Y cosx 1 доказать что функция

cos=1

=2 π n, n € Z

T=, n € Z

Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число

f(x+)=sin(1,5x+4 π )+5cos(0,75x+2 π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Значит – основной период функции f.

Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)

Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х

Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т= π n, n € Z.

Предположим. Что при некотором n число π n является периодом

рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin| π n+x|=sin|x|

Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.

Задача 5. Проверить, является ли периодической функция

f(x)=

Пусть Т – период f, тогда

, отсюда sinT=0, Т= π n, n € Z. Допустим, что при некотором n число π n действительно является периодом данной функции. Тогда и число 2 π n будет периодом

Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому

Значит, функция f не периодическая.

Задания для группы 1.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 2.

Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).

Задания для группы 3.

По окончании работы группы презентуют свои решения.

VI. Подведение итогов урока.

Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.

VII. Домашнее задание

1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)

Источник

Периодичность функций y=sinx, y=cosx

Урок 14. Алгебра 10 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Периодичность функций y=sinx, y=cosx»

· познакомиться с понятием периодичности;

· познакомиться с понятием основного периода;

· узнать основные периоды функций y=sin x, y=cos x.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте повторим основные свойства функций y = sin x, y = cos x.

Давайте с вами посмотрим на рисунки.

Что мы там видим? Правильно, одно и тоже дерево, но в разные поры года. А на этом рисунке мы видим рушник с геометрическим орнаментом, а здесь – бьющееся сердце. А еще у нас есть приливы и отливы. Что объединяет все эти рисунки? А объединяет их то, что в каждом из приведенных примером есть повторяющиеся элементы. Так, когда мы смотрим на дерево в разные поры года, то мы знаем, что каждая пора повторяется через девять месяцев. Орнамент состоит из повторяющихся элементов. А биение сердца можно описать как повторяющиеся, через определённое время ритмы, сокращения сердечной мышцы. Приливы и отливы также возникают через одинаковое время.

Все эти примеры являются наглядными примерами периодичности.

Периодичность – это повторяемость (цикличность) явления через определённые промежутки времени.

А теперь давайте вспомним, как мы вводили понятие синуса и косинуса. Эти понятия мы вводили, используя числовую окружность. Мы говорили, что на числовой окружности можно отложить бесконечно точек. Нами было доказано следующее утверждение.

Какую же функцию мы будем называть периодической?

Функцию y = f(x), где x принадлежит множеству X называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из множества X выполняется двойное равенство:

Число T, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Мы знаем, что для любого x справедливы равенства:

Значит, мы можем сказать, что функции y=sin x, y=cos x – периодические функции, с периодом 2π.

Давайте теперь посмотрим на графики наших функций.

Легко заметить, что для того, чтобы построить график функции, достаточно построить одну волну синусоиды и затем сдвинуть эту волну по оси Ox на 2π влево и на 2π вправо, на 4π и на 4π вправо и так далее. Получается, что, построив одну волну, мы легко построим и весь график. Аналогично и для графика функции y = cos x.

Обобщая, можно сделать следующие выводы.

Рассмотрим ещё один пример.

Заметим, что свойством периодичности обладают все тригонометрические функции.

Источник

«Свойство функций y = cos x и её график»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Изучить функцию y = cos x

1. Изучить свойства функции у = cos x.

2. Уметь применять свойства функции у = cos x и читать график.

3. Формировать практические навыки построения графика функции у = cos x на основе изученного теоретического материала.

4. Закрепить понятия с помощью выполнения заданий.

Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤ x ≤ 2π и построим график y =cos x на отрезке.

Свойства функции y=cos x

1.Функция чётная cos (−x) = cos x

2. Функция периодическая с периодом 2 π cos (x+2 π k) = cos x

3. Максимальные значения y max=1 достигаются в точках x =2 π k Минимальные значения y min=−1 достигаются в точках x= π +2 π k Нули функции y0=cos x0=0 достигаются в точках x= π 2+ π k

4. Функция y=cos x принимает:

6. Функция ограничена сверху и снизу −1≤cosx≤1 Область значений y ∈ [−1;1]

7. Функция возрастает на отрезках − π +2 π k≤x≤2 π k Функция убывает на отрезках 2 π k ≤ x≤ π +2 π k

8. Функция непрерывна.

Примеры

Пример 2 . Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y =cos x на отрезке:
[ π 6;3 π 4]ymin=cos(3 π 4)=−22, ymax=cos( π 6)=32б) [5 π 6;5 π 3]ymin=cos( π )=−1, ymax=cos(5 π 3)=12

Пример 3 . Решите уравнение графически : a) cos x= π 2 − x
Один корень : x= π 2

Источник

14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса

и котангенса и их графики

14.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК

График функции y = sin x (синусоида)

Свойства функции y = sin x

Мои умения исследовать функции на периодичность	Мой вклад в работу на уроке

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:

1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями

координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее

З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох

(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордина-

та соответствующей точки единичной окружности

(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для

любой точки единичной окружности (в силу того,

что через любую точку окружности всегда можно

провести единственную прямую, перпендикуляр-

ную оси ординат), то область определения функции

y = sin x — все действительные числа. Это можно за-

писать так: D (sin x) = R.

Для точек единичной окружности ординаты нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения

от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1]

оси ординат (который является диаметром единичной

окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-

нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-

нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].

Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].

Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение

достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть

при

поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­

ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-

ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).

функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким

образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех

x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-

щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно

исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной

2π, например на промежутке

то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть

sin x ₂ > sin x ₁ ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Учитывая периодичность функции sin x,

делаем вывод, что она такж е возрастает на каждом из промежутков

Если x ∈ (рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) ордината соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть sin x _{2 1} ), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая

периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой

функции (с периодом 2π), д о статочно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, на пример на

промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината

соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на

промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для

построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрич но относительно начала координат

Поскольку мы построили график на

промежутке длиной 2π, то, учитывая

периодичность синуса (с периодом 2π),

повторяем вид графика на каждом про-

межутке длиной 2π (то есть переносим па-

раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,

где k — целое число).

Получаем график, который называется

З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в ма тематике, физике и технике. Например,

множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,

описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Та кие процессы называют гармоническими

колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль

координатных осей и параллельным пере носом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией

времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная

фаза,

14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцис-

са соответствующей точки единичной окружности

(рис. 85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-

бой точки единичной окружности (в силу того, что

через любую точку окружности, всегда можно про-

вести единственную прямую, перпендикулярную оси

абсцисс), то область определения функции y = cos x —

все действительные числа. Это можно записать так:

D (cos x) = R.

Для точек единичной окружности абсциссы нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-

ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной

всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить

точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следователь но, область значений функции y = cos x:

y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1]. Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это

зна чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окруж ности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.

Как было показано в § 13, косинус — четная функция : cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси

Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким об разом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.

соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только

тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-

тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-

ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,

поэтому cos x

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать

ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например

на промежутке [0; 2π].

Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) абсцисса соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть cos x _{2 1} ), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая

периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.

Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) аб-

сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то

есть cos x ₂ >cos x ₁ ), таким образом, на этом промежутке функция cos x

возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что

она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.

Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x

аналогично тому, как был построен график функ-

ции y = sin x. Но график функции у = cos x можно

также получить с помощью геометрических преоб-

разований графика функции у = sin х, используя

Эту формулу можно обосновать, например, так.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки

Источник

• ← Y combinator что это
• Y intercept что это →