Доказать что прямые лежат в одной плоскости и составить уравнение плоскости

Доказать, что прямые лежат в одной плоскости

Здравствуйте, буду признателен за помощь следующих задач:

29. Доказать, что прямые: и лежат в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости. (Решение в описание)

Доказать, что прямые не лежат в одной плоскости
Прямые АВ и СД не лежат на в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и ВD не лежат в одной.

Доказать, что прямые, по которым пересекаются соответственные грани, лежат в одной плоскости
Не знаю как доказать:cry:, задача такая: Два тетраэдра расположены в пространстве

_ <3>так, что.

Покажите, что все прямые, которые пересекают данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости
Всем привет! Задана такая задача: (10 класс) даны 2 несовпадающие параллельные прямые. докажите.

Уравнение плоскости и доказательство того, что прямые лежат в одной плоскости
Доказать, что прямые x=2+4t,y=-6t,z=-1-8t. и x=7-6t, y=2+9t, z=12t лежат в одной плоскости и.

Докажите, что прямые лежат в одной плоскости
докажите, что все различные прямые, пересекающие одну из скрещивающихся(мимобежащих) прямых и.

Доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке
как доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной.

Лежат ли прямые в одной плоскости
Лежат ли прямые l1 и l2 в одной плоскости, если: l1: x=y=z l2: x=1; y=t; z=2t

Доказать, что плоскости пересекаются в одной точке
Доказать, что плоскости 2х-3у-z+15=0 3x+y-4z=0 и 5x-2y+3z-1=0 пересекаются в одной точке и найти.

Источник

Доказать, что прямые лежат в одной плоскости и составить уравнение

Доказать, что прямые не лежат в одной плоскости
Прямые АВ и СД не лежат на в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и ВD не лежат в одной.

Доказать, что прямые лежат в одной плоскости
Здравствуйте, буду признателен за помощь следующих задач: 29. Доказать, что прямые: x=2t+3.

Уравнение плоскости и доказательство того, что прямые лежат в одной плоскости
Доказать, что прямые x=2+4t,y=-6t,z=-1-8t. и x=7-6t, y=2+9t, z=12t лежат в одной плоскости и.

Доказать, что прямые, по которым пересекаются соответственные грани, лежат в одной плоскости
Не знаю как доказать:cry:, задача такая: Два тетраэдра расположены в пространстве

_ <3>так, что.

Покажите, что все прямые, которые пересекают данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости
Всем привет! Задана такая задача: (10 класс) даны 2 несовпадающие параллельные прямые. докажите.

Докажите, что прямые лежат в одной плоскости
докажите, что все различные прямые, пересекающие одну из скрещивающихся(мимобежащих) прямых и.

Доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке
как доказать, что прямые на которых лежат высоты тупоугольного треугольника пересекаются в одной.

Источник

2.3. Типовые задачи

В разделе 1 было получено уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и с вектором нормали , где A2+B2+C2>0:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)=0. (*)

Рассмотрим теперь другие способы задания плоскости в пространстве.

Задача 1. Написать уравнение плоскости π, проходящей через три заданные точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3) (рис. 5).

Решение: Чтобы написать уравнение искомой плоскости, достаточно знать координаты какой-либо точки на плоскости и координаты вектора нормали (уравнение (*). Точкой на плоскости может быть любая из заданных точек М1, М2 или М3, а вектором нормали может быть векторное произведение векторов [].

. (21)

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,1,1), М2(3,2,-1) и М3(4,1,0).

Для решения задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение плоскости запишем в виде (21)

.

Разложив определитель по первой строке, получим

Или

– уравнение искомой плоскости с .

Заметим, что векторное произведение векторов =(2,1,–2) и =(3,0,–1) коллинеарно вектору нормали .

.

Задача 2. Написать уравнение плоскости π, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и прямую L (рис. 6): , если точка M0 не лежит на прямой L (иначе плоскость однозначно не определена). Точка М1(x1,y1,z1) принадлежит L, вектор – направляющий вектор.

Решение: Заданной точкой в уравнении (*) может быть любая из точек М1 или М0. Вектором нормали может служить векторное произведение векторов и :

=(A, B,C).

Задача 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

и

Т. M1 (x1,y1,z1),

Т. M2 (x2,y2,z2) ,

Вектор – направляющий вектор прямых L1,L2 (рис. 7).

Вновь используем уравнение (*).

Точка на плоскости – любая из точек М1 или М2; вектором нормали =(A, B,C) может быть векторное произведение [,].

Задача 4. Доказать, что две прямые L1, L2 лежат в одной плоскости (пересекаются) и составить уравнение этой плоскости.

Решение задачи рассмотрим на примере.

Пусть и .

1. Проверим, лежат ли прямые L1 и L2 в одной плоскости. Для этого убедимся, что векторы , и компланарны.

Запишем параметрически заданную прямую L2 в каноническом виде

,

здесь М2(7,2,1) – точка на прямой L2, – ее направляющий вектор.

На прямой L1: М1(1,-2,5); . Вектор =(6,4,–4) (рис. 8).

Условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения

,

Т. к. в полученном определителе две строки совпадают (при вычислении определителя общие множители первой строки и последнего столбца вынесены за знак определителя).

Итак, мы убедились, что прямые L1 и L2 пересекаются.

Точка плоскости π – любая из точек М1, М2 (возьмем, например, точку М1(1,–2,5)).

Вектор нормали =(А, B,C)= []== – 2+16+13.

Уравнение искомой плоскости π:

– 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0, или

2x – 16y – 13z + 31 = 0.

Задача 5. Определить взаимное расположение прямой L, заданной как пересечение двух непараллельных плоскостей:

L:

И плоскости π: A3x+B3y+C3z+D3=0.

Решение: Возможны следующие случаи:

А) прямая L и плоскость π не пересекаются (прямая параллельна плоскости и не имеет общих точек с плоскостью);

Б) прямая L пересекается с плоскостью в единственной точке;

В) прямая L лежит в плоскости – бесчисленное множество общих точек.

Эти задачи фактически были рассмотрены в разделе 2, когда прямая задавалась параметрическими или каноническими уравнениями.

Вообще говоря, нет надобности переходить от общего уравнения прямой к каноническому. Алгебраически задача сводится к исследованию и решению (если это возможно) системы уравнений

. (22)

Решение этой системы определяет координаты общих точек прямой и плоскости.

Воспользуемся методом Крамера. Обозначим определитель системы (22)

А определитель Δ1, Δ2, Δ3, полученные из Δ с помощью столбца свободных членов, соответственно:

.

Если определитель , то система (22) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:

,

Имеет место случай (б).

Если определитель , а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 отличен от нуля, система (22) не имеет решения (не совместна). Геометрически это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек (параллельны) – случай (а).

Если же все определители Δ =Δ1=Δ2=Δ3=0, то система (22) имеет бесчисленное множество решений. Прямая L целиком лежит на плоскости π (случай в)).

Задача 6. Определить точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0), относительно плоскости

Решение. Запишем алгоритм решения задачи.

1. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и перпендикулярной плоскости π. Направляющим вектором этой прямой послужит вектор нормали

.

2. Найдём точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).

3. Точка M1 является серединой отрезка M0Q, и координаты точек M0, M1 и Q связаны формулами: x1=,y1=,z1=, откуда найдем координаты точки Q(x0,y0,z0)
(рис. 9):

XQ=2×1 – x0, yQ=2y1 – y0, zQ=2z1 – z0.

Аналогично решается и следующая задача.

Задача 7. Найти точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0) относительно прямой

.

1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно прямой L. Вектором нормали к этой плоскости (A, B,C) возьмем направляющий вектор =(l, m,n) прямой L.

π: l(x – x0) + m(y – y0) + n(z – z0)=0.

2. Найдем точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).

3. Точка M1 – середина отрезка M0Q, координаты точки Q определяются так же, как и в задаче 6.

Источник