Доказать что многочлен есть квадрат некоторого многочлена

math4school.ru

Алгебра многочленов

Немного теории

Задачи с решениями

1. Разложить на множители:

б) (a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 ;

в) x 3 + y 3 + z 3 – xyz.

а) х 5 + х + 1 = х 5 – х 2 + х 2 + х + 1= х 2 (х 3 – 1) + (х 2 + х + 1) =

= х 2 (х – 1)(х 2 + х + 1) + (х 2 + х + 1) = (х 3 – х 2 )(х 2 + х + 1) + (х 2 + х + 1) =

= (х 2 + х + 1)( х 3 – х 2 + 1);

б) Многочлен обращается в нуль при выполнении хотя бы одного из условий

поэтому он делится на каждую из трех разностей

значит, и на их произведение.

Так как исходный многочлен имеет степень 3, то от произведения

(также многочлена степени 3) он отличается лишь числовым множителем k.

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = k(а – b)(b – c)(c – a).

При а = 1, b = 0, с = –1 получим

1 + 1 – 8 = k · 1 · 1 · (–2),

Откуда k = 3, значит,

(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 = 3(а – b)(b – c)(c – a).

в) x 3 + y 3 + z 3 – xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 ) – 3xy(x + y + z) =

= (x + y + z)((x + y) 2 – (x + y)z + z 2 – 3xy) =

= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – zx).

2. Докажите, что сумму квадратов двух различных натуральных чисел, умноженную на сумму квадратов двух других различных натуральных чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Доказательство непосредственно следует из следующих алгебраических преобразований:

(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 =

= (a 2 c 2 + 2abcd + b 2 d 2 ) + (a 2 d 2 – 2abcd + b 2 c 2 ) =

3. Докажите, что при любых x, y, z, t выражение x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt неотрицательно. Выяснить все случаи, когда оно равно нулю.

Представим данный многочлен в виде суммы неотрицательных слагаемых следующими способами:

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – y 2 ) 2 + (z 2 – t 2 ) 2 + 2(xy – zt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – z 2 ) 2 + (y 2 – t 2 ) 2 + 2(xz – yt) 2 > 0,

x 4 + y 4 + z 4 + t 4 – 4xyzt = (x 2 – t 2 ) 2 + (y 2 – z 2 ) 2 + 2(xt – yz) 2 > 0.

Равенство выполняется только если

x 2 – y 2 = z 2 – t 2 = x 2 – z 2 = xy – zt = 0,

|x| = |y| = |z| = |t| и xyzt > 0.

4. Является ли многочлен Р(х) = 2х 4 + 8х 3 + 12х 2 + 8х + 1 квадратом некоторого другого многочлена?

Предположим, что существует многочлен второй степени Q(х) такой, что

Тогда, так как Р(–1) = –1, то Q(–1)·Q(–1) = –1

5. Существует ли такой многочлен Р(х) с действительными коэффициентами, что Р(х) > 2015 · Р'(х) для всех х?

Да, существует. Например,

Р(х) – 2015 · P'(x) = х 2 + 2015 2 – 2 · х · 2015 = (х – 2015) 2 > 0.

Р(х) = (х 7 + х – 1) 2014 и Р(–х) = (–х 7 – х – 1) 2014

отличаются только знаками коэффициентов при нечётных степенях х. Значит, многочлен

будет содержать только нечётные степени х и при этом искомая сумма равна половине значения Q(1). Так как

то сумма коэффициентов при нечетных степенях х многочлена (х 7 + х – 1) 2014 равна

7. Доказать, что многочлен

при всех целых значениях х принимает целые значения.

Заметим, что исходный многочлен можно представить в виде

Р(х) = ( 1 /_2·5·7·9)(х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1)х(х + 1)(х + 2)(х + 1)(х + 4).

Поскольку среди девяти последовательных целых чисел обязательно найдутся числа делящиеся на 2, 5, 7, 9, то при любом целом k произведение

(k – 4)(k – 3)(k – 2)(k – 1)k(k + 1)(k + 2)(k + 1)(k + 4)

делится на произведение взаимно простых чисел 2·5·7·9. Следовательно, число Р(k) является целым, что и требовалось доказать.

8. Известно, что ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c, d – данные целые числа, при любом целом x делится на 5. Докажите, что все числа a, b, c, d делятся на 5.

Подставив x = 0, получим, что d кратно 5.

Учитывая это и подставляя x = ±1, получим, что a + b + c и –a + b – c кратны 5. Следовательно, 2b и 2a + 2c кратны 5, а значит, b и a + c кратны 5.

Подставив x = 2, получим, что 2(4a + c) + 4b + d = 6а + 2(a + c) + 4b + d кратно 5. Значит, a кратно 5 а, следовательно, и c кратно 5.

9. Какими должны быть значения a и b, чтобы многочлен x 4 + x 3 + 2x 2 + ax + b был полным квадратом?

Приведённый многочлен четвёртой степени может быть квадратом лишь приведённого квадратного трёхчлена. Итак,

Возведя в квадрат трёхчлен, стоящий в правой части, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в обеих частях тождества, получим

2p = 1, p 2 + 2q = 2, 2pq = a, q 2 = b.

Решив эту систему уравнений, найдём p = 1 /₂, q = a = 7 /₈, b = 49 /₆₄.

10. Многочлен P(x) степени n имеет n различных действительных корней. Какое наибольшее число его коэффициентов может равняться нулю?

(x 2 – 1)(x 2 – 2 2 ). (x 2 – k 2 )

x(x 2 – 1)(x 2 – 2 2 ). (x 2 – k 2 )

степени n = 2k + 1 показывают, что улучшить этот результат нельзя: у первого коэффициенты при всех нечётных степенях, а у второго – при всех чётных степенях равны нулю.

Ответ: n / 2 при чётном n, (n+1) / 2 при нечётном n.

Задачи без решений

1. Разложить на множители:

б) (a – x)·y 3 – (a – y)·x 3 + (x – y)·a 3 ;

2. Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого

3. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена (x 2 – 3x + 1) 100 после раскрытия скобок и приведения подобных членов.

4. Многочлены Р(х) и Q(х) такие, что Р(x 3 ) + Q(x 3 ) делится на x 2 + х + 1. Доказать, что Р(х) + Q(х) делится на х – 1.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №11. Многочлен P(x) и его корень. Алгебраическое уравнение.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) обобщенное понятие многочлена;

2) основные действия над многочленами;

3) определение алгебраического уравнения;

Стоит отметить, что каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Следствие. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнением над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса.

Мы рассмотрим многочлены одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Стоит отметить, что каждый многочлен степени больше 2 можно разложить на множители.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида

где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнением над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

является алгебраическим уравнением четвертой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над множеством вещественных чисел.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Теорема Безу, невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов. В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен Р(а).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

Следствие. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный «Курс математики», написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Примеры алгебраических уравнений

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Разложим на множители многочлен:

Решение: )

Ответ: ))

Источник