Теорема синусов как звучит

21.09.202329.09.2023 admin 0 Comments

Теоремы косинусов и синусов

Теоремы косинусов и синусов для треугольника

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике в геометрии используется теоремы синусов и косинусов.

Теорема синусов звучит следующим образом: отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около данной фигуры окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

ТС можно применять для расчета:

неизвестных сторон, если даны два угла и одна сторона;

неизвестных углов, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения:

Частые значения углов для тупоугольных треугольников:

R в формуле для вычисления синусов означает радиус вписанной окружности. Если мы выразим его, то получим:

Теорема косинусов выглядит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно 2-ух данных величин (две стороны или сторона и угол). Для вычисления частей произвольного треугольника необходимо хотя бы 3-и данных величины.

ТК используется для вычисления:

неизвестной стороны, если даны две стороны и угол между ними;

косинуса неизвестного угла, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения:

Часто используемые значения:

Если необходим вывод приблизительного значения синуса или косинуса другого угла или вычисление угла по найденному С/К, то используется таблица Брадиса или калькулятор.

Формулы с доказательством, как найти угол

Докажем приведенную выше формулу для нахождения синуса.

Если α — тупой угол, то:

Аналогично из прямоугольного ∆BCD получаем:

Опуская высоту в треугольнике АВС из вершины А, аналогично имеем:

Очевидно, что эта формула справедлива в случае прямоугольного треугольника АВС.

Теперь приведем доказательство формулы для нахождения значения косинуса.

Рассмотрим векторы \(A\overset\rightharpoonup B,\;B\overset\rightharpoonup C,\;A\overset\rightharpoonup C.\)

Очевидно, \(B\overset\rightharpoonup C=A\overset\rightharpoonup C-A\overset\rightharpoonup B.\)

Возведем это равенство скалярно в квадрат:

\(B\overrightarrow C^2=B\overset\rightharpoonup C\times B\overset\rightharpoonup C=\left(A\overset\rightharpoonup C-A\overset\rightharpoonup B\right)\times\left(A\overset\rightharpoonup C-A\overset\rightharpoonup B\right)=A\overset\rightharpoonup C^2-A\overset\rightharpoonup B\times A\overset\rightharpoonup B-A\overset\rightharpoonup B\times A\overset\rightharpoonup C+A\overset\rightharpoonup B^2=A\overset\rightharpoonup C^2-2A\overset\rightharpoonup B\times A\overset\rightharpoonup C+A\overset\rightharpoonup B^2.\)

Используя теперь определение скалярного произведения векторов, имеем:

Примеры решения задач

Задача 1

Решение

Из этого \( b^2=12^2+10^2-2\times12\times10\;\cos\;26\;\frac\pi<180>=144+100-240(0.90)=28\)

Задача 2

\(AB^2=AC^2+BC^2-2AC\times BC\times\cos\;\angle ACB\)

Переставим члены уравнения и получим:

\(2AC\times BC\times\cos\;\angle ACB=AC^2+BC^2-AB^2\)

Поделим обе стороны 2AC\times BC и получаем cos ∠ACB:

Задача 3

Решение

Произведем перекрестное умножение:

Задача 4

Найти \(∠BAC\) в градусах.

Решение

Произведем перекрестное умножение:

Источник

Теорема синусов

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Источник

Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

Обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т.е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или − в противоположном варианте. Так как sin(−)=sin, в обоих случаях получаем:

a=2R sin

Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника:

Источник

Теорема косинусов и синусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

Приравниваем правые части уравнений:

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Источник

Теорема синусов. Доказательство

Теорема 1 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC. Проведем высоту h_b из вершины B на сторону b (Рис.1).

Теорема синусов как звучит. Смотреть фото Теорема синусов как звучит. Смотреть картинку Теорема синусов как звучит. Картинка про Теорема синусов как звучит. Фото Теорема синусов как звучит

Из определения синуса (см. страницу Синус и косинус. Онлайн калькулятор) следует, что синус угла α равен h_b если предполагать, что c=1. Но поскольку c может иметь любое значение, то имеем

Аналогично можем записать:

Далее, для высоты h_c, опущенной из вершины C на сторону c, имеем:

Теорема 2 (расширенная теорема синусов). Для произвольного треугольника справедливо следующее равенство:

где a, b, c стороны треугольника, а α, β, γ противолежащие им углы, соответственно, R− радиус описанной около треугольника окружности.

Доказательство. Пусть задан треугольник ABC и описанная окружность с радиусом R, проходящей через вершины треугольника.

В теореме 1 мы доказали справедливость равенства (a). Для доказательства (b) достаточно показать, что

Проведем через вершину C диаметр CD описанной окружности и соединим точки D и B.

1. Пусть точки D и A лежат по одну сторону от BC (Рис.2). Полученный треугольник BCD являестся прямоугольным треугольником с прямым углом B, поскольку его одна сторона совпадает с диаметром окружности. А для этого прямоугольного треугольника справедливо равенство:

Но поскольку обе эти углы опираются на дугу BC. Отсюда следует справедливость равенства (3).