Спираль галилея как построить

Как начертить правильную спираль

Спиралью называется плоская кривая, описываемая точкой, удаляющейся от центра при совершении кругового движения в плоскости чертежа вокруг центра спирали. На практике различают спирали с постоянным и постепенно возрастающим расстоянием между завитками. Обычно спирали строят по точкам и вычерчивают с помощью лекала.

Для того чтобы расчертить спираль, необходимо наметить не менее двух ее центров. Если вычерчивают спираль из трех или более центров, то обычно центрами спирали являются вершины правильного треугольника или правильного многоугольника. Каждую дугу проводят из последующей вершины до пересечения с лучом из угла треугольника или многоугольника. Радиус при этом каждый раз увеличивается на длину, равную длине стороны треугольника или многоугольника.

Рассмотрим, например, как начертить так называемую «архимедову спираль» (рис. 17, а ). Для этого нужно провести горизонтальную линию и отметить на ней две точки О 1 и О 2, отстоящие одна от другой примерно на 3 мм. Поставив ножку циркуля в одну из этих точек (О 1), проведите дугу радиусом 3 мм (R 1), равную половине окружности. Концы этой дуги должны опираться на горизонтальную ось (в данном примере – сверху).

Для построения спирали, имеющей три центра (рис. 17, б), находящихся на равных расстояниях один от другого, необходимо предварительно построить равносторонний треугольник 1–2–3 (заштрихован) и продолжить его стороны так, как это показано на рисунке (линии 1–1’, 2–2’ и 3–3’ ).

Рис. 17. Построение спиралей: а – «архимедова спираль» с двумя центрами; б – трехцентровая спираль; в – эвольвента круга; г, д – ломаные (хордовые) спирали.

Аналогично выполняют спирали с четырьмя, пятью и т. д. центрами.

Содержание

Формула [ править | править код ]

Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значением коэффициента роста – φ 4 :

r = a φ ± 2 θ π >> ,

где a — произвольная положительная вещественная константа, а φ = 5 + 1 2 >+1> >> — золотое сечение.

Основное свойство логарифмической спирали: угол между радиус-вектором, исходящим из полюса, и касательной к спирали – μ – постоянен, и для золотой спирали определяется формулой:

tg ⁡ μ = r r ′ = π 2 ln ⁡ φ mu = , где r ′ =”” d r d θ >> .

Откуда μ ≈ 73 ∘ > .

Приближения золотой спирали [ править | править код ]

Как уже было написано выше, при вписывании золотой спирали в последовательность вложенных друг в друга золотых прямоугольников, она аппроксимируется спиралью, построенной по методу Дюрера. Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный ему прямоугольник, его, в свою очередь, разделить тем же образом, и продолжать этот процесс произвольное число раз. Если в эти квадраты вписать соединенные между собой четвертинки окружностей, то получается спираль, изображенная на первом рисунке.

Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи, которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов (см. второй рисунок).

Спирали в природе [ править | править код ]

Построение спирали Архимеда.

Спираль Архимеда – это траектория точки, движущейся с постоянной скоростью от центра окружности по

радиусу, вращающемуся также с постоянной угловой скоростью.

1. Делим радиус окружности на одинаковое число равных частей (в примере на 8).

2. Делим окружность на такое же число равных частей.

3. Проводим лучи из центра через точки деления окружности.

4. На первом луче откладываем одно деление радиуса.

5. На втором луче откладываем два деления радиуса и т. д.

6. Если строить спираль дальше, то на луче 1 откладываем 8+1 деление радиуса (получаем точку IX ).

8. На третьем луче откладываем 8+3 деления радиуса (получаем точку XI) и т. д.

Соединяем точки по лекалу.

Спираль. Спираль Архимеда. Построение спирали Архимеда.

Источник

Упражнения

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

4. Докажите, что уравнение

задает эллипс, если 0 > 1.

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | |.

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.

Источник

ГАЛИЛЕЯ СПИРАЛЬ

— плоская кривая, уравнение к-рой в полярных координатах имеет вид:

Г. с. симметрична относительно полярной оси (см. рис.) и имеет двойную точку в полюсе с касательными, образующими с полярной осью углы, равные На полярной оси у Г. с. бесконечно много двойных точек, для которых где Г. с. относятся к так называемым алгебраическим спиралям. Названа по имени Г. Галилея (G. Galilei, 1638) в связи с его работами по теории свободного падения тел.

Лит.:[1]Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960. Д. Д. Соколов.

Смотреть что такое «ГАЛИЛЕЯ СПИРАЛЬ» в других словарях:

трансцендентная функция — ▲ аналитическая функция ↑ не, алгебраическая функция трансцендентная функция аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. показательная функция, экспонента. логарифмическая функция. ▼ тригонометрическая функция спирали: ↑ центр (фигуры)… … Идеографический словарь русского языка

СПИРАЛИ — плоские кривые, к рыс обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от нее. Среди С. выделяют алгебраич. С. и псевдоспирали. Алгебраические спирали спирали, уравнения к рых в полярных координатах являются… … Математическая энциклопедия

Часы прибор для измерения времени — Содержание: 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Часы — Содержание. 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

АРХЕОАСТРОНОМИЯ — Археологи нашли многочисленные свидетельства того, что в доисторические времена люди проявляли большой интерес к небу. Наиболее впечатляют мегалитические сооружения, построенные в Европе и на других континентах несколько тысяч лет назад.… … Энциклопедия Кольера

Термометр — (греч. θέρμη тепло; μετρέω измеряю) прибор для измерения температуры воздуха, почвы, воды и так далее. Существует несколько видов термометров: жидкостные механические электрические оптические газовые инфракрасные Содержание … Википедия

Золотые и серебряные монеты евро Австрии — Австрия Republik Österreich Код ISO ISO 3166 2:AT … Википедия

Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

Ферма, Пьер — Пьер де Ферма Pierre de Fermat Дата рождения … Википедия

Источник

Конспект к презентации по математике «Спирали»

Природа стремится к спирали

Выполнил: ученик 8 «б» класса

Руководитель: Прокопьева М.С.

Природа стремится к спирали………………………………………2

Спираль – замечательная кривая………………………. 6

Параболическая спираль……………………………. 9

Гиперболическая спираль …………………………….9

Цилиндрическая винтовая линия…………………….10

Коническая винтовая линия…………………..….11

Актуальность темы заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. В школьном курсе математики не изучаются замечательные кривые и их свойства, которые широко используются в жизни.

Изучить историю кривой.

Расширить теоретические и практические знания

Воспитывать внимание, наблюдательность, умение слушать, выявлять закономерности, делать выводы и обобщения.

Развивать логическое мышление, умение видеть и понимать красоту окружающего мира.

Говорить мы будем о спирали – древнем знаке цикличности и времени. Каждый из вас не единожды встречал спираль в повседневной жизни. Для древних людей, впрочем, как и для нас с вами, спираль являлась достаточно распространённым знаком.

Несмотря на простоту изображения, спираль – это сложный и ёмкий по значению символ. Он использовался людьми ещё со времён палеолита, т.е. каменного века, около двух с половиной миллионов лет назад. Ещё до появления первых правящих династий спираль уже была широко известна людям Египта, Крита, Месопотамии, Микен, Китая, Японии, Индии, стран Скандинавии, Британии, Европы, Северной Америки и даже Океании. Словом, по всему миру. Интересен тот факт, что о спирали, наоборот, не знали на Гавайях.

Также спираль являлась декоративным символом, узор из которой было легко и просто наносить на камни, глину и дерево. Например, двойная спираль присутствует в орнаментах кельтской культуры.

Ведь еще задолго до трилистника существовал знаменитый символ, называемый «трискел» или «трискеле» (в переводе с греч. tri — «три», а skelos — «кость, нога»).
Он изображался в виде трех бегущих ног, исходящих из одной точки, и символизировал равновесие и гармонию с природой, а также переплетение трех стихий — Огня, Воздуха и Воды. Позже он стал изображаться не в виде ног, а в виде спиралей, образующих в центре треугольник. В разных вариантах такой символ встречался у крито-македонцев, этрусков, древних японцев и народов Гималаев. Но везде он имел один и тот же смысл — гармонию всего во Вселенной и неудержимое движение вперед, движение в бесконечность, которое и есть жизнь, которое и есть настоящая радость. Трискел иногда так и называют — символ Радости.

Второе значение: символ развития, стремления к новым уровням. Ведь что такое «спираль» как фигура? Это неразрывная линия, сложенная в круги, каждый последующий виток которой расположен над предыдущим. Представьте себе наши года обучения в школе схематично в виде спирали. Каждый год – это новый её виток. Но в течение этого года вы переживаете одни и те же события: сначала 1 сентября, затем Новый год, затем Рождество, Пасху, экзамены и каникулы. Каждый год повторяется одно и то же. Но с каждым годом вы становитесь всё умнее и взрослее. Вот вам спираль. Каждый последующий виток выводит вас на новый уровень, несмотря на то, что вы остаётесь учениками одной и той же школы несколько лет подряд. Иными словами, вы развиваетесь по спирали. И вся ваша жизнь тоже развивается по спирали.

Третье значение: спираль – это деторождение, плодовитость, созидание. Считается, что спираль, образованная колебаниями воды – материнской стихии, означает жизнь во Вселенной в общем смысле. Это момент рождения чего-то нового.

Четвёртое значение : жизненная сила, данная нам природой. В данном случае, спираль следует понимать на уровне Космоса и Микрокосмоса. Спираль – это некая скрытая сила внутри каждого живого организма. Она помогает ему развиваться и двигаться вперёд.

Пятое значение: центробежная сила, стремление к своему центру, к сердцу, мудрости и интуиции. Считается, что движение по спирали – это есть процесс постижения своего внутреннего мира. А всё потому, что спираль почти всегда ассоциируется со змеёй, которая, в свою очередь, олицетворяет мудрость предков. Змеи обычно любят сворачиваться кольцами, отчего их длинное туловище внешне походит на спираль.

Шестое значение: вечное изменение, эволюция Вселенной, постоянное движение, пружина. Например, взять механические часы.

Внутри них есть специальные устройства, названные пружинами. Они помогают «двигать» стрелки часов вперёд, тем самым демонстрируя непрерывность движения, его «вечность».

Как мы видим, спираль – достаточно сложный и ёмкий символ, который в большей степени связан с природой, природными силами и стихиями. Спираль близка к кругу, а круг – это самая идеальная форма из всех, что создала природа. ( Водоворот и воронка, лепестки и листья растений, смерчи и торнадо, раковины моллюсков, галактики, линии на пальцах рук, двойная спираль молекулы ДНК.)

Кроме природы символ спирали присутствует и в повседневной жизни людей. Жизнь человека или смену времён года можно обозначить спиралью. Некоторые лестницы в наших домах, также имеют спиралевидную форму. С этим свойством связано седьмое значение символа – восхождение, стремление к вершине. В качестве примера совершим экскурс в историю. Винтовые лестницы особенно часто стали использоваться в эпоху Средневековья. Все соборы обязательно имели хотя бы одну такую лестницу. Её спиралевидная форма означала тайную тропу, которая незаметно вилась вокруг стен храма, не привлекая к себе внимания. Любой, кто решит совершить такое восхождение, скрываясь от чужих глаз, обязательно постигнет тайну своего духовного «я». А она может открыться лишь тем, кто выбрал свой путь к небесам. Винтовая лестница означала путь к небу, впрочем, как и шпили этих самых соборов, символизирующие стремление достичь самого Бога.

Спираль как цикличный элемент не имеет начала и конца. Например, на Востоке хвост китайского дракона часто изображается в виде завитка спирали, символизирующий бесконечность Вселенной. В даосском знаке Инь и Янь также имеется двойной спиралевидный элемент, который говорит о равновесии противоположностей. Кстати сказать, на символе медицины Кадуцее тоже есть такая спираль, представленная в виде двух обвивающихся вокруг жезла змей.

Спираль – замечательная кривая

Я покажу только некоторые примеры, чтобы вас заинтересовать. Спирали не только красивые формы. Некоторые из них демонстрируют глубокие математические понятия и уже с древних времен привлекали внимание великих математиков.

Вы когда-либо слышал о спирали, названной в честь Архимеда? Или о логарифмической спирали, которая так впечатлила известного швейцарского математика Якоба Бернулли, что он назвал ее «spira mirabilis»и согласно его желанию, она была вырезана на его могиле в Базеле?

Логарифмическая спираль (Трехмерная архимедова спираль или равноугольная спираль )

Второй тип спирали был открыт в 1638 году Декартом. Ее называют логарифмической или равноугольной (эквангулярной) спиралью. Спираль названа так потому, что любая прямая, пересекающая центр, разделяет равноугольно все витки кривой. Уравнение спирали можно выразить формулой .

Хорошо описывается логарифмическая спираль р ядом Фибоначчи. Это ряд чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. продолжение вы, наверное, уже поняли. Каждая последующая цифра – это сумма предыдущих двух цифр. Разделим каждую из этих цифр на предыдущую. Запишем их следующим образом.
1/1=1; 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3 =1,666..; 8/5=1,6; 13/8 =1,625; 21/13 =1,615..; 34/21=1,619..; 55/34 =1,6176..; 89/55 =1,618..

При продолжении процесса деления получим значение f (приблизительно 1,618034). Полученное здесь число f называют золотой пропорцией или золотым числом. Нарисуем новую схему, используя ряд Фибоначчи. Сначала в квадрат, величина стороны которого равна 1 ед., добавим квадрат, сторона которого равна величине 1. Далее добавим квадрат, величина одной стороны которого равна сумме этих двух квадратов (2 ед.). Продолжая процесс добавления, получим прямоугольник Фибоначчи или золотой прямоугольник.

Соединим прямоугольник четвертью круга, проведенной через противоположные углы. Этот процесс можно проводить и внутрь, и наружу. Полученная таким образом кривая есть спираль. Самое красивое строение, полученное таким образом, – это ракушка моллюска.
Такой, приятный глазу, прямоугольник используется в изобразительном искусстве, архитектуре и в технике.

Спираль Корню (клофоида)

Спираль Корню названа по имени французского физика Альфреда Корню, применившего её в 1874 году для описания дифракции света.

Она описывается уравнением R=k/S, где R- радиус соприкасающейся окружности в точке кривой, S- расстояние, k- постоянная. Ещё при строительстве первых железных дорог проектировщики столкнулись с проблемой: если прямой участок железнодорожного полотна сразу переходит в круговой, то не только пассажиры, но и все механические части получат резкий толчок. Чтобы избежать нежелательной встряски, между прямыми и круговыми участками железнодорожного пути устраивают так называемые переходные линии с плавным изменением кривизны в виде спирали Корню.

Жезл — плоская трансцендентная кривая, определяемая уравнением (в полярной системе) .

Кривая стремится из бесконечности (где она асимптотически приближается к горизонтальной оси) к точке , закручиваясь вокруг неё по спирали против часовой стрелки. Размер спирали определяется коэффициентом . Имеет одну точку перегиба — .

Кривая относится к алгебраическим спиралям.

Учёный Фогель в 1979 году предложил модель для распределения цветков и семян у подсолнуха. Эта модель выражается следующим образом,

,

,

Рассматривая эти виды спиралей, нам не удалось найти их применение в природе, в нашей жизни. Но мы на этом не остановимся.

— плоская кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

Спираль Галилея симметрична относительно полярной оси и имеет двойную точку в полюсе с касательными, образующими с полярной осью углы, равные На полярной оси у спираль Галилея бесконечно много двойных точек, для которых где

Спираль Галилея относятся к так называемым алгебраическим спиралям , она н азвана по имени Галилео Галилея (G. Galilei, 1638) в связи с его работами по теории свободного падения тел.

Плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид

Каждому значению L соответствуют два значения — положительное и отрицательное. Кривая имеет бесконечно много двойных точек и одну точку перегиба.

Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так:

Нельзя не заметить пространственные кривые которые очень часто встречаются в нашей жизни, это ураганы, смерчи, водяные воронки и т.д.

Пространственные кривые линии в начертательной геометрии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траекторию движения точки.

Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек.

Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Цилиндрическая винтовая линия.

Такую линию в пространстве описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового цилиндра, вращающегося вокруг своей оси так, что путь проходимый точкой по образующей пропорционален углу поворота цилиндра.

Рисунок. Цилиндрическая винтовая линия (правая)

Цилиндрической спиралью называют пространственные кривые, распростертые на поверхности цилиндра и рассекающие под прямым углом одну из сторон образующегося на поверхности цилиндра прямоугольника.

Параметрическое уравнения цилиндрической винтовой линии:

Коническая винтовая линия.

Такую линию описывает точка, которая движется по какой-либо образующей прямого кругового конуса, вращающегося вокруг своей оси так, что путь пройденный точкой по образующей все время равен углу поворота конуса.

Рисунок. Коническая винтовая линия

Муравьи, безусловно, одни из самых загадочных интересных существ на Земле. По неизвестной причине муравьи особой породы начинают бегать по замкнутому кругу. К таким кружениям примыкают сородичи, находящиеся рядом. При достижении определенной численности, процесс начинает напоминать вращения спирали. Этот бег остановится только после коллективной смерти всех бегущих муравьев.

Самый большой «муравьеворот» был зафиксирован в 1921 году, диаметр спирали составлял около 120метров и каждый новый круг занимал у муравья 2,5 часа. Бег по спирали занял два дня.

Можно посмотреть как образуется воронка. Точного объяснения этого явления все еще нет. Одна из теорий гласит, что муравьи ведут себя так только в особых «энергетических зонах». Другая теория основана на психологии муравьев, которая заставляет их бегать след в след за предыдущим муравьем до полного изнеможения. Тогда как самый первый муравей может быть просто дезориентирован на местности. Кроме того, существует теория, по которой эти спирали муравьев являются разгадкой таинственных кругов на полях. Эта теория заслуживает внимания поскольку муравьи, равно как круги на полях, встречаются на всех континентах планеты.

Отличаются ли они как-то практическими свойствами или только формой?

Для ответа на этот вопрос мы решили измерить их площади излучаемой поверхности.

Мы измеряли площадь поверхности с помощью нити. Так как спираль, в энергосберегающей лампе, имеет форму цилиндра, а ее цилиндрическая поверхность цилиндра представляет собой в развернутом виде – прямоугольник. Поэтому мы измерили длину окружности и длину всего цилиндра с помощью нити. Потом измерили полученные нити и записали результаты h = 63,5 cm , L = 2,3 cm .

Рассчитывали по формуле: Площадь боковой поверхности круглого цилиндра S ₁ равна произведению длины окружности основания L на высоту h : S ₁ = L h=63,5*2,3= 146,05 ( cm 2 )

a=11,8 cm, b=9,5 cm, h=1,8 cm, d=5 cm.

Внешний вид лампы отвечает и за площадь излучаемой поверхности. А это означает, что чем больше будет площадь, тем больше будет световой поток. Т.е. форма спирали одна из самых эффективных по световому потоку.

Источник