Доказать что умножение матрицы а слева на диагональную матрицу b

Произведение матриц

Под произведением двух матриц А и В понимается матрица С = АВ, элементы которой определяются путем умножения i-й строки первой матрицы на j-и столбец второй матрицы и полученные произведения складываются. Таким образом,

где ,

Процесс формирования произведения для быстрого запоминания можно облечь в следующую схему. Для иллюстрации рассмотрим перемножение двух матриц размерности 3×3.

Первая строка умножается на первый столбец. Результат перемножения складывается. Образуется элемент матрицы с₁₁.

Вторая строка умножается на первый столбец. Результат перемножения складывается. Образуется второй элемент первого столбца с₂₁.

Третья строка умножается на первый столбец. Результат умножения складывается, образуя последний элемент c₃₁ первого столбца.

Операции по формированию элементов второго и третьего столбцов выполняются аналогично.

, , , , , .

Обычная скалярная алгебра подчиняется шести с законам:

1) Закон коммутативности сложения:

.

2) Закон ассоциативности сложения:

.

3) Закон коммутативности умножения:

.

4) Закон ассоциативности умножения:

.

5) Закон дистрибутивности умножения:

, ;

6) Неразложимость нуля на множители, отличные от нуля: если , то либо , либо , либо .

В операциях с матрицами законы 1, 2, 4 и 5 выполняются всегда. Однако законы 3 и 6 не соблюдаются. Закон 3 нарушается в силу того, что при перемножении матриц строки первой матрицы комбинируются со столбцами второй матрицы по изложенному выше правилу несимметрично. Такое несимметричное «перемешивание» элементов перемножаемых матриц между собой приводит к тому, что в общем случае

В тех случаях, когда операция умножения коммутативна, т. е. , матрицы называются коммутативными (иногда коммутирующими) или перестановочными. Например, диагональные матрицы при умножении всегда коммутируют между собой, причем произведение диагональных матриц, в свою очередь, также является диагональной матрицей.

Скалярная матрица коммутирует с любой квадратной матрицей одинакового порядка. Это же свойство относится и к единичной матрице Е. Она выполняет такую же роль, как единица среди обычных скалярных величин:

, .

Кроме того, всегда соблюдается равенство

Каждая матрица коммутирует сама с собой и со своей произвольной целой положительной степенью.

Пример 4.1. Умножение матрицы А слева на диагональную матрицу D эквивалентно умножению каждой строки матрицы А на соответствующий диагональный элемент:

Пример 4.2. Умножение справа на D сводится к умножению элементов каждого столбца на соответствующий элемент диагонали:

Пример 4.3. Коммутируемость диагональных матриц:

Скалярная матрица (матрица, у которой диагональные элементы равны между собой) равна произведению единичной матрицы на скалярную величину. В качестве примера перемножим две скалярные матрицы:

Справедливо следующее правило транспонирования произведения. Транспонированное произведение матриц равно произведению двух транспонированных матриц и , перемноженных в обратной последовательности:

Произведение любой матрицы на свою транспонированную является симметрической матрицей. Например,

Произведение обратных матриц подчиняется тому же свойству перестановки сомножителей, что и произведение транспонированных матриц, а именно

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц:

При образовании произведения нескольких матриц множители в силу ассоциативности закона умножения можно группировать как угодно, при условии, что порядок перемножения сомножителей не нарушается.

При умножении матрицы ранга r на неособенную справа или слева ранг произведения остается равным r.

Дата добавления: 2014-12-27 ; просмотров: 5327 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Доказать что умножение матрицы а слева на диагональную матрицу b

Например, диагональная матрица не изменится, если ее строки объявить столбцами (при этом ее столбцы автоматически становятся строками). Поэтому для диагональных матриц A и B исчезает неравноправие между строками и столбцами в произведении таких матриц и, следовательно, AB = BA.

У каждого элемента, расположенного на главной диагонали квадратной матрицы, номер строки совпадает с номером столбца. Все другие матричные элементы a _{i j} (i ≠ j) диагональной матрицы A равны нулю.

Подобные ситуации встречаются достаточно часто и поэтому договорились использовать для их описания специально введенное выражение вида δ _{i j} :

Вот примерно такова логика изложения в данном разделе!

(1)

Совокупность элементов, расположенных на диагонали, проходящей из правого верхнего угла в левый нижний угол, называется побочной диагональю.

Матрица , все внедиагональные элементы которой равны нулю, называется диагональной. Другими словами, элементы диагональной матрицы удовлетворяют условиям

(2)

Для записи подобных выражений удобно использовать дельта-символ Кронекера, определяемый формулой

(3)

Очевидно, что дельта-символ симметричен относительно перестановки индексов:

Другое важное свойство дельта-символа δ_{i j} заключается в том, что он снимает суммирование в выражениях вида

Диагональная квадратная матрица с равными диагональными элементами называется скалярной.

Источник

Описание файла

Просмотр DJVU-файла онлайн

Найти е’,Ае, если А = (а; ) е К «», а е’, и е — единичные строка и столбец подходящих размеров. 1.14. Мапгричной единицей Е, размера т х и называется матрица, у которой элемент в позиции (г, г) равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Для произвольной матрицы А и матричной единицы Е,б подходящего размера вычислить: а) АЕеб б) Е, А. 1.15. Найти ДА): а) Д

х) = хг — 2х+ 2, А = б)

6 2) произведение А

6 Глава 1. Матрицы 1.16. Доказать, что каждая квадратная матрица второго по-

с х — (а+ а1)х+ (ай — бс) = О. 1.17. Доказать, что если А — диагональная матрица, то матрица ДА) также диагональная, каков бы ни был многочлен Дх). 1.18. Вычислить: а) ; б) — 2 — 4 0 1.19.

Вычислить а),; б) д) 1 О,п>2; е) ) О Л ‘ ) О 1 спаса — в1па 1 в1па спаса

= (А+ В)(А — В). 1.24. Доказать, что если матрицы А и В перестановочны, то: а) 4з+ Вз (4+ ВИАз 4В+ Вз). б) (А+ В) А +С,’,А22-

В + + В 1.25. Найти п-ю степень матрицы А, если матрица А равна: 6)

— 4 — 5 10 11 Аа Азв 1.26. В ычислить матрицу + + + +, если матрица А равна:

— 2 — 21′ )[ а) 2 2,’ б) 1.27. Найти все если: )А=

— 2 — 21 матрицы, перестановочные с матрицей А, б)А= 2 1, в)А= 0100 0010 0001 г) А= 0000 ) А — квадратна е я матрица и-го порядка, все элементы которой равны единице. 1.28. Доказать, что умножение матрицы А слева на диагональную матрицу 1А’ = 222а81Лц Лз. Л„) равносильно умноже- )А= [ б) А= 1010’с2 — 1о — 1’23 с2 — 1 22 ‘ — 10 — 9 д) А — матричная единица В2.

Е 222″ 22; Глава 1. Матрицы нию строк А соответственно на Лы Лз. Л„, умножение же А на Р справа равносильно аналогичному изменению столбцов. 1.29. Найти матрицу А, если И,’И 2 5 А= 1.30. Доказать, что если А — диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, также диагональна. 1.31. Доказать, что квадратная матрица А перестановочна со всеми диагональными матрицами тогда и только тогда, когда она сама является диагональной. 1.32.

Доказать, что квадратная матрица А перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка тогда и только тогда, когда она является скалярной. 1.33. Доказать, что если матрица А перестановочна с матрицей В, то она перестановочна и с матрицей В

. Верно ли обратное? 1.34. Пусть А — квадратная матрица и 1(х) и д(х) — произвольные многочлены. Показать, что матрицы 1(А) и д(А) перестановочны.

1.35. Доказать, что след матрицы обладает следующими свойствами: а) сг(А+ В) = сгА+ сгВ; б) сг(аА) = асгА; в) сг(Ат) = сгА; г) сг(АВ) = сг(ВА), если произведения АВ, ВА определены. 1.36. Доказать, что для любой матрицы величина Сг(АтА) неотрицательна, причем равна нулю тогда и только тогда, когда матрица А нулевая. 1.36.1. Существуют ли матрицы А и В, для которых равенство АХВ = Х

выполняется при любой матрице Х б К

«»? 1.36.2. Можно ли свести операцию транспонирования матрицы общего вида к операциям умножения ее слева и справа на какие-либо наперед заданные матрицы? 1.37.

Доказать, что для любых квадратных матриц А и В одинакового размера их коммутатор [А, В] имеет нулевой след. 1.38. Доказать, что равенство [А, В] = 1 не выполнено ни для каких вещественных матриц А и В. 19 з1. Операции над матрицами и [аб) Е К'»»» величина т, =

си 1=1 т суммой, а величина с =

=1 1.39. Для матрицы А = называется ее г-й стпрочной

-й столбцовой суммой. а) Показать, что т

Считая, что произведение АВ определено, доказать, что все строчные суммы в АВ также одинаковы и равны ар’. в) Сформулировать и доказать столбцовый вариант утверждения пункта «б». 1.40. Доказать, что если квадратные матрицы А и В порядка и таковы, что для любого вектор-столбца С Е К»»

выполнено соотношение Ас = Вс, то А = В. 1.41.

Доказать, что если квадратные матрицы А и В порядка и таковы, что для любых вектор-столбцов С, и Е К»»» выполнено соотношение с,

Ви, то А = В. 1.42. Найти коммутатор матричных единиц Е, и Еы и показать, что он нулевой тогда и только тогда, когда либо г = у = 1с = 1, либо [1 — 1с) [1 — 1) ф О. 1.43. Доказать, что диагональная матрица с нулевым следом является линейной комбинацией коммутаторов матричных единиц. 1.44. Показать, что коммутатор обладает следующими свойствами: Глава 1, Матрицы 20 1.45. Доказать,что равенство [[А, В],С] = [А, [В,С)] выполнено тогда и только тогда, когда матрицы [А, С] и В пере- становочны.

1.46. Доказать, что для любых матриц А, В, С второго по- рядка выполнено соотношение [[[А, В]) г, С] = О. 1.47. Доказать, что любая матрица с нулевым следом явля- ется суммой коммутаторов матриц с нулевым следом. 1.48. Доказать, что для любой матрицы А с нулевой глав- ной диагональю найдутся матрица Х и диагональная матрица Р такая, что [Х, Р) = А. 1.49. Произведениелл Йордана А в В квадратных матриц А и В одного порядка называется матрица 1[АВ + ВА). Показать, что произведение Иордана обладает следующими свойствами: а) А*В = В в А; б) [сгА) в В = сгА * В; в) [А+В) е С= А*С+В*С; г) А*А = Аг; д) А*1=А; В)т Ат „Вт, ж) [Аг в В) * А = Аг * [В* А), выполненными для любых квадратных матриц А, В, С и еди- ничной матрицы 1 одного порядка.

2.2. Найти количество операций умножения, необходимых для вычисления произведения двух треугольных матриц порядка и одного вида. 2.3. Пусть А = (а,у) — треугольная матрица и-го порядка и »с Е (Ч. Найти йг А». 2.4. Доказать, что для любой треугольной матрицы А с положительными диагональными элементами найдется треугольная матрица В того же вида с положительными диагональными элементами такая, что В

, то произведению АВ соответствует блочная матрица С = (Сс ) с элементами з Ссс =

АссВсг. с=с 2.8. Применяя описанное в предыдущей задаче правило умножения блочных матриц, вычислить й— ‘[4— б) [ — 1 — 1 — 2 — 1 0 0 100 011 001 — 2 в)012 110 1;г)202 — 110 ной.

2.6. Квадратная матрица А порядка п.называется ленпсочной, если для некоторого числа т (меньшего и — 1) все элементы а; с индексами, удовлетворяющими условию

с — Я ) т, равны нулю. Число 2т+ 1 называется шириной ленты. Найти ширину ленты произведения ленточных матриц, если для сомножителей эта ширина равна 2псс + 1, 2тг + 1 соответственно и тс + тг

Источник

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2. m; j=1,2. n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Побочная диагональ матрицы

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i T ).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

Источник

Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

Умножение матрицы на число

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Источник