Доказать что многочлены лежандра образуют ортогональный базис

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Ортогональность многочленов Лежандра

Последний раз редактировалось PAV 04.02.2012, 10:09, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ИСН 29.09.2011, 19:22, всего редактировалось 1 раз.

Да. Иногда конец может наступить раньше.

Только у той, которую мы загоняем под дифференциал, степень как раз уменьшается. Увеличивается у другой.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 29.09.2011, 20:20, всего редактировалось 1 раз.

—————————————-
Да, не обратил сразу внимания. В каком это таком «евклидовом»-то?! Нету там никакого евклидового, при любой разумной интерпретации.

Да. Иногда конец может наступить раньше.

Только у той, которую мы загоняем под дифференциал, степень как раз уменьшается. Увеличивается у другой.

Доказательство на самом деле элементарное, пошел изначально не тем путем. Спасибо большое за помощь, разобрался.

я что-то не увидел на этих страницах доказательства..

Модератор

Последний раз редактировалось sergei1961 01.10.2011, 22:27, всего редактировалось 1 раз.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Определение по построению как ортогональная система

Определение через производящую функцию

Расширение до более высоких порядков становится все более обременительным, но его можно проводить систематически и снова приводит к одной из явных форм, приведенных ниже.

Это соотношение вместе с первыми двумя многочленами P ₀ и P ₁ позволяет рекурсивно генерировать все остальные.

Подход производящей функции напрямую связан с мультипольным разложением в электростатике, как объясняется ниже, и именно так полиномы были впервые определены Лежандром в 1782 году.

Определение через дифференциальное уравнение

Третье определение дано в терминах решений дифференциального уравнения Лежандра:

Ортогональность и полнота

Это свойство полноты лежит в основе всех расширений, обсуждаемых в этой статье, и часто выражается в форме

Формула Родригеса и другие явные формулы

Особенно компактное выражение для полиномов Лежандра дает формула Родрига :

Первые несколько полиномов Лежандра:

Графики этих многочленов (до n = 5 ) показаны ниже:

Приложения полиномов Лежандра

Расширение потенциала 1 / r

Полиномы Лежандра были впервые введены в 1782 году Адрианом-Мари Лежандром в качестве коэффициентов разложения ньютоновского потенциала.

A _l и B _l должны определяться согласно граничным условиям каждой задачи.

Они также появляются при решении уравнения Шредингера в трех измерениях для центральной силы.

Многочлены Лежандра в мультипольных разложениях

Многочлены Лежандра также полезны при расширении функций формы (это то же самое, что и раньше, но написано немного иначе):

Многочлены Лежандра в тригонометрии

Полиномы Лежандра в рекуррентных нейронных сетях

В сочетании с методами глубокого обучения эти сети могут быть обучены превосходить блоки долгосрочной краткосрочной памяти и связанные с ними архитектуры, используя при этом меньше вычислительных ресурсов.

Дополнительные свойства полиномов Лежандра

Поскольку дифференциальное уравнение и свойство ортогональности не зависят от масштабирования, определения полиномов Лежандра «стандартизированы» (иногда называемые «нормализацией», но фактическая норма не равна 1) путем масштабирования таким образом, чтобы

Производная в конечной точке определяется выражением

Неравенство Аски-Gasper для полиномов Лежандра читает

Повторяющиеся отношения

Как обсуждалось выше, полиномы Лежандра подчиняются трехчленному рекуррентному соотношению, известному как формула рекурсии Бонне

или, с альтернативным выражением, которое также выполняется в конечных точках

Для интегрирования полиномов Лежандра полезно

Из вышесказанного также видно, что

Асимптотика

а для аргументов величиной больше 1

Точечные оценки

Многочлены Лежандра с преобразованным аргументом

Сдвинутые полиномы Лежандра

В сдвинутые полиномы Лежандра определяются как

Явное выражение для сдвинутых полиномов Лежандра дается формулой

Аналог формулы Родрига для сдвинутых многочленов Лежандра имеет вид

Первые несколько сдвинутых полиномов Лежандра:

Рациональные функции Лежандра

Эти рациональные функции Лежандра являются последовательностью ортогональных функций на [0, ∞). Они получены путем составления преобразования Кэли с полиномами Лежандра.

Рациональная функция Лежандра степени n определяется как:

с собственными значениями

Источник

Полиномы Лежандра

СОДЕРЖАНИЕ

Определение по построению как ортогональная система [ править ]

Определение через производящую функцию [ править ]

Расширение до более высоких порядков становится все более обременительным, но его можно проводить систематически и снова приводит к одной из явных форм, приведенных ниже.

Это соотношение вместе с первыми двумя многочленами P ₀ и P ₁ позволяет рекурсивно генерировать все остальные.

Подход производящей функции напрямую связан с мультипольным разложением в электростатике, как объясняется ниже, и именно так полиномы были впервые определены Лежандром в 1782 году.

Определение через дифференциальное уравнение [ править ]

Третье определение дано в терминах решений дифференциального уравнения Лежандра

Ортогональность и полнота [ править ]

f n ( x ) = ∑ ℓ = 0 n a ℓ P ℓ ( x ) <\displaystyle f_(x)=\sum _<\ell =0>^a_<\ell >P_<\ell >(x)>

Это свойство полноты лежит в основе всех расширений, обсуждаемых в этой статье, и часто выражается в форме

Формула Родригеса и другие явные формулы [ править ]

Особенно компактное выражение для полиномов Лежандра дает формула Родрига :

Первые несколько полиномов Лежандра:

n P n ( x ) 0 1 1 x 2 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) 3 1 2 ( 5 x 3 − 3 x ) 4 1 8 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 ) 5 1 8 ( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x ) 6 1 16 ( 231 x 6 − 315 x 4 + 105 x 2 − 5 ) 7 1 16 ( 429 x 7 − 693 x 5 + 315 x 3 − 35 x ) 8 1 128 ( 6435 x 8 − 12012 x 6 + 6930 x 4 − 1260 x 2 + 35 ) 9 1 128 ( 12155 x 9 − 25740 x 7 + 18018 x 5 − 4620 x 3 + 315 x ) 10 1 256 ( 46189 x 10 − 109395 x 8 + 90090 x 6 − 30030 x 4 + 3465 x 2 − 63 ) <\displaystyle <\beginn&P_(x)\\\hline 0&1\\1&x\\2&<\tfrac <1><2>>\left(3x^<2>-1\right)\\3&<\tfrac <1><2>>\left(5x^<3>-3x\right)\\4&<\tfrac <1><8>>\left(35x^<4>-30x^<2>+3\right)\\5&<\tfrac <1><8>>\left(63x^<5>-70x^<3>+15x\right)\\6&<\tfrac <1><16>>\left(231x^<6>-315x^<4>+105x^<2>-5\right)\\7&<\tfrac <1><16>>\left(429x^<7>-693x^<5>+315x^<3>-35x\right)\\8&<\tfrac <1><128>>\left(6435x^<8>-12012x^<6>+6930x^<4>-1260x^<2>+35\right)\\9&<\tfrac <1><128>>\left(12155x^<9>-25740x^<7>+18018x^<5>-4620x^<3>+315x\right)\\10&<\tfrac <1><256>>\left(46189x^<10>-109395x^<8>+90090x^<6>-30030x^<4>+3465x^<2>-63\right)\\\hline \end>>

Графики этих многочленов (до n = 5 ) показаны ниже:

Приложения полиномов Лежандра [ править ]

Расширение потенциала 1 / r [ править ]

Полиномы Лежандра были впервые введены в 1782 году Адрианом-Мари Лежандром [2] как коэффициенты разложения ньютоновского потенциала.

A _l и B _l должны определяться согласно граничным условиям каждой задачи. [3]

Они также появляются при решении уравнения Шредингера в трех измерениях для центральной силы.

Многочлены Лежандра в мультипольных разложениях [ править ]

Многочлены Лежандра также полезны при расширении функций формы (это то же самое, что и раньше, но написано немного иначе):

Полиномы Лежандра в тригонометрии [ править ]

Полиномы Лежандра в рекуррентных нейронных сетях [ править ]

u ( t − θ ′ ) ≈ ∑ ℓ = 0 d − 1 P

В сочетании с методами глубокого обучения эти сети могут быть обучены превосходить блоки долгосрочной краткосрочной памяти и связанные с ними архитектуры, используя при этом меньше вычислительных ресурсов. [4]

Дополнительные свойства полиномов Лежандра [ править ]

Поскольку дифференциальное уравнение и свойство ортогональности не зависят от масштабирования, определения полиномов Лежандра «стандартизированы» (иногда называемые «нормализацией», но фактическая норма не равна 1) путем масштабирования таким образом, чтобы

Производная в конечной точке определяется выражением

Неравенство Аски-Gasper для полиномов Лежандра читает

Отношения повторения [ править ]

Как обсуждалось выше, полиномы Лежандра подчиняются трехчленному рекуррентному соотношению, известному как формула рекурсии Бонне

( n + 1 ) P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) − n P n − 1 ( x ) <\displaystyle (n+1)P_(x)=(2n+1)xP_(x)-nP_(x)>

x 2 − 1 n d d x P n ( x ) = x P n ( x ) − P n − 1 ( x ) <\displaystyle <\frac -1>><\frac >P_(x)=xP_(x)-P_(x)\,>

или, с альтернативным выражением, которое также сохраняется в конечных точках

Для интегрирования полиномов Лежандра полезно

Из вышесказанного также видно, что

d d x P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) P n ( x ) + ( 2 ( n − 2 ) + 1 ) P n − 2 ( x ) + ( 2 ( n − 4 ) + 1 ) P n − 4 ( x ) + ⋯ <\displaystyle <\frac >P_(x)=(2n+1)P_(x)+<\bigl (>2(n-2)+1<\bigr )>P_(x)+<\bigl (>2(n-4)+1<\bigr )>P_(x)+\cdots >

d d x P n + 1 ( x ) = 2 P n ( x ) ‖ P n ‖ 2 + 2 P n − 2 ( x ) ‖ P n − 2 ‖ 2 + ⋯ <\displaystyle <\frac >P_(x)=<\frac <2P_(x)><\left\|P_\right\|^<2>>>+<\frac <2P_(x)><\left\|P_\right\|^<2>>>+\cdots >

Асимптотика [ править ]

а для аргументов величиной больше 1

Нули [ править ]

Точечные оценки [ править ]

Многочлены Лежандра с преобразованным аргументом [ править ]

Сдвинутые полиномы Лежандра [ править ]

В сдвинутые полиномы Лежандра определяются как

n ( x ) = P n ( 2 x − 1 ) <\displaystyle <\widetilde

>_(x)=P_(2x-1)\,> .

Явное выражение для сдвинутых полиномов Лежандра дается формулой

Аналог формулы Родрига для сдвинутых многочленов Лежандра имеет вид

Первые несколько сдвинутых полиномов Лежандра:

n ( x ) 0 1 1 2 x − 1 2 6 x 2 − 6 x + 1 3 20 x 3 − 30 x 2 + 12 x − 1 4 70 x 4 − 140 x 3 + 90 x 2 − 20 x + 1 5 252 x 5 − 630 x 4 + 560 x 3 − 210 x 2 + 30 x − 1 <\displaystyle <\beginn&<\widetilde

>_(x)\\\hline 0&1\\1&2x-1\\2&6x^<2>-6x+1\\3&20x^<3>-30x^<2>+12x-1\\4&70x^<4>-140x^<3>+90x^<2>-20x+1\\5&252x^<5>-630x^<4>+560x^<3>-210x^<2>+30x-1\end>>

Рациональные функции Лежандра [ править ]

Эти рациональные функции Лежандра являются последовательностью ортогональных функций на [0, ∞). Они получены путем составления преобразования Кэли с полиномами Лежандра.

Рациональная функция Лежандра степени n определяется как:

( x + 1 ) ∂ x ( x ∂ x ( ( x + 1 ) v ( x ) ) ) + λ v ( x ) = 0 <\displaystyle (x+1)\partial _(x\partial _((x+1)v(x)))+\lambda v(x)=0>

с собственными значениями

Источник

Полином Лежандра

Вот и здравствуйте!)))Задача у меня такая:
Аппроксимировать полиномом Лежандра 5-й степени функцию f(x)=x на отрезке [0;1].

Решение:
Полином Q₅(x) ищем в виде
Q₅(x) = C₀P₀(x)+C₁P₁(x)+C₂P₂(x)+C₃P₃(x) +C₄P₄(x)+C₅P₅(x)
Поскольку функция f(x) = x, на заданном интервале, является четной и P_k(x) – четны при четном k и нечетны при нечетном k, то из формулы (нижеприведенной в прикрепленном JPEG) как найти, С₀: C₂ C₄. Поскольку С₁: C₃ C₅ Равны нулю. Если, честно, смотрела на примерах, читала теорию, не могу разобраться с полиномом Лежандра. Не знаю, что делать.

полином Лежандра
помогите пожалуйста получить с помощью формулы Родриго полиномы Лежандра

Многочлены Лежандра, как ортогональный базис
Как доказать, что многочлены Лежандра : 1. Образовывают базис эвклидового пространства, в котором.

Полином
Разлагается ли многочлен ^<4>—^<3>+3^<2>-4x+6 в произведение многочленов меньшей степени с.

Эта функция нечетна

Исходный интервал [0;1] заменой переменной t=2x-1 преобразуется к [-1;1], f(x) тоже преобразовать и искать разложение по полиномам от новой переменной t, коэффициенты разложения вычислять по этой формуле (на Вашей картинке).

Том Ардер, Аппроксимировать полиномом Лежандра 5-й степени функцию f(x)=x на отрезке [0;1].

Источник

Полином Лежандра

Резюме

Общие определения и свойства

Определение как решение уравнения Лежандра

Мы называем уравнение Лежандра уравнением:

Следовательно, многочлен Лежандра P _n (для любого натурального числа n и для x ∈ [-1; +1] ), следовательно, является решением дифференциального уравнения:

либо разделив элемент за элементом на произведение A ( r ) B ( θ ) :

Определение как собственные функции эндоморфизма

Это более абстрактное определение интересно, в частности, для демонстрации свойств ортогональности многочленов Лежандра.

Функция генератора

Мы также можем определить эту последовательность многочленов с помощью ее образующей серии :

Это выражение встречается, в частности, в физике, например, при развитии на большом расстоянии электростатического или гравитационного потенциала (многополярное развитие).

Если учесть, что в общем случае z является комплексным, вычисление коэффициентов ряда Лорана дает:

где контур окружает начало координат и берется против часовой стрелки.

С помощью этой функции генератора можно определить полиномы Лежандра, как и коэффициенты разложения.

Другие определения

Формула повторения Бонне

Для любого целого n ≥ 1 :

Получив по переменной t определение полиномов Лежандра из функции генератора, получим после перестановки:

Формула Родригеса

Определения в виде суммы

Мы определяем этот многочлен как сумму двумя способами:

где мы использовали:

Некоторые полиномы

Первые одиннадцать полиномов:

Характеристики

Степень

На основе

Паритет

Ортогональность

Это соотношение можно интерпретировать, введя скалярное произведение двух функций, определяемое как интеграл произведения двух функций на ограниченном интервале:

\ mathrm x> ,

Однако этот эндоморфизм симметричен для предыдущего скалярного произведения, поскольку при выполнении двух интегрирований по последовательным частям получается:

Поскольку они являются собственными векторами, связанными с различными собственными значениями, семейство полиномов Лежандра ортогонально.

Стандарт

Квадрат нормы в L 2 ([-1,1]), является

Действительно, для всех n > 1 можно установить соотношение

Теорема сложения

Последовательное разложение многочленов Лежандра

Разложение голоморфной функции

Разложение липшицевой функции

Обозначим частное многочлена P _n по его норме. п нет

S нет ж знак равно ∑ k знак равно 0 нет против k ( ж ) п

другими словами, равенство

ж знак равно ∑ нет знак равно 0 ∞ против нет ( ж ) п

Цифровая интеграция функции

Приложения для физики

Многочлены Лежандра позволяют разрабатывать функции типа последовательно (эту формулу можно вывести непосредственно из производящей функции):

Источник