойств кристаллов проявляется в разных скоростях роста. Например, грани с наибольшей ретикулярной плотностью (т.е. плотностью расположения частиц на плоской сетке решетки) растут с наименьшей скоростью. Поэтому грань ВС со временем исчезает, т.к. скорость ее роста меньше скорости роста граней AB и CD.

В соответствии с теорией роста, образование нового слоя начинается только после завершения формирования последующего. Так создается идеальный кристалл – выпуклый многогранник с плоскими гранями.

Однако грани реальных кристаллов нередко отличаются наличием бугорков, впадин, штриховок – это так называемая скульптура грани. Более того, впервые на кристаллах корунда, а затем и на гематите, кварце, сфалерите были обнаружены на поверхности кристалла тончайшие спирали (рис. 2.3). Оказалось, что именно по этим винтовым лестницам, которые являются проявлением линейных дефектов кристаллических решеток (называемыми дислокациями), и растут кристаллы.

Дата добавления: 2016-07-05 ; просмотров: 2641 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник