Смешанные числа как находить
Смешанные дроби
Что такое смешанная дробь
Число, содержащее в себе целую и дробную части, называется смешанной дробью.
По сути, данное понятие представляет собой сумму целого числа и правильной дроби:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Превращение смешанной дроби в неправильную
Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь. Для этого необходимо к произведению целой части и знаменателя дробной части прибавить числитель. Полученная сумма будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.
Преобразование смешанной дроби в неправильную можно записать в виде формулы:
Выполнение действий со смешанными дробями, формулы и примеры
Сложение
Чтобы посчитать сумму смешанных дробей необходимо отдельно сложить их целые компоненты и дробные составляющие. Правильные дроби в составе смешанных чисел суммируются при помощи приведения к наименьшему общему знаменателю.
Формульное выражение сложения смешанных чисел:
\(a\frac bc+d\frac ef=\left(a+d\right)+\left(\frac bc+\frac ef\right)\)
Вычисляем наименьший общий знаменатель дробных слагаемых:
Вычитание
Чтобы из одной смешанной дроби вычесть другую, нужно дробные компоненты уменьшаемого и вычитаемого привести к минимальному общему знаменателю, затем выполнить вычитание отдельно целых и дробных частей.
Формула для ситуации, когда дробь в составе уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:
\(a\frac bc-d\frac ef=\left(a+\frac bc\right)-\left(d+\frac ef\right)\;=\left(a-d\right)+\left(\frac bc-\frac ef\right)\)
В случае, когда дробь в составе уменьшаемого меньше дроби в составе вычитаемого, необходимо меньшую дробь превратить в неправильную, отняв единицу от целой части уменьшаемого, то есть:
\(a\frac bc-d\frac ef=\left(\left(a-d\right)-\frac ef\right)+\frac bc\)
Для решения этого выражения найдем наименьший общий знаменатель:
8=2×2×2, следовательно, 8 — это наименьший общий знаменатель.
Умножение и деление
Перед тем, как умножать или делить смешанные числа, необходимо преобразовать их в неправильные дроби. После этого можно производить нужное действие по правилам умножения и деления обыкновенных дробей.
Формула умножения смешанных чисел выглядит так:
Формула деления смешанных дробей:
При умножении смешанной дроби на натуральное число преобразование в неправильную дробь делать не нужно. Такого рода вычисления производятся с помощью распределительного закона умножения.
Если требуется разделить смешанную дробь на натуральное число или натуральное число на смешанную дробь, нужно представить делимое и делитель в виде неправильной дроби, затем выполнить необходимое действие, как с обыкновенными дробями.
Если нужно выполнить умножение или деление смешанной дроби на обыкновенную дробь, смешанное число необходимо преобразовать в неправильную дробь. После преобразований нужное действие производится по такому же алгоритму, как с обыкновенными дробями.
Смешанные дроби или смешанные числа.
Смешанные дроби в математике можно получить одним из способов, например, из неправильной дроби или путем сложения дробей и еще много вариантов, когда вы сможете столкнуться со смешанной дробью.
Как сделать из неправильной дроби правильную дробь?
Рассмотрим неправильную дробь \(\frac<21><9>\)
Дробная черта — это деление, поэтому число 21 поделим на 9 столбиком.
После деления столбиком у нас появились неполное частное, его записываем в целую часть дроби. Остаток записываем в числитель, а делитель записываем в знаменатель.
Получаем дробь \(2\frac<3><9>\), такие дроби называются смешанными. В этой смешанной дроби число 2 – целая часть, а \(\frac<3><9>\) – правильная дробь.
Смешанные дроби состоят из целой и дробной части.
Рассмотрим еще одну неправильную дробь \(\frac<76><5>\)
Разделим ее столбиком:
Получили смешанную дробь \(15\frac<1><5>\)
Как смешанную дробь перевести в неправильную дробь?
Чтобы из смешанной дроби сделать неправильную дробь нужно знаменатель умножить на целую часть и сложить с числителем, получим числитель неправильной дроби. А знаменатель остается без изменения. Рассмотрим пример:
Вопросы по теме:
Смешанная дробь может быть меньше единицы?
Ответ: нет, потому что смешанную дробь можно представить в виде неправильной дроби, а неправильная дробь всегда больше или равна единицы.
Что показывает целая часть у смешанной дроби?
Ответ: целая часть показывает сколько полных знаменателей содержит дробь.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?
Ответ: к произведению знаменатели и целой части прибавить числитель получим числитель искомой неправильной дроби, а знаменатель не меняется.
Как перевести неправильную дробь в смешанное число? И как выделить целую часть?
Ответ: делим в столбик числитель на знаменатель, неполное частное – это целое, делитель – это знаменатель, а остаток – это числитель. Смотрите пример выше.
Что такое смешанные дроби или смешанные числа?
Ответ: Смешанные дроби – это числа, которые состоят из целой и дробной части.
Пример №1:
Представьте дробь в виде смешанного числа: \(\frac<508><17>\)
Решение:
Разделим дробь столбиком:
Ответ: Получили смешанную дробь \(29\frac<15><17>\)
Пример №2:
Представьте число в виде неправильной дроби: а) \(9\frac<2><3>\), б) \(1\frac<3><7>\)
Решение:
а) \(9\frac<2> <3>= \frac<9 \times 3 +2> <3>= \frac<29><3>\\\\\)
б) \(1\frac<3> <7>= \frac<1 \times 7 +3> <7>= \frac<10><7>\\\\\)
Задача №1:
Миша готовился к экзамену. За месяц он решил 120 задач. За первую неделю Миша решил \(\frac<2><5>\) от этого числа. Сколько задач решил Миша за первую неделю?
Решение:
У нас есть дробь \(\frac<2><5>\), знаменатель равен 5 это значит, что общее число 120 надо разделить на 5 и получим сколько составляет одна часть.
\(120 \div 5 = 24\) задачи это одна часть или \(\frac<1><5>\)
В числителе стоит 2, значит нам надо взять две части, поэтому 24 умножаем на 2.
\(24 \times 2 = 48\) задач
Ответ: за неделю Миша решил 48 задач.
Смешанные числа — сложение, вычитание и умножение дробей с разными знаменателям
Что такое смешанное число
Под смешанным числом понимают сумму натурального числа и обычной дроби, записанную без знака «+».
― это смешанное число. Читать данное выражение следует так: «четыре целых пять седьмых».
Где 4 ― это целая, а 5/7 ― дробная часть.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби
Если мы, имея на руках один пирог и ещё половину (то есть 1½), возьмём и дополнительно поделим целый пирог на два равных куска, то у нас в итоге окажется три половинки (или 3/2). Но суть от этого всё равно не изменится: «количество» пирога останется прежним.
Этот пример наглядно показывает, что смешанное число можно превратить в неправильную дробь. Это преобразование можно выполнить за несколько шагов:
Например, 5¾ преобразуется следующим образом:
Данные вычисления можно выразить и в более короткой формуле:
Как выделить целую часть неправильной дроби
Чтобы совершить обратную операцию и превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно сначала выделить её целую часть. Она будет равна результату деления числителя на знаменатель.
Если поделилось без остатка, значит больше никаких действий выполнять не нужно.
Если поделить без остатка не получается, то для завершения преобразования в смешанное число, остаток следует вынести в числитель. Знаменатель остаётся тем же.
Как перевести смешанную дробь в десятичную
Так как подобную процедуру часто приходится проделывать не только в школе, выполняя математические задания и решая различные уравнения, но и в повседневности, ― умение проделывать это легко и быстро может оказаться очень полезным.
Для перевода необходимо:
Таким образом, чтобы преобразовать 53/5, нужно:
Как сократить смешанную дробь
При сокращении целая часть не трогается, изменениям подвергается только дробная. Чтобы сократить её, нужно:
Например, чтобы сократить 76/9, необходимо:
Сложение смешанных чисел
Чтобы осуществить сложение, нужно необходимую операцию проделать отдельно для целых и отдельно для дробных частей. А получившиеся результаты сложить.
Например, чтобы решить следующий пример
,
Вычитание смешанных чисел
Для вычитания вычисления аналогичны. Следующую задачу
следует решить так:
Как умножать смешанные числа
Чтобы перемножить смешанные числа, необходимо:
Для примера решим следующее задание:
Заключение
Происхождение чисел сложно точно проследить. Известно только, что человек стал пользоваться ими с самых седых времён. История дробей также берёт своё начало в глубокой древности: подобными понятиями оперировали уже в древнем Египте.
Сегодня просто невозможно представить нашу жизнь без них. Все современные научные достижения, на которых основано наше общество, были бы попросту неосуществимы, не говоря уже о том, что значительно усложнилась бы наша повседневная жизнь. Вот почему так важно знать, что они собой представляют.
Многие ученики, когда подходит время изучать смешанные числа в 6 классе, сомневаются, что подобные вычисления пригодятся им в жизни, в особенности в наше время, когда можно при необходимости воспользоваться калькулятором.
Однако в быту подобными выражениями мы пользуемся чаще, чем может показаться на первый взгляд: при измерении времени, в рецептах блюд, дозировках лекарств и так далее.
Что такое смешанное число
Под смешанным числом понимают сумму натурального числа и обычной дроби, записанную без знака «+».
Где 4 ― это целая, а 5/7 ― дробная часть.
Как представить смешанное число в виде неправильной дроби
Этот пример наглядно показывает, что смешанное число можно превратить в неправильную дробь. Это преобразование можно выполнить за несколько шагов:
Данные вычисления можно выразить и в более короткой формуле:
Как выделить целую часть неправильной дроби
Чтобы совершить обратную операцию и превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно сначала выделить её целую часть. Она будет равна результату деления числителя на знаменатель.
Если поделилось без остатка, значит больше никаких действий выполнять не нужно.
Если поделить без остатка не получается, то для завершения преобразования в смешанное число, остаток следует вынести в числитель. Знаменатель остаётся тем же.
Как перевести смешанную дробь в десятичную
Так как подобную процедуру часто приходится проделывать не только в школе, выполняя математические задания и решая различные уравнения, но и в повседневности, ― умение проделывать это легко и быстро может оказаться очень полезным.
Для перевода необходимо:
Таким образом, чтобы преобразовать 5 3 /5, нужно:
Как сократить смешанную дробь
При сокращении целая часть не трогается, изменениям подвергается только дробная. Чтобы сократить её, нужно:
Например, чтобы сократить 7 6 /9, необходимо:
Сложение смешанных чисел
Чтобы осуществить сложение, нужно необходимую операцию проделать отдельно для целых и отдельно для дробных частей. А получившиеся результаты сложить.
Например, чтобы решить следующий пример
Вычитание смешанных чисел
Для вычитания вычисления аналогичны. Следующую задачу
следует решить так:
Как умножать смешанные числа
Чтобы перемножить смешанные числа, необходимо:
Для примера решим следующее задание:
Заключение
Происхождение чисел сложно точно проследить. Известно только, что человек стал пользоваться ими с самых седых времён. История дробей также берёт своё начало в глубокой древности: подобными понятиями оперировали уже в древнем Египте.
Сегодня просто невозможно представить нашу жизнь без них. Все современные научные достижения, на которых основано наше общество, были бы попросту неосуществимы, не говоря уже о том, что значительно усложнилась бы наша повседневная жизнь. Вот почему так важно знать, что они собой представляют.
Смешанные числа
Среди обыкновенных дробей различают два разных вида.
Правильные и неправильные дроби
Обратите внимание, что в двух первых дробях (
| 3 |
| 7 |
и
| 5 |
| 7 |
) числители меньше знаменателей. Такие дроби называют правильными.
У правильной дроби числитель меньше знаменателя. Поэтому правильная дробь всегда меньше единицы.
Рассмотрим две оставшиеся дроби.
Дробь
| 7 |
| 7 |
имеет числитель равный знаменателю (такие дроби равны единицы), а дробь
| 11 |
| 7 |
имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.
У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.
Любая неправильная дробь всегда больше правильной.
Как выделить целую часть
У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.
Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:
Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом.
Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:
Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.
Любое смешанное число можно представить как сумму целой и дробной части.
Любое натуральное число можно записать дробью с любым натуральным знаменателем.
Частное от деления числителя на знаменатель такой дроби будет равно данному натуральному числу.