Доказать что вектор напряженности перпендикулярен эквипотенциальной поверхности

Как сказал.

Все знают, что это невозможно. Но вот приходит невежда, которому это неизвестно — он-то и делает открытие.

Альберт Эйнштейн

Вопросы к экзамену

Для всех групп технического профиля

Список лекций по физике за 1,2 семестр

Я учу детей тому, как надо учиться

Часто сталкиваюсь с тем, что дети не верят в то, что могут учиться и научиться, считают, что учиться очень трудно.

Урок 25-2. (дополнительный материал) Эквипотенциальные поверхности

Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:

Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за начальную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Потенциал φ_∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:

Для наглядного представления электрического поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности.

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.

Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рисунке представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.

Свойства эквипотенциальных поверхностей:

Источник

1.4. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Для наглядного изображения электрических полей часто рисуют силовые линии. Силовая линия — это линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности в этой точке. Очевидно, что силовые линии не могут пересекаться под ненулевым углом: в противном случае в точке пересечения напряженность была бы направлена сразу в две стороны, что абсурдно. Можно легко доказать, что силовые линии не могут и касаться друг друга. В вакууме электрические силовые линии начинаются и заканчиваются либо на заряженных телах, либо в бесконечности (см. рис. 4).

Эквипотенциальной поверхностью называется такая поверхность, все точки которой обладают одним и тем же значением потенциала. Так же как и силовых линий, эквипотенциальных поверхностей может быть построено бесконечно много.

Так как все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, перемещение заряда, по этой поверхности не требует работы (работа пропорциональна разности потенциалов). Но работа пропорциональна косинусу угла между перемещением и силой, поэтому сила, а значит и напряженность, всегда перпендикулярна к эквипотенциальной поверхности. Таким образом, эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны силовым линиям (см.рис.5)

Для напряженности электрического поля выполняется теорема Гаусса. Хотя мы покажем ее на основе закона Кулона, эта теорема справедлива в самом общем случае, т. е. для электрических полей любой природы, а не только электростатических.

Вначале определим новую величину. Потоком вектора напряженности электрического поля Е через поверхность S называется величина N, равная

где E_n — проекция вектора Е на направление нормали к поверхности. Эту формулу можно пояснить следующим образом.

Эту формулу можно записать как

введя вектор dS = n × dS, величина которого равна площади dS, а направление совпадает с направлением единичного вектора нормали n.

Оказывается, поток вектора E через любую замкнутую поверхность определяется только суммарным зарядом, находящимся внутри нее (теорема Гаусса). Докажем ее.

Проведем вокруг точечного заряда Q сферу радиуса, центр которой совпадает с зарядом(см. рис. 7а). В каждой точке сферы вектор напряженности по величине равен

и направлен перпендикулярно поверхности сферы. Следовательно, поток вектора напряженности через сферу есть

где интегрирование производится по всей поверхности сферы. Очевидно, что последний интеграл — это площадь поверхности сферы поэтому поток через сферу равен

Пусть теперь заряд окружен произвольной поверхностью S и элемент ее dS выделяется тем же пучком линий, что и элемент первоначальной сферической поверхности (см. рис. 7б). Очевидно.

где R — расстояние от элемента поверхности dS до заряда, — угол между нормалью к dS и радиус-вектором R. Поэтому

Поток вектора напряженности через элемент dS равен

т. е. точно равен потоку через элемент . Поэтому полный поток через всю произвольную замкнутую поверхность S такой же, как и через сферическую поверхность, т. е. равен

Поток вектора напряженности от точечного заряда через замкнутую поверхность равен нулю, если заряд лежит вне этой поверхности. Действительно, пучок касательных, проведенных от заряда, делит поверхность на две части — S’ и S’’ (см. рис. 8). Потоки вектора E через эти поверхности равны по величине, но имеют разные знаки, поэтому полный поток равен нулю.

Источник

ЛЕКЦИЯ №7

1. Скалярные поля. Понятие градиента(математическое отступление).

def: Если в каждой точке области пространства V задано некоторое число , то говорят, что в этой области пространства определено скалярное поле.

def: Геометрическое место точек, для которых величина u принимает одно и тоже числовое значение С, называется поверхностью уровня, соответствующей числу С. Уравнение этой поверхности: u(x,y,z)=С.

Очевидно, что поверхности уровня, отвечающие различным С заполняют всю область пространства, в которой определено скалярное поле. При этом никакие две поверхности не пересекаются.

Отметим, что плоское поле u(x,y) может быть задано линиями уровня, соответствующими уравнениям вида u(x,y)=C.

Таким образом, структура скалярного поля гораздо проще структуры векторных полей, в которых имеются такие образования как источники поля и различные завихрённости. Скалярное же поле всё состоит из поверхностей уровня и, если мы находимся в некоторой точке пространства, то помимо того к какой поверхности уровня принадлежит эта точка (чему равно значение функции u в этой точке) нас может интересовать ещё только вопрос о том как будет вести себя функция u при смещении из данной точки в соседние – будет ли она возрастать или убывать и сколь быстро. Для ответа на этот вопрос вводят понятие производной по направлению.

Эта «пространственная» производная определяется аналогично обыкновенной.

А именно: если мы из точки радиус–вектор которой сместимся в произвольном направлении на бесконечно малый вектор (рис.7.1а), то значения функции u при этом также изменятся на бесконечно малую величину , определяемую, в соответствии с формулой полного дифференциала функции трёх переменных выражением: . Учитывая формулу для , данное выражение можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: и вектора с компонентами

.

Этот вектор называется градиентом скалярного поля u, и обозначается: gradu.

Таким образом, . Производная же поля u по направлению, определяемому вектором , может быть формально получена как отношение изменения функции du к расстоянию, на котором это изменение произошло, то есть к (разумеется, более строго как соответствующий предельный переход):

, где , (7.1)

— единичный вектор, определяющий направление, в котором вычисляется производная (7.1). Так как в соответствии с определением скалярного произведения

,

Рассмотрим теперь, как связаны друг с другом поверхности уровня и градиенты скалярных полей. Для этого заметим, что если мы сместимся из данной точки пространства на вектор вдоль поверхности уровня, на которой эта точка лежит (рис.7.1б), то функция u при этом не изменится, то есть du=0. Следовательно, , что возможно, если только . Отсюда следует, что градиент скалярного поля перпендикулярен к поверхности уровня в каждой её точке, а это в свою очередь означает, что скалярное поле наиболее быстро растёт в направлении нормали к поверхности уровня, и соответственно, убывает в направлении .

Резюмируя всё сказанное, дадим следующее определение.

def: Градиентом скалярной функции u(x,y,z) называется вектор, направленный в сторону максимального возрастания этой функции в данной точке пространства, а его длина равна производной функции в том же направлении. Таким образом, для характеристики локальных свойств скалярных полей вводится всего один дифференциальный оператор – градиент, который и содержит в себе всю необходимую информацию об этих полях. Для характеристики же локальных свойств векторных полей (для описания источников и завихрений в этих полях) вводится два дифференциальных оператора – дивергенция и ротор, что ещё раз подчёркивает сложность их структуры в сравнении со скалярными полями. Следует отметить, что термины и обозначения «дивергенция, градиент, ротор» ввел Максвелл (1873). Именно ему мы обязаны изучением столь сложных вещей. Рассмотренное выше понятие градиента скалярной функции может быть хорошо проиллюстрировано на следующем примере. Предположим, что мы имеем дело с функцией только двух переменных u=u(x,y), то есть у нас есть, фактически плоское скалярное поле. Поэтому значения данной функции могу быть представлены некоторой поверхностью в трехмерной системе координат (рис.7.2а). Стоя на этой поверхности, мы видим, что она в одних направлениях поднимается, а в других опускается. В одном из направлений за один короткий шаг мы поднимаемся выше, чем за шаг той же длины в любом другом направлении. (При этом длина шага измеряется, разумеется, в плоскости XOY) Градиент функции u в нашем случае, это вектор, совпадающий по направлению с наибольшей крутизной, а его модуль равен наклону, измеренному в этом направлении (то есть тангенсу угла, между этим вектором и его проекцией на плоскость X0Y). Характер распределения градиента показан на рис.7.2б небольшим количеством векторов в разных точках данной плоскости 2. Градиент в различных системах координат(математическое отступление). В декартовой В цилиндрической В сферической 3. Связь напряженности и потенциала электростатического поля. Напомним, что . С другой стороны (по аналогии с предыдущим пунктом) . Сравнивая выражения, находим, что (7.8) Вектор напряженности показывает направление наиболее быстрого убывания потенциала. Предположим, что нам дан план какой-либо местности: в озеро впадает река и рядом гора (рис.7.3). Соединим на этом плане точки одинаковой высоты линиями, причем высоты будем брать через одинаковый интервал, например, 1 м. По такому плану легко определить уклон местности между двумя соседними точками: поделить разность уровней между точками на расстояние между ними. Очевидно, что уклон будет больше там, где линии одного уровня ближе друг к другу. Это ясно видно и из вертикального разреза местности, сделанного по выделенной на рис.7.3 прямой, что показано на рис.7.4. В какой-нибудь данной точке мы получим наибольший уклон, проведя линию перпендикулярную горизонтали. По таким уклонам и будет стекать вода в данной местности во время дождя. Ясно, что вектор напряженности и эквипотенциальная поверхность перпендикулярны. Обычно эквипотенциальные поверхности (точнее линии) чертят через одинаковую разность потенциалов. Заметим, что нулевой потенциал выбираем весьма условно. Смысл имеет разность потенциалов. Также как на местности предметом непосредственного наблюдения является разность уровней, и любой из них можно принять за основной. rem: Для проводников эквипотенциальная поверхность вырождается в эквипотенциальный объем. 4. Эквипотенциальные линии двух точечных зарядов. На рис.7.5 показаны рассчитанные эквипотенциальные линии двух одинаковых по модулю, но разных по знаку зарядов. На рис.7.6 то же для одноименных зарядов. На рис.7.7 показаны эквипотенциальные линии для разноименных неодинаковых по модулю зарядов. Данные построения полезно сравнить с картинами силовых линий (см. рис.4.6-4.7), чтобы убедиться в их ортогональности. Наконец на рисунке 7.8 линии напряженности электростатического поля и эквипотенциальные линии показаны одновременно. Рассмотрим теперь ряд расчетных примеров для сравнительно простых геометрий. 5. Потенциал бесконечной заряженной плоскости. Напряженность ранее была вычислена (5.11). Зная (7.8), имеем полагая потенциал на плоскости равным нулю, получаем (рис.7.9) (7.11) 6. Потенциал двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей. Выражение для напряженности знаем (5.12). Поступая аналогично предыдущему пункту , сразу получаем (рис.7.10) или (7.14)

Оба случая достаточно экзотические. Попробуйте рассчитать все то же самое при конечных размерах, например, круглых равномерно заряженных пластин. Это не так трудно, как кажется.

7. Потенциал равномерно заряженной сферы.

Задача сферически симметрична, поэтому ясно, что . Выражение для напряженности знаем (5.13). Вне сферы

Внутри сферы поля нет, поэтому потенциал постоянен. Сшивая значения потенциала на границе (на бесконечности- 0), получаем (7.17), график на рис.7.11.

(7.17)

8. Потенциал равномерно заряженного шара.

Напряженность знаем (5.14). Вне шара все аналогично сфере. Внутри

Сшивая значения потенциала на границе, получаем (7.19) (на бесконечности-0). График на рис.7.12

(7.19)

9. Потенциал равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.

Задача имеет цилиндрическую симметрию. Напряженность знаем (5.9). Внутри цилиндра расчет аналогичен шару

В итоге получаем (считая, что

(7.22)

Особенно ясно видно, что смысл имеет разность потенциалов, а не сам потенциал (под оператором функции логарифма должна стоять безразмерная величина). График на рис.7.13. Согласитесь, что это очень похоже на профиль земной поверхности с рис.7.4.

rem: В случаях бесконечных распределений зарядов глупо относить нулевой потенциал на бесконечность, так как и там есть заряды. Поэтому в таких случаях лучше располагать нуль где-нибудь поближе.

10. Потенциал равномерно заряженной тонкой нити конечной длины.

Общая длина нити l=l₁+l₂, линейная плотность заряда t (см.рис.7.14)

Используем формулу для расчета потенциала заряженного тела (6.23)

(7.24)

Xорошо видно, что смысл имеет не сам потенциал, а разность потенциалов

(7.27)

что совпадает с формулой (7.22) для наружной области цилиндра.

11. Поверхность нулевого потенциала.

В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим задачу о нахождении поверхности нулевого потенциала для двух точечных зарядов. Так как задача симметрична относительно оси, соединяющей заряды, то будем искать линию нулевого потенциала в любой плоскости, проходящей через эту ось. Тогда согласно (6.22) и рис.7.15

Данный потенциал как функция двух переменных для одинаковых по модулю разноименных зарядов показан на рис.7.16.

Очевидно, что нулю он будет равен, если
. Это возможно только для разноименных зарядов. Разрешая последнее уравнение, имеем (7.30)

С осью ОХ (y=0)эта кривая пересекается в точках

см. рис.7.17. Если теперь эту картину повернуть вокруг оси, соединяющей заряды, то получим поверхность нулевого потенциала. Попробуйте поискать эту же линию на рис.7.7.

12. Лапласиан скалярного поля.

В математической теории поля вводится следующее обозначение
(7.32)

где знак D является дифференциальным оператором второго порядка и называется оператором Лапласа.

13. Лапласиан в различных системах координат.

14. Уравнение Пуассона.

Легко получить, используя определение лапласиана, связь между напряженностью и потенциалом и теорему Гаусса, что

(7.37)

Последнее равенство носит название уравнения Пуассона и связывает локальную характеристику поля – потенциал с его источниками, т.е. зарядами. Всюду, где нет зарядов, т.е. r=0, имеет место уравнение Лапласа

15. Пример на решение уравнения Пуассона.

Решим задачу о распределении потенциала внутри равномерно заряженного шара с помощью уравнения (7.37). Задача имеет сферическую симметрию, поэтому от оператора Лапласа остается только радиальный член.

Дважды интегрируя, имеем

.

Объемная плотность заряда очевидно равна

а постоянная С₁=0, чтобы не было расходимости в центре шара. Тогда

(7.41)

Постоянную С₂ мы пока находить не умеем, однако параболическая зависимость потенциала внутри шара получена верно (сравните с формулой 7.19 и рис.7.12).

16. Еще раз об операторах поля(математическое отступление).

Проведем некоторые математические обобщения.

Градиент — точки 1 и 2 замыкают кривую

Ротор (формула Стокса) — кривая Lохватывает поверхностьS

Дивергенция (формула Остроградского-Гаусса) — поверхность S охватывает объем V

Физики очень любят краткие обозначения каких-либо сложных понятий. Поэтому они решили обозначать оператор

, (7.42)

где последний значок называется «набла-оператор» (оператор Гамильтона). Тогда

(7.43)

17. Пример из географии(или о пользе межпредметных связей).

Приведем пример из географии. На нижнем рисунке показан оцифрованный фрагмент местности где-то вблизи Верхнедырюпинска. Хорошо видна горка, с которой так удобно обозревать окрестности (точка А), и впадина, по которой в дождливую погоду течет Дырюпкин ручей (линия BCD.

По сути дела мы имеем функцию зависимости высоты от географических координат, т.е. функцию двух переменных h=h(x,y).

Теперь подвигайте скроллингом. Вы увидите карту линий равной высоты, а еще выше векторное поле градиента.

На четвертом рисунке показано сечение плоскостью EFGH.

Правда, все это похоже на то, о чем мы говорили выше?!

Источник

• ← Доказать что в четырехугольник можно вписать окружность
• Доказать что вектор перпендикулярен к вектору →